1、9.4直線與圓、圓與圓的位置關系,第九章平面解析幾何,基礎知識自主學習,課時作業(yè),題型分類深度剖析,內容索引,基礎知識自主學習,1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法 (1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關系. 相交； 相切； 相離.,知識梳理,dr,dr,dr,相交,相離,相切,2.圓與圓的位置關系 設圓O1：(xa1)2(yb1)2 (r10)， 圓O2：(xa2)2(yb2)2 (r20).,dr1r2,dr1r2,|r1r2|dr1r2,d|r1r2|(r1r2),0d|r1r2|(r1r2),無解,一組實數(shù)解,兩組不同的實數(shù)解,一組實數(shù)解,無解,1.圓的切線方程常

2、用結論 (1)過圓x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0 xy0yr2. (2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. (3)過圓x2y2r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0 xy0yr2. 2.圓與圓的位置關系的常用結論 (1)兩圓的位置關系與公切線的條數(shù)：內含：0條；內切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條. (2)當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.,【知識拓展】,題組一思考辨析 1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或

3、“”) (1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.() (2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.() (3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.() (4)過圓O：x2y2r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0 xy0yr2.(),基礎自測,1,2,3,4,5,6,(5)過圓O：x2y2r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0 xy0yr2.() (6)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切.(),1,2,3,4,5,6,題組二教材改編

4、2.P128T4若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 A.3，1 B.1,3 C.3,1 D.(，31，),答案,解析,1,2,3,4,5,6,幾何畫板展示,3.P133A組T9圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_.,答案,得兩圓公共弦所在直線為xy20.,解析,1,2,3,4,5,6,題組三易錯自糾 4.若直線l：xym0與圓C：x2y24x2y10恒有公共點，則m的取值范圍是,解析圓C的標準方程為(x2)2(y1)24，圓心為(2,1)，半徑為2，圓心到直線的距離d ，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,5.(2018石家莊模擬)設圓C1，C

5、2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|等于 A.4 B.4 C.8 D.8,解析因為圓C1，C2和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)， 所以兩圓都在第一象限內，設圓心坐標為(a，a)，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,6.過點A(3,5)作圓O：x2y22x4y10的切線，則切線的方程為_.,解析,5x12y450或x30,答案,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析化圓x2y22x4y10為標準方程得(x1)2(y2)24，其圓心為(1,2)，,顯然，當切線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x30， 當切線斜率存在時，可設所求切線方程為y5k

6、(x3)， 即kxy53k0.,故所求切線方程為5x12y450或x30.,題型分類深度剖析,1.已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關系是 A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定,題型一直線與圓的位置關系,自主演練,答案,解析因為M(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b21，,解析,所以直線與圓相交.,2.圓x2y22x4y0與直線2txy22t0(tR)的位置關系為 A.相離 B.相切 C.相交 D.以上都有可能,答案,解析直線2txy22t0恒過點(1，2)， 12(2)2214(2)50， 點(1，2)在圓x2y22x4y0內， 直線2txy22t

7、0與圓x2y22x4y0相交，故選C.,解析,判斷直線與圓的位置關系的常見方法 (1)幾何法：利用d與r的關系. (2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷. (3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交.,典例 已知圓C1：(xa)2(y2)24與圓C2：(xb)2(y2)21外切，則ab的最大值為,題型二圓與圓的位置關系,師生共研,解析由圓C1與圓C2外切，,解析,答案,1.若將本典例中的“外切”變?yōu)椤皟惹小?，求ab的最大值.,解答,2.若將本典例條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，求公共弦所在的直線方程.,解答,解由題意把圓C1，圓C2的方程都化為一般方程，得 圓C1：x2y2

8、2ax4ya20， 圓C2：x2y22bx4yb230， 由得(2a2b)x3b2a20， 即(2a2b)x3b2a20為所求公共弦所在直線方程.,判斷圓與圓的位置關系時，一般用幾何法，其步驟是 (1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長； (2)利用平面內兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|； (3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結論.,解析,跟蹤訓練 (2017重慶調研)如果圓C：x2y22ax2ay2a240與圓O：x2y24總相交，那么實數(shù)a的取值范圍是_.,答案,解析圓C的標準方程為(xa)2(ya)24，圓心坐標為(a，a)，半徑為2.,命題點1求弦長問題 典例

9、 (2016全國)已知直線l：mxy3m 0與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|2 ，則|CD|_.,題型三直線與圓的綜合問題,多維探究,解析,4,答案,解析設AB的中點為M，,解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.,命題點2直線與圓相交求參數(shù)范圍 典例 已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點. (1)求k的取值范圍；,解答,解由題設，可知直線l的方程為ykx1，,解答,解設M(x1，y1)，N(x2，y2). 將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70

10、.,所以l的方程為yx1. 故圓心C在l上，所以|MN|2.,命題點3直線與圓相切的問題 典例 已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程. (1)與直線l1：xy40平行；,解答,解設切線方程為xyb0，,(2)與直線l2：x2y40垂直；,解答,解設切線方程為2xym0，,(3)過切點A(4，1).,解答,過切點A(4，1)的切線斜率為3， 過切點A(4，1)的切線方程為y13(x4)， 即3xy110.,直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略 (1)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形. (2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線

11、的距離等于半徑，從而建立關系解決問題.,跟蹤訓練 (1)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_.,解析,答案,由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直，,(2)過點P(2,4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_.,答案,解析,x2或4x3y40,解析當直線的斜率不存在時，直線方程為x2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意； 當直線的斜率存在時，設直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，直線與圓相切， 圓心到直線的距離等于半徑，,即4x3y40. 綜上，切線方程為x2或4x3y40.,高考中與圓交匯問題的求解,高頻小考點,與圓有關

12、的最值問題及直線與圓相結合的題目是近年來高考高頻小考點.與圓有關的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化；直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質.,考點分析,一、與圓有關的最值問題 典例1(1)已知點A，B，C在圓x2y21上運動，且ABBC.若點P的坐標為(2,0)，則 的最大值為 A.6 B.7 C.8 D.9,解析,答案,解析A，B，C在圓x2y21上，且ABBC， AC為圓的直徑，,解析,答案,二、直線與圓的綜合問題 典例2(

13、1)已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，過點A(4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|等于,解析,答案,解析由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸， 圓心C(2,1)在直線xay10上， 2a10，a1，A(4，1). |AC|236440.又r2，|AB|240436. |AB|6.,(2)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為,解析,答案,解析AOB90，點O在圓C上. 設直線2xy40與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2xy40的距離， 點C

14、在以O為焦點，以直線2xy40為準線的拋物線上， 當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.,課時作業(yè),1.已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得的弦的長度為4，則實數(shù)a的值是 A.2 B.4 C.6 D.8,基礎保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析將圓的方程化為標準方程為(x1)2(y1)22a，,故r2d24，即2a24，所以a4，故選B.,2.圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為 的點共有 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,解析圓的方程可化為(x1)2(y2)28，圓心(1，2)到直線的距 離

15、 ，半徑是2 ，結合圖形可知有3個符合條件的點.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018福州模擬)過點P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析圓(x1)2y21的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC| 2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y .,解析,4.(2017廣州調研)若點A(1,0)和點B(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則

16、這樣的直線有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓. 由題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1， 直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2， 所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內公切線).,解析,5.(2017福建漳州八校聯(lián)考)已知點P(a，b)(ab0)是圓x2y2r2內的一點，直線m是以P為中點的弦所在的直線，直線l的方程為axbyr2，那么 A.ml，且l與圓相交 B.ml，且l與圓相切 C.ml，且l與圓相離 D.ml，且l與圓相離

17、,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析點P(a，b)(ab0)在圓內，a2b2r2. 圓x2y2r2的圓心為O(0,0)，故由題意得OPm，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ml，l與圓相離.故選C.,6.(2018洛陽二模)已知圓C的方程為x2y21，直線l的方程為xy2，過圓C上任意一點P作與l夾角為45的直線交l于點A，則|PA|的最小值為,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一由題意可知，直線PA與坐標軸平行或重合，不妨設

18、直線PA與y軸平行或重合， 設P(cos ，sin )，則A(cos ，2cos )，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016全國)已知直線l：x y60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,答案,令y0，則xC2，xD2，|CD|2(2)4.,8.(2017蘭州調研)點P在圓C1：x2y28x4y110上，點Q在圓C2：x2y24x2y10上，則|PQ|的最小值是_.,1,2,3,4,5,6,7,8

19、,9,10,11,12,13,14,15,16,解析把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式，得 (x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24. 圓C1的圓心坐標是(4,2)，半徑是3； 圓C2的圓心坐標是(2，1)，半徑是2.,解析,答案,9.過點P(1， )作圓x2y21的兩條切線，切點分別為A，B，則 _.,解析由題意，得圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,則|OP|2，OPA30，APB60.,10.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2y28x150，若直線ykx2上至少存在一點，使得以

20、該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共 點，則k的最大值是_.,解析圓C的標準方程為(x4)2y21，圓心為(4,0). 由題意知(4,0)到kxy20的距離應不大于2，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,11.已知圓C：x2y22x4y10，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設切點為M. (1)若點P運動到(1,3)處，求此時切線l的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解把圓C的方程化為標準方程為(x1)2(y2)24， 圓心為C(1,2)，半徑r2. 當l的斜率不存在

21、時，此時l的方程為x1， C到l的距離d2r，滿足條件. 當l的斜率存在時，設斜率為k， 得l的方程為y3k(x1)， 即kxy3k0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即3x4y150. 綜上，滿足條件的切線l的方程為x1或3x4y150.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求滿足條件|PM|PO|的點P的軌跡方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解設P(x，y)，則|PM|2|PC|2|MC|2 (x1)2(y2)24， |PO|2x2y2，

22、|PM|PO|， (x1)2(y2)24x2y2， 整理，得2x4y10， 點P的軌跡方程為2x4y10.,12.已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方. (1)求圓C的方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以圓C的方程為x2y24.,(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解當直線ABx軸時，x軸平分ANB. 當直線AB的斜率存在時， 設直線AB的方程為yk(x1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以當點N坐標為(4,0)時，能使得ANMBNM總成立.,13.(2017安徽蕪湖六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4，設圓C的半徑為1，圓心在直線l上.若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，則圓心C