1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù),第四章三角函數(shù)、解三角形,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),1.角的概念 (1)任意角：定義：角可以看成平面內(nèi) 繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的 ；分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為 、 和 . (2)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是S . (3)象限角：使角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊與 重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.,知識(shí)梳理,一條射線,圖形,正角,負(fù)角,零角,原點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸,|k360，kZ,2.弧度制 (1)定

2、義：把長(zhǎng)度等于 長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度.正角的弧度數(shù)是一個(gè) ，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè) ，零角的弧度數(shù)是 . (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad . (3)扇形的弧長(zhǎng)公式：l ，扇形的面積公式：S .,半徑,正數(shù),負(fù)數(shù),0,|r,3.任意角的三角函數(shù) 任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)， 則sin ，cos ，tan (x0). 三個(gè)三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：,y,x,R,R,4.三角函數(shù)線 如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，過(guò)A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.,MP,O

3、M,AT,幾何畫(huà)板展示,1.三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則,【知識(shí)拓展】,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.() (2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān).() (3)不相等的角終邊一定不相同.() (4)若為第一象限角，則sin cos 1.(),基礎(chǔ)自測(cè),1,2,3,4,5,6,7,8,題組二教材改編,解析,2.P10A組T7角225_弧度，這個(gè)角在

4、第_象限. 3.P15T2設(shè)角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，3)，那么2cos sin _.,二,答案,4.P10A組T6一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_(kāi)弧度.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,答案,題組三易錯(cuò)自糾,5.(2018秦皇島模擬)下列與 的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 A.2k45(kZ) B.k360 (kZ) C.k360315(kZ) D.k (kZ),1,2,3,4,5,6,7,8,6.集合 中的角所表示的范圍(陰影部分)是,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,7.已知角(0)的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，則sin

5、 _.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,8.(2018濟(jì)寧模擬)函數(shù)y 的定義域?yàn)開(kāi).,答案,1,2,3,4,5,6,7,解析2cos x10，,由三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，,8,幾何畫(huà)板展示,題型分類深度剖析,A.MN B.MN C.NM D.MN,題型一角及其表示,自主演練,答案,解析,因此必有MN，故選B.,2.若角是第二象限角，則 是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角,解析,解析是第二象限角，,答案,3.(2018寧夏質(zhì)檢)終邊在直線y x上，且在2，2)內(nèi)的角的集合 為_(kāi).,解析,答案,(1)利用終邊

6、相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角.,典例 (1)(2017珠海模擬)已知扇形的周長(zhǎng)是4 cm，則扇形面積最大時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是 A.2 B.1 C. D.3,解析,題型二弧度制,師生共研,解析設(shè)扇形的半徑為R，則弧長(zhǎng)l42R， 扇形面積S lRR(2R) R22R(R1)21， 當(dāng)R1時(shí)，S最大，此時(shí)l2，扇形圓心角為2弧度.,答案,(2)若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是_.,解析設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，,解析,答案,應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法 (1

7、)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度. (2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題. (3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.,跟蹤訓(xùn)練(1)(2018湖北七校聯(lián)考)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為,解析,答案,解析如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，,作OMAB，垂足為M，,(2)已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，P沿著直線l向右，Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ，OP(如圖)，則陰影部分面積S1，S2的大小關(guān)系是_.,S

8、1S2,解析,答案,解析設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為m，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，圓O的半徑為r，,則 APtm，根據(jù)切線的性質(zhì)知OAAP，,S1S2恒成立.,命題點(diǎn)1三角函數(shù)定義的應(yīng)用 典例 (1)(2018山東重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為,解析,題型三三角函數(shù)的概念及應(yīng)用,多維探究,答案,A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,答案,解析,解析,命題點(diǎn)2三角函數(shù)線的應(yīng)用,典例 函數(shù)ylg(2sin x1) 的定義域?yàn)開(kāi).,答案,如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，,(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的

9、三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo). (2)利用三角函數(shù)線解不等式要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性寫(xiě)出角的范圍.,跟蹤訓(xùn)練(1)(2017濟(jì)南模擬)已知點(diǎn)P(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析,答案,解析tan 0，cos 0， 在第二象限.,(2)(2017石家莊模擬)若 ，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin ，cos ，tan 的大小是 A.sin tan cos B.cos sin tan C.sin cos tan D.tan sin cos ,答案,解析,解析如圖，作出角的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，

10、 觀察可知sin cos tan .,典例 (1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2,1)時(shí)， 的坐標(biāo)為_(kāi).,數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用,思想方法,思想方法指導(dǎo),思想方法指導(dǎo)在坐標(biāo)系中研究角就是一種數(shù)形結(jié)合思想，利用三角函數(shù)線可直觀得到有關(guān)三角函數(shù)的不等式的解集.,(2)(2017合肥調(diào)研)函數(shù)ylg(34sin2x)的定義域?yàn)開(kāi).,答案,解析,(2sin 2,1cos 2),幾何畫(huà)板展示,幾何畫(huà)板展示,解析(1)如圖所示，過(guò)圓心C作x軸的垂線，垂足為A，過(guò)P作x軸的垂線與過(guò)

11、C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2，所以劣弧 2，即圓心角PCA2，,設(shè)點(diǎn)P(xP，yP)， 所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，,(2)因?yàn)?4sin2x0，,利用三角函數(shù)線畫(huà)出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，,課時(shí)作業(yè),1.角870的終邊所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由8701 080210，知870角和210角的終邊相同，在第三象限.,解析,答案,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,

12、15,16,解析,3.(2017福州模擬)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，m)，且sin ，則m等于 A.3 B.3 C. D.3,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,4.(2018廣州質(zhì)檢)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，射線OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 010后與圓x2y24相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由題意得Q(2cos(2 010)，2sin(2 010)，,5.已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為 A.2 B.4 C.6 D.8,解析,答案,

13、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)扇形的半徑為R，,R1，弧長(zhǎng)l4，扇形的周長(zhǎng)為l2R6.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2017懷化模擬)sin 2cos 3tan 4的值 A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在,答案,解析sin 20，cos 30， sin 2cos 3tan 40.,8.給出下列命題： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角； 不論是用角度

14、制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無(wú)關(guān)； 若sin sin ，則與的終邊相同； 若cos 0，則是第二或第三象限的角. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A.1 B.2C.3 D.4,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析舉反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故錯(cuò)； 當(dāng)三角形的內(nèi)角為90時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故錯(cuò)；正確；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當(dāng)cos 1，時(shí)，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故錯(cuò). 綜上可知只有正確.,解析,答案,1,2,3,4

15、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2017河南八市聯(lián)考)已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重 合，點(diǎn)P(4m,3m)(m0)是角終邊上的一點(diǎn)，則2sin cos _.,10.已知扇形的圓心角為 ，面積為 ，則扇形的弧長(zhǎng)等于_.,解析設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,11.函數(shù)y 的定義域?yàn)開(kāi).,解析利用三角函數(shù)線(如圖)，,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,12.滿足cos 的角的集合為_(kāi).,1,2,3,4,5,6,

16、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，,技能提升練,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,13.已知sin sin ，那么下列命題成立的是 A.若，是第一象限的角，則cos cos B.若，是第二象限的角，則tan tan C.若，是第三象限的角，則cos cos D.若，是第四象限的角，則tan tan ,解析如圖，當(dāng)在第四象限時(shí)，作出，的正弦線M1P1，M2P2和正切線AT1，AT2， 觀察知當(dāng)sin sin 時(shí)，tan tan .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.已知點(diǎn)P(sin cos ，tan )在第四象限，則在0,2內(nèi)的取值范 圍是_.,答案,解析,得1tan 0或tan 1.,15.(2017煙臺(tái)模擬)若角的終邊與直線y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角終邊上一點(diǎn)，且|OP| ，則mn_.,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10