1、6.3克拉默-拉奧（Cramer-Rao）不等式,一、問題的提出,二、復(fù)習(xí)無偏估計(jì)和一致估計(jì),三、有效估計(jì),四、小結(jié),一、問題的提出,從前一節(jié)可以看到, 對(duì)于同一個(gè)參數(shù), 用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同,那么那一個(gè)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)是什么?,下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn).,二、復(fù)習(xí)無偏估計(jì)和一致估計(jì),(2)無偏估計(jì)的實(shí)際意義: 無系統(tǒng)誤差.,(1)無偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本而重要的要求 .,如果有的一列估計(jì) ,滿足關(guān)系式,則稱 是 的漸近無偏估計(jì)（量）。,一個(gè)估計(jì)量如果不是無偏估計(jì)量，就稱 這個(gè)估計(jì)量是有偏的，且稱 為估計(jì)量 的偏差。,證明,例1,特別地:,證明,例2,(這種方法稱為無偏化).,

2、證明,例3,證明,例4,由以上兩例可知,同一個(gè)參數(shù)可以有不同的無偏估計(jì)量.,無偏性雖然是評(píng)價(jià)估計(jì)量的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn),而且在許多場(chǎng)合是合理的, 必要的。然而有時(shí)一個(gè)參數(shù)的無偏估計(jì)可能不存在，或不合理的。,這些說明僅有無偏性要求是不夠的。于是，人們又在無偏性的基礎(chǔ)上增加了對(duì)方差的要求。若估計(jì)量的方差越小。表明該估計(jì)量的取值（即估計(jì)值）圍繞著待估參數(shù)的波動(dòng)就越小，也就是更為理想的估計(jì)量。為此，引入最小方差無偏計(jì)。,2.如例4 有時(shí)對(duì)同一個(gè)參數(shù)可有多個(gè)無偏估計(jì).,1.例:設(shè)總體 ,則 就沒有無偏估計(jì)。,三、有效估計(jì),由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度, 所以無偏估計(jì)以方差小者為好.,證明,例5

3、 (續(xù)例4),證明,練習(xí) (續(xù)例3)（課本例6.10）,下面討論建立一個(gè)方差下界的羅-克拉美不等式,注（1）稱滿足上述兩個(gè)正則條件（1）和（2）的估計(jì)量為正規(guī)估計(jì)。 （2）羅-可拉美不等式所規(guī)定的下界不是整個(gè)無偏估計(jì)類的下界，而是無偏估計(jì)類的一個(gè)子集正規(guī)無偏估計(jì)類的下界。,對(duì)于方差達(dá)到羅-可拉美不等式所規(guī)定的下界的估計(jì)，給它名稱如下：,復(fù)習(xí)一致估計(jì) 有時(shí)候我們不僅要求估計(jì)量有較小的方差，還希望當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義下收斂于被估計(jì)參數(shù)，這就是所謂相合性 （或一致性）概念。,定義6.1 設(shè) 是未知參數(shù) 估計(jì)序列，如果 依概率收斂于 ，即對(duì)任意 ，有,定理（補(bǔ)充） 設(shè) 是 的一個(gè)估計(jì)量，若,或,則 稱是 的一致估計(jì)量（相合估計(jì)）。,且,則 是 的一致估計(jì)（相合估計(jì)）。,證明：由于,令 且由定理的假設(shè)，得,即 是 的一致估計(jì),例（補(bǔ)充） 若總體 的 和 存在,則樣本均值 是總體均值的相合估計(jì).,解：,一般地,樣本的k 階原點(diǎn)矩 是總體 的k 階原點(diǎn)矩 的一致估計(jì).由此可見,矩 估計(jì)往往是一致估計(jì).,六、小結(jié),估計(jì)量的評(píng)選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn),無偏估計(jì),最小方差無偏估計(jì),相合估計(jì),相合性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求, 不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的.,由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量, 在一定條件下也具有相合性.,估計(jì)量的相