1、1,機(jī)器人工程及應(yīng)用,雅可比矩陣的定義 微分運(yùn)動與廣義速度 雅可比矩陣的構(gòu)造法 PUMA560機(jī)器人的雅可比矩陣 逆雅可比矩陣 力雅可比矩陣,第四講：微分運(yùn)動和雅可比矩陣,上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機(jī)器人各連桿間的位移關(guān)系，建立了機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程，研究了運(yùn)動學(xué)逆解，建立了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。 本章將在位移分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行速度分析，研究操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系雅可比矩陣(簡稱雅可比)。雅可比矩陣不僅用來表示操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度線性映射關(guān)系，同時也用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。,4.1 雅可比矩陣的定義 把機(jī)器人關(guān)節(jié)速度向量 定義為： 式

2、中， 為連桿i相對i-1的角速度或線速度。,手抓在基坐標(biāo)系中的廣義速度向量為： 式中， v為線速度，為角速度分量。,從關(guān)節(jié)空間速度向操作空間速度映射的線性關(guān)系稱為雅可比矩陣，記為J，即：,4-3,在數(shù)學(xué)上，機(jī)器人終端手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫成： 上式對時間求導(dǎo)，有：,4-5,對照式4-3和式4-5，可知：,在機(jī)器人學(xué)中，J是一個把關(guān)節(jié)速度向量 變換為手爪相對基坐標(biāo)的廣義速度向量的變換矩陣。在三維空間運(yùn)行的機(jī)器人，其J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個)；列數(shù)則為機(jī)械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目。 對于平面運(yùn)動的機(jī)器人來說，手的廣義位置向量 均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便。,對于

3、三維空間運(yùn)行的機(jī)器人則不完全適用。從三維空間運(yùn)行的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)方程，可以獲得直角坐標(biāo)位置向量 的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量 的一般表達(dá)式。找不出互相獨立的、無順序的三個轉(zhuǎn)角來描述方位繞直角坐標(biāo)軸的連續(xù)角運(yùn)動變換是不可交換的，而對角位移的微分與對角位移的形成順序無關(guān)，故一般不能運(yùn)用直接微分法來獲得J的后三行。因此，常用構(gòu)造性方法求雅可比J。,4.2 微分運(yùn)動與廣義速度 剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動包括微分移動矢量d和微分轉(zhuǎn)動矢量 。前者由沿三個坐標(biāo)軸的微分移動組成，后者由繞三個坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動組成，即 或 或,剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動矢量,剛體或坐標(biāo)系的廣義速度,簡

4、寫為：,其中，R是旋轉(zhuǎn)矩陣,S(P)為矢量P的反對稱矩陣,S(P)矩陣具有以下性質(zhì)：,相應(yīng)的，廣義速度V的坐標(biāo)變換為：,任意兩坐標(biāo)系A(chǔ)和B之間廣義速度的坐標(biāo)變換為：,4.3 雅可比矩陣的構(gòu)造法 構(gòu)造雅可比矩陣的方法有矢量積法和微分變換法，雅可比矩陣J(q)既可當(dāng)成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳遞的線性關(guān)系，也可看成是微分運(yùn)動轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即：,對于有n個關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其雅可比矩陣J(q) 是6n階矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對手爪線速度v的傳遞比，后三行稱為方位矩陣，代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度 對手爪的角速度的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣J(q)分塊，即： 式中，Jli和Jai分別表示關(guān)節(jié)

5、i的單位關(guān)節(jié)速度引起手爪的線速度和角速度。,雅可比矩陣的求解（矢量積法）： Jli的求法： (1) 第i關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時,僅平移關(guān)節(jié)產(chǎn)生的線速度,設(shè)某時刻僅此關(guān)節(jié)運(yùn)動、其余的關(guān)節(jié)靜止不動，則：,設(shè)bi-1為zi-1軸上的單位矢量，利用它可將局部坐標(biāo)下的平移速度di轉(zhuǎn)換成基礎(chǔ)坐標(biāo)下的速度：,由于,所以,(2)第i個關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時， 設(shè)某時刻僅此關(guān)節(jié)運(yùn)動，其余的關(guān)節(jié)靜止不動，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)坐標(biāo)中去,僅旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的線速度,矢量 起于Oi-1，止于On，所以由i產(chǎn)生的線速度為:,由于,所以,雅可比矩陣的求解： Jai的求法： 第i關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時 由于關(guān)節(jié)移動的平

6、移不對手部產(chǎn)生角速度，所以此時,(2) 第i關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，,所以,當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時,當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時,確定,1、用b表示zi-1軸上的單位向量,把它轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)坐標(biāo)系中，即為,如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎(chǔ)坐標(biāo)系、i-1號坐標(biāo)及手部坐標(biāo)系的原點。用矢量x表示在各自坐標(biāo)系中的原點。,把,用齊次坐標(biāo)表示,有上式可以確定,例2-6：建立右圖的雅可比矩陣,機(jī)械臂末端的速度為,微分變換法,對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié),對于移動關(guān)節(jié),對于移動關(guān)節(jié),對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié),例：PUMA560的6個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，其雅可比有6列。此處用矢量積法計算J(q),例：斯坦福六自由度機(jī)器人除第三關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)外，

7、其余5個關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。此處用微分法計算TJ(q),若給定機(jī)器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由下式解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：,逆雅可比矩陣,上式中， 稱為逆雅可比矩陣， 為加給對應(yīng)關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的速度輸入變量。,雅可比矩陣的應(yīng)用 1、分離速度控制,由上式可見，當(dāng)已知手端速度向量V，可通過左乘雅可比逆矩陣計算出機(jī)器人的關(guān)節(jié)速度向量，所以上式為運(yùn)動學(xué)逆問題的速度關(guān)系式，是對機(jī)器人進(jìn)行速度控制的基本關(guān)系式。,采用計算機(jī)控制時，把速度表示位置增量的形式，故將上式寫為：,式中,v為手部在基礎(chǔ)坐標(biāo)下一個采樣周期的位移(線位移、角位移)； q為在同一周期內(nèi)關(guān)節(jié)變量的增量。,當(dāng)要求機(jī)器人沿某軌跡運(yùn)動時，v為已知，將

8、它代入上式中求得關(guān)節(jié)變量增量q ，于是可確定各關(guān)節(jié)變量值，由伺服系統(tǒng)實現(xiàn)位置控制，這就是分離速度控制原理，如下圖所示。,v要求,v實際,分離速度控制原理,雅可比矩陣的應(yīng)用 2、在靜力分析中的應(yīng)用,有些機(jī)器人的工作需要與環(huán)境接觸，并保持一定的接觸力，如右圖所示。接觸力F可表示為一個六維力向量：,設(shè)一個驅(qū)動器只驅(qū)動一個關(guān)節(jié)，則n個關(guān)節(jié)需求n個驅(qū)動力，可組成一個n維關(guān)節(jié)力向量:,T與F的關(guān)系可以表示為：,2-56,式中， 稱為機(jī)器人力雅可比，它表示在靜止平衡狀態(tài)下，末端廣義力向關(guān)節(jié)力映射的線性關(guān)系。顯然，力雅可比是機(jī)器人速度雅可比的轉(zhuǎn)置。因此，機(jī)器人靜力學(xué)傳遞關(guān)系和速度傳遞關(guān)系緊密相關(guān)。,由構(gòu)型和例2-6可得：,思考題1： 右圖為三自由度機(jī)械手 (1)用D-H方法建立各附體坐標(biāo)系； (2)列出連桿的D-H