1、高等數(shù)學(xué)公式 導(dǎo)數(shù)公式：導(dǎo)數(shù)公式： 基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分： 基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x + = + = + =， ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 = = = = = = 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +

2、= + = = = += += += += += += += += caxx ax dx cshxchxdx cchxshxdx c a a dxa cxctgxdxx cxdxtgxx cctgxxdx x dx ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 c a x xa dx c xa xa axa dx c ax ax aax dx c a x arctg axa dx cctgxxxdx ctgxxxdx cxctgxdx cxtgxdx += + + = + + = += + += +=

3、+= += arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 += += +=+ = c a xa xa x dxxa caxx a ax x dxax caxx a ax x dxax i n n xdxxdxi n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限： 一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限： 三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式： 三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式： 函數(shù) 角 a sin cos

4、tg ctg - -sincos-tg -ctg 90- cossin ctgtg 90+ cos-sin-ctg-tg 180- sin -cos-tg -ctg 180+ -sin-costg ctg 270- -cos-sinctgtg 270+ -cossin -ctg-tg 360- -sincos-tg -ctg 360+ sin costg ctg 和差角公式： 和差化積公式： 和差角公式： 和差化積公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin + = + =+ +

5、= + =+ ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg = = = = 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( m m m x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx + = += += + = + = = 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 雙曲正切 雙曲余弦 雙曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 =+ = e x x x x x

6、x 倍角公式： 倍角公式： 半角公式： 半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin = + = + = + = = + = + = = ctgtg 正弦定理：正弦定理：r c c b b a a 2 sinsinsin = 余弦定理：余弦定理：cabbaccos2 222 += 反三角函數(shù)性質(zhì)：反三角函數(shù)性質(zhì)：arcctgxarctgxxx= 2 arccos 2 arcsin 高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（leibniz）公式： 高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（leibni

7、z）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vucuv + + + += = = l l l 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 拉格朗日中值定理。時(shí)，柯西中值定理就是當(dāng) 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx f f afbf afbf abfafbf = = = )(f )( )( )()( )()( )()()( 曲率： 曲率： . 1 ; 0 . )1 ( limm smm:. ,1 320 2 a ka k y y ds d

8、 s k mm s k tgydxyds s = = + = = = =+= 的圓：半徑為 直線： 點(diǎn)的曲率： 弧長。：化量；點(diǎn)，切線斜率的傾角變點(diǎn)到從平均曲率： 其中弧微分公式： 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg = = = 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg = = = = 定積分的近似計(jì)算： 定積分的近似計(jì)算： + + + b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy

9、 n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 ll l l 拋物線法： 梯形法： 矩形法： 定積分應(yīng)用相關(guān)公式： 定積分應(yīng)用相關(guān)公式： = = = = b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kf apf sfw )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函數(shù)的平均值： 為引力系數(shù)引力： 水壓力： 功： 空間解析幾何和向量代數(shù)： 空間解析幾何和向量代數(shù)： 。代表平行六面體的體積 為銳角時(shí)，向量的混合積： 例：線速度： 兩向量之間的夾角： 是一個(gè)數(shù)量 軸的夾角。與是向量在軸上的投

10、影： 點(diǎn)的距離：空間 ,cos)( .sin, cos ,cos prpr)(pr ,cospr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uabababj zzyyxxmmd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u v v vv v vv v v vvv v vv v vv v v v v vvvv = = + + = += +=+ = += （馬鞍面

11、）雙葉雙曲面： 單葉雙曲面： 、雙曲面： 同號）（、拋物面： 、橢球面： 二次曲面： 參數(shù)方程：其中空間直線的方程： 面的距離：平面外任意一點(diǎn)到該平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、點(diǎn)法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 =+ =+ =+ =+ += += += = = = + + = =+ =+ =+ c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x p

12、tzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx cba dczbyax d c z b y a x dczbyax zyxmcbanzzcyybxxa v v 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 z y z x y x y x y x yx f f y z f f x z zyxf dx dy f f yf f xdx yd f f dx dy yxf dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyx

13、fdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz = = = = + = + = = + = = + = += + + = + = ，隱函數(shù) ，隱函數(shù) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式： 時(shí)，當(dāng) ：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 全微分的近似計(jì)算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu gf jy v vy gf jy u xu gf jx v vx gf jx u gg ff v g u g v f u

14、f vu gf j vuyxg vuyxf vu vu = = = = = = = = = 隱函數(shù)方程組： 微分法在幾何上的應(yīng)用： 微分法在幾何上的應(yīng)用： ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxf zz zyxf yy zyxf xx zzzyxfyyzyxfxxzyxf zyxfzyxfzyxfn zyxmzyxf gg

15、 ff gg ff gg ff t zyxg zyxf zztyytxxtm t zz t yy t xx zyxm tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy = = =+ = = = = = =+ = = = = = 、過此點(diǎn)的法線方程： ：、過此點(diǎn)的切平面方程 、過此點(diǎn)的法向量： ，則：上一點(diǎn)曲面 則切向量若空間曲線方程為： 處的法平面方程：在點(diǎn) 處的切線方程：在點(diǎn)空間曲線 v v 方向?qū)?shù)與梯度：方向?qū)?shù)與梯度： 上的投影。在是 單位向量。 方向上的，為，其中：它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 的梯度：在一點(diǎn)函數(shù) 的轉(zhuǎn)角。軸到方向?yàn)槠渲?的方向?qū)?shù)為：沿任一方向在

16、一點(diǎn)函數(shù) lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( += + = + = = vv vv vv 多元函數(shù)的極值及其求法：多元函數(shù)的極值及其求法： = = 不確定時(shí) 值時(shí)，無極 為極小值 為極大值 時(shí)， 則： ，令：設(shè) ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 bac bac yxa yxa bac cyxfbyxfay

17、xfyxfyxf yyxyxxyx 重積分及其應(yīng)用： 重積分及其應(yīng)用： + = + = + = = = = + += = d z d y d x zyx d y d x d d y d x d dd ayx xdyx faf ayx ydyx ff ayx xdyx ff ffffaamzxoy dyxxiydyxyix dyx dyxy m m y dyx dyxx m m x dxdy y z x z ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 d 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0 , 0( ),(,),

18、( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ，其中：的引力：軸上質(zhì)點(diǎn)平面）對平面薄片（位于 軸對于軸對于平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 平面薄片的重心： 的面積曲面 柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)： +=+=+= = = = = = = = = = = = dvyxidvzxidvzyi dvxmdvz m zdvy m ydvx m x drrrfddddrdrrfdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrf dzrdrdzrfdxdydzzyxf zz ry rx zyx r )()()( 1 , 1 , 1 sin)

19、,(sin),(),( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： ，其中重心： ，球面坐標(biāo)： 其中： 柱面坐標(biāo)： 曲線積分：曲線積分： = = += = = )( )()()()(),(),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx llyxf l 特殊情況： 則：的參數(shù)方程為：上連續(xù)，在設(shè) 長的曲線積分）：第一類曲線積分（對弧 。，通常設(shè) 的全微分，其中：才是二元函數(shù)時(shí)，在 ：二元函數(shù)的全微分求積 注意方向相反！減去

20、對此奇點(diǎn)的積分， ，應(yīng)。注意奇點(diǎn)，如，且內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在，、 是一個(gè)單連通區(qū)域；、 無關(guān)的條件：平面上曲線積分與路徑 的面積：時(shí)，得到，即：當(dāng) 格林公式：格林公式： 的方向角。上積分起止點(diǎn)處切向量 分別為和，其中系：兩類曲線積分之間的關(guān) ，則：的參數(shù)方程為設(shè) 標(biāo)的曲線積分）：第二類曲線積分（對坐 0),(),(),( ),( )0 , 0(),(),(2 1 2 1 2, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 =+= + = = += += +=+ +=+ = = yxdyyxqdxyxpyxu yxuqdypdx

21、y p x q y p x q gyxqyxp g ydxxdydxdyad y p x q xqyp qdypdxdxdy y p x q qdypdxdxdy y p x q l dsqpqdypdx dttttqtttpdyyxqdxyxp ty tx l yx yx dl dldl ll l 曲面積分： 曲面積分： +=+ = = = + += dsrqprdxdyqdzdxpdydz dzdxzxzyxqdzdxzyxq dydzzyzyxpdydzzyxp dxdyyxzyxrdxdyzyxr dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp dxdyyxzyxzyxzyxfdsz

22、yxf zx yz xy xy d d d d yx )coscoscos( ),(,),( ,),(),( ),(,),( ),(),(),( ),(),(1),(,),( 22 系：兩類曲面積分之間的關(guān) 號。，取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號；，取曲面的前側(cè)時(shí)取正 號；，取曲面的上側(cè)時(shí)取正 ，其中：對坐標(biāo)的曲面積分： 對面積的曲面積分： 高斯公式：高斯公式： = += + nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuull 絕對收斂與條件收斂： 絕對收斂與條件收斂： + + 時(shí)收斂 時(shí)發(fā)散 級數(shù)： 收斂；級數(shù)： 收斂；發(fā)散，而調(diào)和級數(shù)： 為條件收斂級數(shù)。收斂，則稱發(fā)散，而如果 收斂

23、級數(shù)；肯定收斂，且稱為絕對收斂，則如果 為任意實(shí)數(shù)；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn ll ll 冪級數(shù)： 冪級數(shù)： 0 0 1 0 ) 3(lim ) 3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 =+= += = = = + + + + r r r aa a a r rx rx rx r xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， 的系數(shù)，則是，其中求收斂半徑的方法：設(shè) 稱為收斂半徑。，其中 時(shí)不定 時(shí)發(fā)

24、散 時(shí)收斂 ，使在數(shù)軸上都收斂，則必存 收斂，也不是在全，如果它不是僅在原點(diǎn)對于級數(shù) 時(shí)，發(fā)散 時(shí)，收斂于 ll ll 函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成冪級數(shù)： ll ll + += = + = + += + + n n n n n n n n n x n f x f xffxfx rxfxx n f r xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( )()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 時(shí)即為麥克勞林公式： 充要條件是：可以展開成泰勒級數(shù)的余項(xiàng)：

25、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)： 一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：一些函數(shù)展開成冪級數(shù)： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2 + += qp xrxr ececy 21 21 += 兩個(gè)相等實(shí)根)04( 2 = qp xr exccy 1 )( 21+ = 一對共軛復(fù)根)04( 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir = =+= ， ， )sincos( 21 xcxcey x += 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 型 為常數(shù)；型， 為常數(shù)， sin)(cos)()( )()( ,)

26、( xxpxxpexf xpexf qpxfqyypy nl x m x += = =+ 概率公式整理概率公式整理 1隨機(jī)事件及其概率 吸收律： aaba aa a = = = )( abaa a aa = = = )( )(abababa= 反演律：baba= baab= iu n i i n i i aa 11= = ui n i i n i i aa 11= = 2概率的定義及其計(jì)算 )(1)(apap= 若ba )()()(apbpabp= 對任意兩個(gè)事件 a, b, 有 )()()(abpbpabp= 加法公式：對任意兩個(gè)事件 a, b, 有 )()()()(abpbpapbap+=

27、 )()()(bpapbap+ )() 1()()()()( 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i aaapaaapaapapapll u =apabpapabp ()() )0)( )()( 121 12112121 = n nnn aaap aaaapaapapaaap l lll 全概率公式 = = n i i abpap 1 )()( )()( 1 i n i i bapbp= = bayes 公式 )(abp k )( )( ap abp k = = = n i ii kk bapbp bapbp 1 )()( )()( 4隨機(jī)變量及

28、其分布 分布函數(shù)計(jì)算 )()( )()()( afbf axpbxpbxap = = n n np 有 l, 2 , 1 , 0 ! )1 (lim = = k k eppc k kn n k n k n n (3) poisson 分布 )(p l, 2 , 1 , 0, ! )(= k k ekxp k 6連續(xù)型隨機(jī)變量 (1) 均勻分布 ),(bau = 其他, 0 0, )( xe xf x = 0,1 0, 0 )( xe x xf x (3) 正態(tài)分布 n ( , 2 ) += xexf x 2 2 2 )( 2 1 )( = x t texfd 2 1 )( 2 2 2 )( *

29、 n (0,1) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 += xex x 2 2 2 1 )( += xtex x t d 2 1 )( 2 2 7.多維隨機(jī)變量及其分布 二維隨機(jī)變量( x ,y )的分布函數(shù) = xy dvduvufyxf),(),( 邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù) + = x x dvduvufxf),()( + =dvvxfxfx),()( + = y y dudvvufyf),()( + =duyufyfy),()( 8. 連續(xù)型二維隨機(jī)變量 (1) 區(qū)域 g 上的均勻分布，u ( g ) = 其他, 0 ),(, 1 ),( gyx a yxf (2) 二維正態(tài)分布 +=xfxyfxfyxf

30、xxyx 0)()()(=yfyxfyf yyxy + + =dyyfyxfdyyxfxf yyxx )()(),()( + + =dxxfxyfdxyxfyf xxyy )()(),()( )(yxf yx )( ),( yf yxf y = )( )()( yf xfxyf y xxy = )(xyf xy )( ),( xf yxf x = )( )()( xf yfyxf x yyx = 10. 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 數(shù)學(xué)期望 + = = 1 )( k kkp xxe + =dxxxfxe)()( 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 x 的 k 階原點(diǎn)矩 )( k xe x 的 k 階絕對原點(diǎn)矩 )

31、|(| k xe x 的 k 階中心矩 )( k xexe x 的 方差 )()( 2 xdxexe= x ,y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩 )( lky xe x ,y 的 k + l 階混合中心矩 () lk yeyxexe)()( x ,y 的 二階混合原點(diǎn)矩 )(xye x ,y 的二階混合中心矩 x ,y 的協(xié)方差 ()()(yeyxexe x ,y 的相關(guān)系數(shù) xy ydxd yeyxex e= )()( )()( x 的方差 d (x ) = e (x - e(x)2) )()()( 22 xexexd= 協(xié)方差 ()()(),cov(yeyxexeyx= )()()(yexe

32、xye= ()()()( 2 1 ydxdyxd= 相關(guān)系數(shù) )()( ),cov( ydxd yx xy = 線性代數(shù)部分線性代數(shù)部分 梳理：條理化，給出一個(gè)系統(tǒng)的，有內(nèi)在有機(jī)結(jié)構(gòu)的理論體系。 溝通：突出各部分內(nèi)容間的聯(lián)系。 充實(shí)提高：圍繞考試要求，介紹一些一般教材上沒有的結(jié)果，教給大家常見問題的實(shí)用而簡捷 的方法。 大家要有這樣的思想準(zhǔn)備：發(fā)現(xiàn)我的講解在體系上和你以前學(xué)習(xí)的有所不同，有的方法是你不 知道的。但是我相信，只要你對它們了解了，掌握了，會(huì)提高你的解題能力的。 基本運(yùn)算基本運(yùn)算 abba+=+ ()()cbacba+=+ ()cbcabac+=+ ()dacaadc+=+ ()()

33、acddac= 00=cca或0=a。 ()aa t t = () tt t baba= ()() t t acca=。 () tt t abab= ()() () 2 1 211 2 = nn cnn n l nna aaaaad 2222222121 +=l 轉(zhuǎn)置值不變aat= 逆值變 a a 1 1 = acca n = , 2121 +=+ () 321 ,=a，3 階矩陣 () 321 ,=b baba+ () 332211 ,+=+ ba 332211 ,+=+ ba ba b a b a = = 0 0 ( )()1,=cjie 有關(guān)乘法的基本運(yùn)算有關(guān)乘法的基本運(yùn)算 njinji

34、jiij bababac+=l 2211 線性性質(zhì) ()bababaa 2121 +=+， () 2121 ababbba+=+ ()()()cbaabcbca= 結(jié)合律 ()()bcacab= () tt t abab= baab = lklk aaa + = () kl l k aa= () kk k baab=不一定成立！不一定成立！ aae =，aea = ()kakea=，()kaake= ebaeab= 與數(shù)的乘法的不同之處與數(shù)的乘法的不同之處 () kk k baab=不一定成立！不一定成立！ 無交換律無交換律 因式分解障礙是交換性 一個(gè)矩陣a的每個(gè)多項(xiàng)式可以因式分解，例如 ()

35、()eaeaeaa+=332 2 無消去律（無消去律（矩陣和矩陣相乘） 當(dāng)0=ab時(shí)0= / a或0=b 由0a和00= / =bab 由0a時(shí)cbacab= / =（無左消去律） 特別的特別的 設(shè)a可逆，則a有消去律有消去律。 左消去律：cbacab=。 右消去律：cbcaba=。 如果a列滿秩，則a有左消去律，即 00=bab cbacab= 可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì) i）當(dāng)a可逆時(shí)， t a也可逆，且()() t t aa 1 1 =。 k a也可逆，且()() k k aa 1 1 =。 數(shù)0c，ca也可逆，() 1 1 1 =a c ca。 ii）a，b是兩個(gè)n階可逆矩陣ab也可

36、逆，且() 11 1 =abab。 推論：設(shè)a，b是兩個(gè)n階矩陣，則ebaeab= 命題：初等矩陣都可逆，且 ()()()jiejie, 1 = ( )()() = c iecie 1 1 ( )()()()()cjiecjie= , 1 命題：準(zhǔn)對角矩陣 kk a a a a 000 000 000 000 22 11 o =可逆每個(gè) ii a都可逆，記 1 1 22 1 11 1 000 000 000 000 = kk a a a a o 伴隨矩陣的基本性質(zhì)：伴隨矩陣的基本性質(zhì)： eaaaaa=* 當(dāng)a可逆時(shí)， e a a a= * 得 a a a * 1 = ， （求逆矩陣的伴隨矩陣法

37、） 且得：()()= 1 1 *a a a a ()() = a a aaa 1 111 * 伴隨矩陣的其他性質(zhì)伴隨矩陣的其他性質(zhì) 1 * = n aa, 1 * =aaa ()(),* t t aa= ()* 1a cca n =, ()*,*abab= ()()k k aa* =， ()aaa n2 * =。 2=n時(shí)， ()aa=* = dc ba a* 關(guān)于矩陣右上肩記號關(guān)于矩陣右上肩記號：t，k，1，* i) 任何兩個(gè)的次序可交換， 如()()t t aa* =， ()()* 1 1 = aa等 ii) ()() 11 1 , =abababab tt t ， ()*abab= 但(

38、) kk k abab=不一定成立！ 線性表示線性表示 s ,0 21 l si , 21 l =+ sss xxxll 221121 ,有解 ()=x s , 21 l有解()() t s xxx, 1 l= =ax有解，即可用 a 的列向量組表示 () s rrrcab, 21 l=，() n a, 21 l=， 則 ns rrr, 2121 ll。 st , 2121 ll， 則存在矩陣c，使得()()c st , 2121 ll= 線性表示關(guān)系有傳遞性 當(dāng) pst rrr, 212121 lll， 則 pt rrr, 2121 ll。 等價(jià)關(guān)系：如果 s , 21 l與 t , 21

39、l互相可表示 ts , 2121 ll 記作 ts , 2121 ll。 線性相關(guān)線性相關(guān) 1=s，單個(gè)向量，0=x 相關(guān)0= 2=s， 21, 相關(guān)對應(yīng)分量成比例 21, 相關(guān) nn bababa: 2211 =l 向量個(gè)數(shù)s=維數(shù)n，則 n1 ,l線性相（無）關(guān)( )0 1 = n l () n a, 21 l=，0=ax有非零解0=a 如果ns ，則 s , 21 l一定相關(guān) 0=ax的方程個(gè)數(shù)，則 t , 1 l一定線性相關(guān)。 證明：記() s a, 1 l=，() t b, 1 l=， 則存在ts矩陣c，使得 acb =。 0=cx有s個(gè)方程，t個(gè)未知數(shù)，ts | 唯一解()( )n

40、aa=| 無窮多解()( )naa=| 方程個(gè)數(shù) 方程個(gè)數(shù)m： ： ()( )mama,| 當(dāng)( )ma =時(shí)，()ma=|，有解 當(dāng)nm 時(shí)，( )na ，不會(huì)是唯一解 對于齊次線性方程組 對于齊次線性方程組0=ax， ， 只有零解( )na =（即a列滿秩） （有非零解( )na =acxcxacxcxbxx t ttt （c可逆，0 x，0cx！ ） 我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì)我們給出關(guān)于正定的以下性質(zhì) a正定ea 存在實(shí)可逆矩陣c，cca t =。 a的正慣性指數(shù)n=。 a的特征值全大于0。 a的每個(gè)順序主子式全大于0。 判斷判斷a正定的三種方法：正定的三種方法： 順序主子式法。 特征

41、值法。 定義法。 基本概念基本概念 對稱矩陣對稱矩陣aat=。 反對稱矩陣反對稱矩陣aat=。 簡單階梯形矩陣簡單階梯形矩陣：臺角位置的元素都為 1 ，臺角正上方的元素都為 0。 如果a是一個(gè)n階矩陣，a是階梯形矩陣a是上三角矩陣，反之不一定 矩陣消元法： （矩陣消元法： （解的情況） 寫出增廣矩陣()a，用初等行變換化()a為階梯形矩陣()b。 用()b判別解的情況。 i）如果()b最下面的非零行為()d 0 , , 0l，則無解，否則有解。 ii）如果有解，記是()b的非零行數(shù)，則 n= 時(shí)唯一解。 n時(shí)無窮多解。 iii）唯一解求解的方法（初等變換法） 去掉()b的零行，得() 00 b

42、，它是()cnn+矩陣， 0 b是n階梯形矩陣，從而是上三角 矩陣。 則0 nn b iinn bbl 0 1 1 都不為0。 ()()()erba 行行 就是解。 一個(gè)一個(gè)n階行列式階行列式 nnnn n n aaa aaa aaa l llll l l 21 22221 11211 的值：的值： 是!n項(xiàng)的代數(shù)和 每一項(xiàng)是n個(gè)元素的乘積， 它們共有!n項(xiàng) n njjj aaal 21 21 其中 n jjjl 21 是n, 2 , 1l的一個(gè)全 排列。 n njj aal 1 1 前面乘的應(yīng)為() () n jjjl 21 1 () n jjjl 21 的逆序數(shù) () () = n n n

43、 jjj njjj jjj aaa l l l 21 21 21 21 1 ()() () 2 1 211 2 = nn cnn n l 代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ij m為 ij a的余子式。 () ij ji ij ma + =1 定理：一個(gè)行列式的值d等于它的某一行（列） ，各元素與各自代數(shù)余子式乘積之和。 nna aaaaad 2222222121 +=l 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應(yīng)元素代數(shù)余子式之和為0。 范德蒙行列式范德蒙行列式 = ji ij n aa aaa )( 111 11 l l 2 n c個(gè) 乘法相關(guān)乘法相關(guān) ab的()ji,位元素是a的第i行和b的第j列對應(yīng)元

44、素乘積之和。 njinjijiij bababac+=l 2211 乘積矩陣的列向量與行向量乘積矩陣的列向量與行向量 （1）設(shè)nm矩陣() n a, 21 l=，n維列向量()t n bbb, 21 l=，則 nn bbba+=l 2211 矩陣乘法應(yīng)用于方程組矩陣乘法應(yīng)用于方程組 方程組的矩陣形式 =ax，()() t m bbb, 21 l= 方程組的向量形式 =+ nn xxxl 2211 （2）設(shè)cab =， () s aaaab, 21 l= nniiiii bbbar+=l 2211 ab的第i個(gè)列向量是a的列向量組的線性組合，組合系數(shù)是b的第i個(gè)列向量的各分 量。 ab的第i個(gè)行

45、向量是b的行向量組的線性組合，組合系數(shù)是a的第i個(gè)行向量的各分 量。 矩陣分解矩陣分解 當(dāng)矩陣c的每個(gè)列向量都是a的列向量的線性組合時(shí)，可把c分解為a與一個(gè)矩陣b 的乘積 特別的在有關(guān)對角矩陣的乘法中的若干問題特別的在有關(guān)對角矩陣的乘法中的若干問題 () n n 000 000 000 000 , 2 1 21 o l () nn , 2211 l= 對角矩陣從右側(cè)乘一矩陣a，即用對角線上的元素依次乘a的各列向量 對角矩陣從左側(cè)乘一矩陣a，即用對角線上的元素依次乘a的各行向量 于是aae =，aea = ()kakea=，()kaake= 兩個(gè)對角矩陣相乘只須把對角線上對應(yīng)元素相乘 對角矩陣的

46、k次方冪只須把每個(gè)對角線上元素作k次方冪 對一個(gè)n階矩陣a，規(guī)定( )atr為a的對角線上元素之和稱為a的跡數(shù)。 于是 ()() t k t k t 1 =() t k t tr 1 = () tt tr= 其他形式方陣的高次冪也有規(guī)律 例如： = 101 020 101 a 初等矩陣及其在乘法中的作用初等矩陣及其在乘法中的作用 （1）()jie,：交換e的第ji,兩行或交換e的第ji,兩列 （2）()(cie：用數(shù)()0c乘e的第i行或第i列 （3）()(,cjie：把e的第j行的c倍加到第i行上，或把e的第i列的c倍加到第j列上。 初等矩陣從左（右）側(cè)乘一個(gè)矩陣a等同于對a作一次相當(dāng)?shù)某醯?/p>

47、行（列）變換 乘法的分塊法則乘法的分塊法則 一般法則：在計(jì)算兩個(gè)矩陣a和b的乘積時(shí)，可以先把a(bǔ)和b用縱橫線分割成若干小矩陣來進(jìn) 行，要求a的縱向分割與b的橫向分割一致。 兩種常用的情況兩種常用的情況 （1）ba,都分成 4 塊 = 2221 1211 aa aa a， = 2221 1211 bb bb b 其中 1i a的列數(shù)和 j b1的行數(shù)相等， 2i a的列數(shù)和 j b2的行數(shù)相關(guān)。 + + = 2222122121221121 2212121121121111 bababaaa babababa ab （2）準(zhǔn)對角矩陣 kk a a a l o l l 00 00 00 22 11

48、= kkkkkkkk ba ba ba b b b a a a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 2222 1111 22 11 22 11 o l l l llll l l l om l l 矩陣方程與可逆矩陣矩陣方程與可逆矩陣 兩類基本的矩陣方程兩類基本的矩陣方程 （都需求a是方陣，且0a） ( )baxi= ( )bxaii= （i）的解法： ()()xeba行 （ii）的解法，先化為 ttt bxa=。 ()() ttt xeba。 通過逆求解：bax =，bax 1 = 可逆矩陣及其逆矩陣可逆矩陣及其逆矩陣 定義：設(shè)a是n階矩陣，如果存在n階矩陣h，使得eah =

49、，且eha =，則稱a是可逆矩 陣，稱h是a的逆矩陣，證作 1 a。 定理：n階矩陣a可逆0 a 求求 1 a的方程的方程（初等變換法） ()() 1 aeea 行 伴隨矩陣伴隨矩陣 ()t ij nnnn n n a aaa aaa aaa a= = l llll l l 21 22212 12111 * 線性表示線性表示 可以用 s , 21 l線性表示，即可以表示為 s , 21 l的線性組合， 也就是存在 s ccc, 21 l使得 =+ ss cccl 2211 記號： s , 21 l 線性相關(guān)性線性相關(guān)性 線性相關(guān)：存在向量 i 可用其它向量 sii , 111 ll + 線性表

50、示。 線性無關(guān)：每個(gè)向量 i 都不能用其它向量線性表示 定 義 ： 如 果 存 在 不 全 為0的 s ccc, 21 l， 使 得0 2211 =+ ss cccl則 稱 s , 21 l線性相關(guān)，否則稱 s , 21 l線性無關(guān)。 即： s , 21 l線性相（無）關(guān)0 11 =+ ss xxl有（無）非零解 ()0, 21 =x s l有（無）非零解 極大無關(guān)組和秩極大無關(guān)組和秩 定義： s , 21 l的一個(gè)部分組( )i稱為它的一個(gè)極大無關(guān)組，如果滿足： i）( )i線性無關(guān)。 ii）( )i再擴(kuò)大就相關(guān)。 ( )i s , 21 l ( )( )iii s l 1 定義：規(guī)定 s , 21 l的秩()( )i s #, 21 =l。 如果 s , 21 l每個(gè)元素都是零向量，則規(guī)定其秩為0。 ()sn s ,min, 0 1 l 有相同線性關(guān)系的向量組有相同線性關(guān)系的向量組 定義：兩個(gè)向量若有相同個(gè)數(shù)的向量： ss , 2121 ll，并且向量方程 0, 2211 =+ ss xxxl與0 2211 =+ ss xxxl同解，則稱它們有相同的線性關(guān) 系。 對應(yīng)的部分組有一致的相關(guān)性。 421 ,的對應(yīng)部分組 42