1、第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其 初步應(yīng)用,比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì) 畫散點(diǎn)圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應(yīng)用問題,選修2-3統(tǒng)計(jì)案例 引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因 了解殘差圖的作用 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,回歸分析的內(nèi)容：,數(shù)學(xué)3中，已對具有相關(guān)關(guān)系的變量利用回歸分析的方法進(jìn)行了研究，其步驟為畫散點(diǎn)圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)。,回歸分析對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用的方

2、法，也就是通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。,最小二乘法：,稱為樣本點(diǎn)的中心?；貧w直線過樣本點(diǎn)中心,例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。,案例1：女大學(xué)生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重為 因變量y，作散點(diǎn)圖：,2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。,分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量,2.回歸方程：,1. 散點(diǎn)圖；,探究： 身高為172cm的女大

3、學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？,答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重接近于60.316kg。,即，用這個(gè)回歸方程不能給出每個(gè)身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測值，只能給出她們平均體重的值。,例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。,求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào) 她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一 名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。,案例1：女大學(xué)生的身高與體重,解：1、選取身高為自變量x，體重 為因變量y，作散點(diǎn)圖：,2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性

4、回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。,3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,線性回歸模型：,當(dāng)隨機(jī)誤差恒等于0時(shí)， 線性回歸模型就變?yōu)楹瘮?shù)模型,函數(shù)模型與回歸模型之間的差別,函數(shù)模型：,回歸模型：,線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和 隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。,在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量。,我們可以用下面的線性回歸模型來表示： y=bx+a+e， (3) 其中a和b為模型的未知參數(shù)，e

5、稱為隨機(jī)誤差。,另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 為截距和斜率的估計(jì)值，它們與真實(shí)值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差的另一個(gè)原因。,思考: 產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？,隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）： 1、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差； 2、忽略了其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素； 3、身高 y 的觀測誤差。 以上三項(xiàng)誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。,探究: e 是 用預(yù)報(bào)真實(shí)值Y的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測的量，那么怎樣研究隨機(jī)誤差呢？,回歸模型：,其估計(jì)值為,而言

6、，它們的隨機(jī)誤差,對于樣本點(diǎn),表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。,在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)， 是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。,殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本 編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,殘差圖的制作及作用。 坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；

7、對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。,身高與體重殘差圖,幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。,顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。,在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的

8、 線性相關(guān)性越強(qiáng)）。,如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值 來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。,總的來說： 相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。 在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。,從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R2 0.64，可以敘述為 “身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。,這些問題也使用于其他問題。,涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時(shí)間性； 樣本的取值范圍對模型的影響； 模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。,小結(jié),一

9、般地，建立回歸模型的基本步驟為：,（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。,（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）。,（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.,（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。,（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。,什么是回歸分析？ （內(nèi)容）,從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 對這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)

10、檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著 利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度,回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別,相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化 相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機(jī)變量，自變量 x 可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量 相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對變量 y 的影響大小，還可以由回

11、歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制,相關(guān)系數(shù),1.計(jì)算公式 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小 問題：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？,負(fù)相關(guān),正相關(guān),相關(guān)系數(shù),正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常， r-1,-0.75-負(fù)相關(guān)很強(qiáng); r0.75,1正相關(guān)很強(qiáng); r-0.75,-0.3-負(fù)相關(guān)一般; r0.3, 0.75正相關(guān)一般; r-0.25, 0.25-相關(guān)性較弱;,例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程,解:1)作散點(diǎn)圖;,從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。,解: 令 則z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出x與z 的散點(diǎn)圖,x和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合,2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 ,則y=c3t+c4 ,列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t與y 的散點(diǎn)圖,散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效