1、第一充分條件:,在,內(nèi)可導(dǎo),極值的必要條件:,若,是函數(shù)f(x)的極值,則,或,不存在.,極值的充分條件,則,不是極值,設(shè)函數(shù) f(x)在,上連續(xù),3.5內(nèi)容回顧,第二充分條件:,二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,第三充分條件,則:,數(shù) , 且,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時,是極小點(diǎn) ;,是極大點(diǎn) .,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時,為極值點(diǎn) ,不是極值點(diǎn) .,是拐點(diǎn).,不是拐點(diǎn).,(拐點(diǎn)的第二充分條件):,當(dāng) 在區(qū)間I 上連續(xù)且只有一個極值點(diǎn)時,當(dāng) 在 上單調(diào)時,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對應(yīng)用問題 , 有時可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,

2、可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),閉區(qū)間上 連續(xù)函數(shù)的最值:,一、 曲線的漸近線,二、 函數(shù)圖形的描繪,3.6 函數(shù)圖形的描繪,第三章,1. 水平與鉛直漸近線,若,則曲線,有水平漸近線,若,則曲線,有鉛直漸近線,一、 曲線的漸近線,2. 斜漸近線,斜漸近線,若,( P75 題13),二、函數(shù)圖形的描繪,步驟 :,1. 確定函數(shù),的定義域 ,2. 求,并求出,及,3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;,4. 求漸近線 ;,5. 作圖,為 0 和不存在的點(diǎn) ;,并考察其對稱性及周期性 ;,(2) 畫出漸近線,(3)描點(diǎn):首先是表中的特殊點(diǎn),(4)結(jié)合單調(diào)性與凹凸性及漸近線分

3、段連線作圖,(必要時補(bǔ)充一些關(guān)鍵點(diǎn)),(1)畫出坐標(biāo)系(適當(dāng)確定兩軸的單位),例1. 描繪,的圖形.,解: 1) 定義域為,無對稱性及周期性.,2),3),(拐點(diǎn)）,4),無漸近線,補(bǔ)充點(diǎn)(-1,2/3)、(3,2),5)描點(diǎn)作圖,例2. 描繪函數(shù),的圖形.,解: 1) 定義域為,圖形對稱于 y 軸.,2),3),(極大),(拐點(diǎn)),(極大),(拐點(diǎn)),為水平漸近線,5) 作圖,4) 求漸近線,例3.描繪函數(shù),解,非奇非偶函數(shù),且無對稱性.,的圖形.,3).列表,拐點(diǎn),極值點(diǎn),4) 求漸近線,補(bǔ)充點(diǎn):,(-2,-3),5)作圖：,.,D,例4. 求曲線,的漸近線 .,解:,又因,為曲線的斜漸近

4、線 .,(無水平漸近線),水平漸近線 ;鉛直漸近線;,內(nèi)容小結(jié),1. 曲線漸近線的求法,斜漸近線,按作圖步驟進(jìn)行,2. 函數(shù)圖形的描繪,拐點(diǎn)為 ,凸區(qū)間是 ,曲線,的凹區(qū)間是 ,提示:,及,漸近線 .,單增區(qū)間 ,單減區(qū)間 .,0,+),(-,0,P76 14 (2); P169 2 ; 5,作業(yè),曲線的彎曲程度,與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān),與曲線的弧長有關(guān),主要內(nèi)容:,一、 弧微分,二、 曲率及其計算公式,三、 曲率圓與曲率半徑,3.7 平面曲線的曲率,第三章,一、 弧微分,設(shè),在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為 AB,弧長,(增函數(shù)),表示有向弧的值,則弧長微分公式為,或,若曲線由參數(shù)方程表示:

5、,又s=s(x)是增函數(shù),則,若曲線由極坐標(biāo)方程表示:,代入?yún)?shù)方程時的弧微分公式得,請記住三個弧微分公式!,二、曲率及其計算公式,在光滑弧上自點(diǎn) M 開始取弧段, 其長為,對應(yīng)切線,定義,弧段 上的平均曲率,點(diǎn) M 處的曲率,注意: 直線上任意點(diǎn)處的曲率為 0 !,轉(zhuǎn)角為,例1. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .,解: 如圖所示 ,可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;,R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .,有曲率近似計算公式,故曲率計算公式為,又,曲率K 的計算公式,二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧,則由,兩邊微分得:,三、 曲率圓與曲率半徑,設(shè) M 為曲線 C 上任一點(diǎn)

6、 ,在點(diǎn),在曲線,把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) M 處的,曲率圓,( 密切圓 ) ,R 叫做曲率半徑,D 叫做,曲率中心.,在點(diǎn)M 處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:,(1) 有公切線;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使,設(shè)曲線方程為,且,求曲線上點(diǎn)M 處的,曲率半徑及曲率中心,設(shè)點(diǎn)M 處的曲率圓方程為,故曲率半徑公式為,滿足方程組,的坐標(biāo)公式 .,由此可得曲率中心公式,95年考研題：推導(dǎo)曲率中心的坐標(biāo)公式,例2. 設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓, 現(xiàn)要用砂輪磨,削其內(nèi)表面 , 問選擇多大的砂輪比較合適?,解: 設(shè)橢圓方程為,顯然, 橢圓在,處曲率最大 ,即曲率半徑最小, 且為,則選擇砂輪半徑不超過,(想一想怎樣求?),=0,內(nèi)容小結(jié),1. 弧長微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圓,曲率半徑,曲率中心,(