1、2020/7/8,1,第3章 工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué),3.1 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué) 3.2 工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué) 3.3 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)則,2020/7/8,2,3.1 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué),3.1.1 工業(yè)機(jī)器人位姿描述,1. 點(diǎn)的位置描述 如圖3.1所示,在直角坐標(biāo)系A(chǔ)中,空間任一點(diǎn)P的位置可用(31)的位置矢量AP表示為,(3.1),其中, px、 py、pz是點(diǎn)P的三個(gè)位置坐標(biāo)分量。,2020/7/8,3,圖3.1點(diǎn)的位置描述,2020/7/8,4,2. 點(diǎn)的齊次坐標(biāo) 如用四個(gè)數(shù)，組成的(41)列陣表示三維空間直角坐標(biāo)系 A中點(diǎn)P, 則該列陣稱為三維空間點(diǎn)P的齊次坐標(biāo), 如下:,(

2、3.2),2020/7/8,5,齊次坐標(biāo)并不是惟一的。當(dāng)列陣的每一項(xiàng)分別乘以一個(gè)非零因子時(shí), 即,(3.3),其中:a=px, b=py, c=pz。該列陣也表示P點(diǎn),齊次坐標(biāo)的表示不是惟一的。,2020/7/8,6,3. 坐標(biāo)軸方向的描述 用i、j、k來表示直角坐標(biāo)系中X、Y、Z坐標(biāo)軸的單位向量； 用齊次坐標(biāo)來描述X、Y、Z軸的方向, 則有,規(guī)定: 列陣a b c 0T中第四個(gè)元素為零, 且a2+b2+c2=1, 表示某軸(或某矢量)的方向; 列陣a b c T中第四個(gè)元素不為零, 則表示空間某點(diǎn)的位置。,2020/7/8,7,例如, 在圖3.2中, 矢量v的方向用(41)列陣表示為,其中:

3、 a=cos, b=cos, c=cos。,矢量v的始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 表示為,2020/7/8,8,當(dāng)=60, =60, =45時(shí), 矢量為,2020/7/8,9,圖3.2坐標(biāo)軸方向的描述,2020/7/8,10,4. 動(dòng)坐標(biāo)系位姿的描述 動(dòng)坐標(biāo)系位姿的描述，就是用位姿矩陣對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置和坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向的描述。該位姿矩陣為(44)的方陣。 如上述直角坐標(biāo)系可描述為:,2020/7/8,11,5. 剛體位姿的描述 機(jī)器人的每一個(gè)連桿均可視為一個(gè)剛體, 若給定了剛體上某一點(diǎn)的位置和該剛體在空中的姿態(tài), 則這個(gè)剛體在空間上是惟一確定的, 可用惟一一個(gè)位姿矩陣進(jìn)行描述。 如圖3.3所示, 設(shè)O

4、XYZ為與剛體Q固連的一個(gè)坐標(biāo)系, 稱為動(dòng)坐標(biāo)系。 剛體Q在固定坐標(biāo)系OXYZ中的位置可用齊次坐標(biāo)形式表示為,2020/7/8,12,圖 3.3 剛體的位置和姿態(tài)描述,2020/7/8,13,令n、o、a分別為X、 Y、 Z坐標(biāo)軸的單位方向矢量, 即,剛體的位姿表示為(44)矩陣:,2020/7/8,14,6. 手部位姿的描述 機(jī)器人手部的位姿如圖3.4所示, 可用固連于手部的坐標(biāo)系B的位姿來表示。坐標(biāo)系B由原點(diǎn)位置和三個(gè)單位矢量惟一確定, 即: (1) 原點(diǎn): 取手部中心點(diǎn)為原點(diǎn)OB; (2) 接近矢量: 關(guān)節(jié)軸方向的單位矢量a; (3) 姿態(tài)矢量: 手指連線方向的單位矢量o; (4) 法向

5、矢量: n為法向單位矢量, 同時(shí)垂直于a、o矢量, 即n=oa。,2020/7/8,15,手部位姿矢量為從固定參考坐標(biāo)系OXYZ原點(diǎn)指向手部坐標(biāo)系B原點(diǎn)的矢量p。手部的位姿可由(44)矩陣表示:,2020/7/8,16,圖 3.4 機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)描述,2020/7/8,17,7. 目標(biāo)物位姿的描述 任何一個(gè)物體在空間的位置和姿態(tài)都可以用齊次矩陣來表示, 如圖3.5所示。楔塊Q在(a)圖的情況下可用6個(gè)點(diǎn)描述, 矩陣表達(dá)式為,2020/7/8,18,若讓其繞Z軸旋轉(zhuǎn)90,記為Rot(z,90); 再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90,即Rot(y,90), 然后再沿X軸方向平移4,即Trans(4, 0,

6、0), 則楔塊成為(b)圖位姿, 其齊次矩陣表達(dá)式為,用符號(hào)表示對(duì)目標(biāo)物的變換方式可以記錄物體移動(dòng)的過程, 也便于矩陣的運(yùn)算, 所以應(yīng)該熟練掌握。,2020/7/8,19,圖 3.5 目標(biāo)物的位置和姿態(tài)描述,2020/7/8,20,3.1.2 齊次變換及運(yùn)算,1. 平移的齊次變換 如圖3.6所示，為空間某一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的平移,由A(x, y, z)平移至A(x, y, z), 即,(3.10),2020/7/8,21,圖3.6點(diǎn)的平移變換,2020/7/8,22,記為:,a=Trans(x, y, z)a,其中,Trans(x, y,z)稱為平移算子,x、y、z分別表示沿X、Y、Z軸的移動(dòng)

7、量。 即:,2020/7/8,23,注: 算子左乘: 表示點(diǎn)的平移是相對(duì)固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。 算子右乘: 表示點(diǎn)的平移是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。 該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、 物體的平移變換, 如機(jī)器人手部的平移變換。,2020/7/8,24,2. 旋轉(zhuǎn)的齊次變換 點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)如圖3.7所示。 A(x, y, z)繞Z軸旋轉(zhuǎn)角后至A(x, y, z),A與A之間的關(guān)系為,2020/7/8,25,圖3.7點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,2020/7/8,26,推導(dǎo)如下: 因A點(diǎn)是繞Z軸旋轉(zhuǎn)的, 所以把A與A投影到XOY平面內(nèi), 設(shè)OA=r, 則有,同時(shí)有,其中, =+, 即,2020/

8、7/8,27,所以,(3.17),所以,(3.18),由于Z坐標(biāo)不變, 因此有,2020/7/8,28,寫成矩陣形式為,2020/7/8,29,記為:,a=Rot(z, )a,其中, 繞Z軸旋轉(zhuǎn)算子左乘是相對(duì)于固定坐標(biāo)系, 即,2020/7/8,30,同理,(3.22),2020/7/8,31,圖3.8所示，為點(diǎn)A繞任意過原點(diǎn)的單位矢量k旋轉(zhuǎn)角的情況。kx、ky、kz分別為k矢量在固定參考坐標(biāo)軸X、Y、Z上的三個(gè)分量,且k2x+k2y+k2z=1。其旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣為,注: 該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式, 概括了繞X、Y、Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之,當(dāng)給出某個(gè)旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣, 則可求得k及轉(zhuǎn)

9、角。 變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn), 也適用于矢量、 坐標(biāo)系、 物體的旋轉(zhuǎn)。,2020/7/8,32,圖 3.8 點(diǎn)的一般旋轉(zhuǎn)變換,2020/7/8,33,3.1.3 工業(yè)機(jī)器人的連桿參數(shù)和齊次變換矩陣,1. 連桿參數(shù)及連桿坐標(biāo)系的建立 以機(jī)器人手臂的某一連桿為例。如圖3.9所示, 連桿n兩端有關(guān)節(jié)n和n+1。描述該連桿可以通過兩個(gè)幾何參數(shù): 連桿長(zhǎng)度和扭角。 由于連桿兩端的關(guān)節(jié)分別有其各自的關(guān)節(jié)軸線,通常情況下這兩條軸線是空間異面直線, 那么這兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)an即為連桿長(zhǎng)度，這兩條異面直線間的夾角n即為連桿扭角。,2020/7/8,34,圖 3.9 連桿的幾何參數(shù),2020/7

10、/8,35,如圖3.10所示,相鄰桿件n與n-1的關(guān)系參數(shù)可由連桿轉(zhuǎn)角和連桿距離描述。 沿關(guān)節(jié)n軸線上，兩個(gè)公垂線間的距離dn即為連桿距離; 垂直于關(guān)節(jié)n軸線的平面內(nèi)，兩個(gè)公垂線的夾角n即為連桿轉(zhuǎn)角。,2020/7/8,36,圖 3.10 連桿的關(guān)系參數(shù),2020/7/8,37,這樣, 每個(gè)連桿可以由四個(gè)參數(shù)來描述,其中兩個(gè)是連桿尺寸, 兩個(gè)表示連桿與相鄰連桿的連接關(guān)系。 當(dāng)連桿n旋轉(zhuǎn)時(shí), n隨之改變, 為關(guān)節(jié)變量,其它三個(gè)參數(shù)不變; 當(dāng)連桿進(jìn)行平移運(yùn)動(dòng)時(shí),dn隨之改變, 為關(guān)節(jié)變量,其它三個(gè)參數(shù)不變。 確定連桿的運(yùn)動(dòng)類型, 同時(shí)根據(jù)關(guān)節(jié)變量即可設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副,從而進(jìn)行整個(gè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。已

11、知各個(gè)關(guān)節(jié)變量的值, 便可從基座固定坐標(biāo)系通過連桿坐標(biāo)系的傳遞, 推導(dǎo)出手部坐標(biāo)系的位姿形態(tài)。,2020/7/8,38,建立連桿坐標(biāo)系的規(guī)則如下: 連桿n坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位于n+1關(guān)節(jié)軸線上,是關(guān)節(jié)n+1的關(guān)節(jié)軸線與n和n+1關(guān)節(jié)軸線公垂線的交點(diǎn)。 Z軸與n+1關(guān)節(jié)軸線重合。 X軸與公垂線重合;從n指向n+1關(guān)節(jié)。 Y軸按右手螺旋法則確定。,2020/7/8,39,2. 連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣 各連桿坐標(biāo)系建立后,n-1系與n系間變換關(guān)系可用坐標(biāo)系的平移、旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)。從n-1系到n系的變換步驟如下: (1) 令n-1系繞Zn-1軸旋轉(zhuǎn)n角, 使Xn-1與Xn平行, 算子為Rot(z,n)。

12、(2) 沿Zn-1軸平移dn, 使Xn-1與Xn重合, 算子為Trans(0,0,dn)。 (3) 沿Xn軸平移an, 使兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合, 算子為Trans(an,0,0)。 (4) 繞Xn軸旋轉(zhuǎn)an角, 使得n-1系與n系重合, 算子為Rot(x,n)。,2020/7/8,40,該變換過程用一個(gè)總的變換矩陣An來表示連桿n的齊次變換矩陣為:,實(shí)際中,多數(shù)機(jī)器人連桿參數(shù)取特殊值,如n=0或dn=0, 可以使計(jì)算簡(jiǎn)單且控制方便。,2020/7/8,41,3.1.4 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 1. 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 通常把描述一個(gè)連桿坐標(biāo)系與下一個(gè)連桿坐標(biāo)系間相對(duì)關(guān)系的齊次變換矩陣叫Ai變換矩陣

13、, 簡(jiǎn)稱Ai矩陣。 如A1矩陣表示第一個(gè)連桿坐標(biāo)系相對(duì)固定坐標(biāo)系的位姿;A2矩陣表示第二個(gè)連桿坐標(biāo)系相對(duì)第一個(gè)連桿坐標(biāo)系的位姿; Ai表示第i個(gè)連桿相對(duì)于第i-1個(gè)連桿的位姿變換矩陣。 那么, 第二個(gè)連桿坐標(biāo)系在固定坐標(biāo)系中的位姿可用A1和A2的乘積來表示,即:,T2=A1A2,2020/7/8,42,依此類推, 對(duì)于六連桿機(jī)器人, 有下列矩陣:,T6=A1A2A3A4A5A6,(3.27),該等式稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。方程右邊為從固定參考系到手部坐標(biāo)系的各連桿坐標(biāo)系之間變換矩陣的連乘;方程左邊T6表示這些矩陣的乘積,即機(jī)器人手部坐標(biāo)系相對(duì)于固定參考系的位姿。 分析該矩陣: 前三列表示手部的姿

14、態(tài); 第四列表示手部中心點(diǎn)的位置。 可寫成如下形式:,2020/7/8,43,2. 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)及實(shí)例 如圖3.11所示,SCARA裝配機(jī)器人的三個(gè)關(guān)節(jié)軸線是相互平行的, 0、1、2、3分別表示固定坐標(biāo)系、 連桿1的動(dòng)坐標(biāo)系、連桿2的動(dòng)坐標(biāo)系、 連桿3的動(dòng)坐標(biāo)系, 分別坐落在關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3和手部中心。坐標(biāo)系3即為手部坐標(biāo)系。 連桿運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng), 連桿參數(shù)n為變量, 其余參數(shù)均為常量。,2020/7/8,44,圖 3.11 SCARA裝配機(jī)器人的坐標(biāo)系,2020/7/8,45,該平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為,T3=A1A2A3,(3.29),其中:A1連桿1的坐標(biāo)系相對(duì)于固定坐標(biāo)系的齊

15、次變換矩陣; A2連桿2的坐標(biāo)系相對(duì)于連桿1坐標(biāo)系的齊次變換矩陣; A3手部坐標(biāo)系相對(duì)于連桿2坐標(biāo)系的齊次變換矩陣。,T3為手部坐標(biāo)系(即手部)的位姿。由于其可寫成(44)的矩陣形式, 即可得向量p、n、o、a, 把1、2、3代入可得。,2020/7/8,46,如圖3.11(b)所示, 當(dāng)轉(zhuǎn)角變量分別為1=30, 2=-60, 3=-30時(shí)，則可根據(jù)平面關(guān)節(jié)型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解出運(yùn)動(dòng)學(xué)正解,即手部的位姿矩陣表達(dá)式,2020/7/8,47,3. 反向運(yùn)動(dòng)學(xué)及實(shí)例 反向運(yùn)動(dòng)學(xué)解決的問題是:已知手部的位姿,求各個(gè)關(guān)節(jié)的變量。 在機(jī)器人的控制中,往往已知手部到達(dá)的目標(biāo)位姿,需要求出關(guān)節(jié)變量,以驅(qū)動(dòng)各

16、關(guān)節(jié)的電機(jī),使手部的位姿得到滿足, 這就是運(yùn)動(dòng)學(xué)的反向問題,也稱逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。 如圖3.12所示,以6自由度斯坦福(STANFORD)機(jī)器人為例, 其連桿坐標(biāo)系如圖3.13 所示, 設(shè)坐標(biāo)系6與坐標(biāo)系5原點(diǎn)重合, 其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:,T6=A1A2A3A4A5A6,2020/7/8,48,圖 3.12 斯坦福(STANFORD)機(jī)器人,2020/7/8,49,現(xiàn)在給出T6矩陣及各桿參數(shù)a、d,求關(guān)節(jié)變量16, 其中3=d3。 其中, A1為坐標(biāo)系1，相當(dāng)于固定坐標(biāo)系O的Z0軸旋轉(zhuǎn)1,然后繞自身坐標(biāo)系X1軸做1的旋轉(zhuǎn)變換,1=-90, 所以,2020/7/8,50,只要列出A-11,在式(3.34)兩

17、邊分別左乘運(yùn)動(dòng)學(xué)方程, 即可得,展開方程兩邊矩陣, 對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等, 即可求得1； 同理可順次求得2、3、6等。,2020/7/8,51,圖3.13斯坦福（STANFORD）機(jī)器人的連桿坐標(biāo)系,2020/7/8,52,3.2 工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué),3.2.1 工業(yè)機(jī)器人速度分析,1. 工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣 數(shù)學(xué)上, 雅可比矩陣(Jacobian Matrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù), 每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量, 即,2020/7/8,53,可寫成,Y=F(X),將其微分, 得,(3.37),可簡(jiǎn)寫成,式中, (66)矩陣稱為雅可比矩陣。,2020/7/8,54,對(duì)于工業(yè)機(jī)器人速度分析

18、和靜力分析中遇到類似的矩陣, 我們稱為機(jī)器人的雅可比矩陣, 簡(jiǎn)稱雅可比。 以二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人為例,如圖3.14所示,機(jī)器人的手部坐標(biāo)(x,y)相對(duì)于關(guān)節(jié)變量(1,2)有,2020/7/8,55,求微分有,(3.40),寫成矩陣為,2020/7/8,56,令,(3.42),則式(3.41)可簡(jiǎn)寫為,dX=J d,其中,2020/7/8,57,圖3.14 二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人,2020/7/8,58,由此可求得,(3.43),對(duì)于n自由度機(jī)器人,關(guān)節(jié)變量q=q1q2qnT,當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),qi=i; 當(dāng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),qi=di,則dq=dq1dq2dqnT反映關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。由

19、X=X(q)可知,dX=J(q)dq,其中J(q)是(6n)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣, 稱為n自由度機(jī)器人速度雅可比矩陣。,2020/7/8,59,2. 工業(yè)機(jī)器人速度分析 把式(3.44)兩邊各除以dt, 得,(3.45),或,V=J(q) q,其中: V機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度,V=X; J(q)速度雅可比矩陣; q機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度。,2020/7/8,60,若把J(q)矩陣的第1列與第2列矢量記為J1、J2,則有V=J11+J22,說明機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。 二自由度手部速度為,(3.47),2020/7/8,61,逆速度雅可

20、比J-1出現(xiàn)奇異解的情況如下: 工作域邊界上的奇異: 機(jī)器人手臂全部伸開或全部折回時(shí),叫奇異形位。該位置產(chǎn)生的解稱為工作域邊界上的奇異。 工作域內(nèi)部奇異: 機(jī)器人兩個(gè)或多個(gè)關(guān)節(jié)軸線重合引起的奇異。當(dāng)出現(xiàn)奇異形位時(shí),會(huì)產(chǎn)生退化現(xiàn)象, 即在某空間某個(gè)方向(或子域)上, 不管機(jī)器人關(guān)節(jié)速度怎樣選擇, 手部也不可能動(dòng)。,2020/7/8,62,3.2.2 工業(yè)機(jī)器人靜力分析,1. 操作臂中的靜力 如已知外界環(huán)境對(duì)機(jī)器人最末桿的作用力和力矩, 則可以先分析最后一個(gè)連桿對(duì)上一個(gè)連桿的力和力矩， 依次遞推， 直到分析完第一個(gè)連桿對(duì)機(jī)座的力和力矩， 從而計(jì)算出每個(gè)連桿上的受力情況。 操作臂中單個(gè)桿件受力分析如

21、圖3.15所示。,2020/7/8,63,圖 3.15 桿i上的力和力矩,2020/7/8,64,利用靜力平衡條件,桿上所受合力和合力矩為零。 為方便表示手部端點(diǎn)的力和力矩,可寫成一個(gè)6維矢量:,各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力或力矩可寫成一個(gè)n維矢量的形式, 即,其中: 關(guān)節(jié)力矩(或關(guān)節(jié)力)矢量; n關(guān)節(jié)的個(gè)數(shù)。,2020/7/8,65,2. 機(jī)器人力雅可比矩陣 假定關(guān)節(jié)無摩擦, 忽略各桿件的重力, 則有,(3.50),其中: 廣義關(guān)節(jié)力矩; F機(jī)器人手部端點(diǎn)力; JT(n6)階機(jī)器人力雅可比矩陣, 簡(jiǎn)稱力雅可比。,2020/7/8,66,式(3.50)可用虛功原理證明。 證明: 如圖3.16所示, 各

22、個(gè)關(guān)節(jié)的虛位移組成機(jī)器人關(guān)節(jié)虛位移矢量qi; 末端操作器的虛位移矢量為X, 由線虛位移d矢量和角虛位移矢量組成。,q=q1 q2 qnT,2020/7/8,67,圖3.16關(guān)節(jié)及末端操作虛位移,2020/7/8,68,設(shè)發(fā)生上述虛位移時(shí), 各關(guān)節(jié)力為i(i=1, 2, ，n), 環(huán)境作用在機(jī)器人手部端點(diǎn)上的力和力矩分別為-fn,n+1和-nn,n+1, 由上述力和力矩所做的虛功可以由下式求出:,W=1q1+2q2+nqn-fn,n+1d-nn,n+1,或?qū)懗?W=Tq-FTX,根據(jù)虛位移原理,機(jī)器人處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是對(duì)任意的符合幾何約束的虛位移, 有W=0, 又因dX=Jdq, 代入

23、得,W=Tq-FTX=Tq-FTJq=(-JTF)Tq,2020/7/8,69,式中, q表示幾何上允許位移的關(guān)節(jié)獨(dú)立變量, 對(duì)任意的q, 欲使W=0成立, 必有,=JTF,(3.56),式中,JT與手部端點(diǎn)力和廣義關(guān)節(jié)力矩之間的力傳遞有關(guān),稱為機(jī)器人力雅克比。 機(jī)器人力雅克比正好是速度雅克比的轉(zhuǎn)置。,2020/7/8,70,3. 機(jī)器人靜力計(jì)算的兩類問題 從操作臂手部端點(diǎn)力F與廣義關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系式=JTF可知, 操作臂靜力計(jì)算可分為兩類: (1) 已知外界對(duì)手部作用力F,求滿足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩(=JTF)。 (2) 已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩, 確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力F或負(fù)荷質(zhì)

24、量(逆解,即求解F=(JT)-1)。 當(dāng)自由度n6時(shí),力雅可比可能不是方陣,JT沒有逆解, 一般情況下不一定能得到惟一的解。,2020/7/8,71,2020/7/8,72,2. 拉格朗日方程 首先, 定義拉格朗日函數(shù)是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能EK和勢(shì)能EP之差, 即,L=EK-EP,(3.57),i=1,2,n,其中, Fi是關(guān)節(jié)廣義驅(qū)動(dòng)力(對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)力; 對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)為驅(qū)動(dòng)力矩)。,2020/7/8,73,那么,用拉格朗日法建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟如下所述: (1) 選取坐標(biāo)系, 選定獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi,i=1, 2, ,n; (2) 選定相應(yīng)的廣義力Fi; (3) 求出各構(gòu)件的動(dòng)

25、能和勢(shì)能, 構(gòu)造拉格朗日函數(shù); (4) 代入拉格朗日方程求得機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。,2020/7/8,74,3. 關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué) 關(guān)節(jié)空間即n個(gè)自由度操作臂末端位姿X是由n個(gè)關(guān)節(jié)變量決定的,這n個(gè)關(guān)節(jié)變量叫n維關(guān)節(jié)矢量q,q所構(gòu)成的空間稱為關(guān)節(jié)空間。 操作空間即末端操作器的作業(yè)是在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行的, 位姿X是在直角坐標(biāo)空間中描述的,這個(gè)空間叫操作空間。 關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程為,2020/7/8,75,其中,對(duì)于n個(gè)關(guān)節(jié)的操作臂, D(q)是(nn)的正定對(duì)稱矩陣, 是q的函數(shù)。如圖3.17所示, 二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人有,2020/7/8,76,(3.61),G(q)是(n1)的

26、重力矢量,與操作臂的形位q有關(guān), 二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人有,2020/7/8,77,圖 3.17 二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人,2020/7/8,78,與關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程相對(duì)應(yīng),在笛卡爾操作空間中,可用直角坐標(biāo)變量,即末端操作器的位姿矢量來表示機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。 操作空間動(dòng)力學(xué)方程如下:,(3.63),2020/7/8,79,兩個(gè)空間之間的關(guān)系可由以下三式求出: ,2020/7/8,80,3.3 工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃,3.3.1 路徑和軌跡 機(jī)器人的軌跡：指操作臂在運(yùn)動(dòng)過程中的位移、速度和加速度。 路徑：是機(jī)器人位姿的一定序列,而不考慮機(jī)器人位姿參數(shù)隨時(shí)間變化的因素。 軌跡則與何時(shí)到達(dá)路徑中的

27、每個(gè)部分有關(guān), 強(qiáng)調(diào)的是時(shí)間；而路徑強(qiáng)調(diào)的是機(jī)器人位姿的一定序列。如圖3-18所示。,2020/7/8,81,圖 3.18 機(jī)器人在路徑上的依次運(yùn)動(dòng),2020/7/8,82,3.3.2 軌跡規(guī)劃 軌跡規(guī)劃：是指根據(jù)作業(yè)任務(wù)要求，確定軌跡參數(shù)，并實(shí)時(shí)計(jì)算和生成運(yùn)動(dòng)軌跡。 軌跡規(guī)劃的一般問題有三個(gè): (1) 對(duì)機(jī)器人的任務(wù)進(jìn)行描述, 即運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。 (2) 根據(jù)已經(jīng)確定的軌跡參數(shù), 在計(jì)算機(jī)上模擬所要求的軌跡。 (3) 對(duì)軌跡進(jìn)行實(shí)際計(jì)算,即在運(yùn)行時(shí)間內(nèi)按一定的速率計(jì)算出位置、速度和加速度,從而生成運(yùn)動(dòng)軌跡。,2020/7/8,83,在規(guī)劃中,不僅要規(guī)定機(jī)器人的起始點(diǎn)和終止點(diǎn), 而且要給出中間

28、點(diǎn)(路徑點(diǎn))的位姿及路徑點(diǎn)之間的時(shí)間分配, 即給出兩個(gè)路徑點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。 軌跡規(guī)劃既可在關(guān)節(jié)空間中進(jìn)行, 即將所有的關(guān)節(jié)變量表示為時(shí)間的函數(shù),用其一階、二階導(dǎo)數(shù)描述機(jī)器人的預(yù)期動(dòng)作, 也可在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行,即將手部位姿參數(shù)表示為時(shí)間的函數(shù), 而相應(yīng)的關(guān)節(jié)位置、 速度和加速度由手部信息導(dǎo)出。,2020/7/8,84,以二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人為例解釋軌跡規(guī)劃的基本原理。 要求機(jī)器人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)。機(jī)器人在A點(diǎn)時(shí)形位角為=20,=30; 達(dá)到B點(diǎn)時(shí)的形位角是=40,=80。兩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的最大速率均為10/s。 如圖3.19所示。,2020/7/8,85,當(dāng)機(jī)器人的所有關(guān)節(jié)均以最大速度運(yùn)動(dòng)時(shí),

29、下方的連桿將用2s到達(dá), 而上方的連桿還需再運(yùn)動(dòng)3s. 可見路徑是不規(guī)則的,手部掠過的距離點(diǎn)也是不均勻的。,2020/7/8,86,機(jī)器人關(guān)節(jié)速率的歸一化處理 設(shè)機(jī)器人手臂兩個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)用有關(guān)公共因子做歸一化處理,使手臂運(yùn)動(dòng)范圍較小的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)成比例的減慢,這樣,兩個(gè)關(guān)節(jié)就能夠同步開始和結(jié)束運(yùn)動(dòng). 即兩個(gè)關(guān)節(jié)以不同速度一起連續(xù)運(yùn)動(dòng), 速率分別為4/s和10/s。,2020/7/8,87,圖 3.20 二自由度機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的歸一化運(yùn)動(dòng),如圖3.20所示,為該機(jī)器人兩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡, 與前面的不同, 其運(yùn)動(dòng)更加均衡, 且實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)速率歸一化處理。,2020/7/8,88,若希望機(jī)器人的手部可以沿AB

30、這條直線運(yùn)動(dòng), 最簡(jiǎn)單的方法是? 將該直線等分為幾部分(圖3.21中分成5份), 然后計(jì)算出各個(gè)點(diǎn)所需的形位角和的值, 這一過程稱為兩點(diǎn)間的插值。 可以看出,這時(shí)路徑是一條直線, 而形位角變化并不均勻。很顯然, 如果路徑點(diǎn)過少, 將不能保證機(jī)器人在每一小段內(nèi)的嚴(yán)格直線軌跡, 因此,為獲得良好的沿循精度, 應(yīng)對(duì)路徑進(jìn)行更加細(xì)致的分割。 由于對(duì)機(jī)器人軌跡的所有運(yùn)動(dòng)段的計(jì)算均基于直角坐標(biāo)系, 因此該法屬直角坐標(biāo)空間的軌跡規(guī)劃。,2020/7/8,89,2020/7/8,90,3.3.3 關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃 1. 三次多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃 假設(shè)機(jī)器人的初始位姿是已知的,通過求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以求得機(jī)器人期望的手部位姿對(duì)應(yīng)的形位角。若考慮其中某一關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)開始時(shí)刻ti的角度為i , 希望該關(guān)節(jié)在時(shí)刻tf運(yùn)動(dòng)到新的角度f . 軌跡規(guī)劃的一種方法是使用多項(xiàng)式函數(shù)以使得初始和末端的邊界條件與已知條件