1、第二章 插值與逼近,2.4 Newton插值法,數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ),華長(zhǎng)生制作,2,2.4 Newton插值法,我們知道,Lagrange插值多項(xiàng)式的插值基函數(shù)為,形式上太復(fù)雜,計(jì)算量很大,并且重復(fù)計(jì)算也很多,由線性代數(shù)的知識(shí)可知,任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以表示成,共n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合,那么，是否可以將這n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？,華長(zhǎng)生制作,3,顯然，多項(xiàng)式組,線性無(wú)關(guān)，,因此，可以作為插值基函數(shù),華長(zhǎng)生制作,4,有,再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜,為此引入差商和差分的概念,華長(zhǎng)生制作,5,一、差商(均差),定義1.,稱,依此類推,華長(zhǎng)生制作,6,差商具有如下性質(zhì)(請(qǐng)同學(xué)們自證)：,顯

2、然,華長(zhǎng)生制作,7,(2) 差商具有對(duì)稱性,即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序,差商的值不變,如,用余項(xiàng)的 相等證明,華長(zhǎng)生制作,8,差商的計(jì)算方法(表格法):,規(guī)定函數(shù)值為零階差商,差商表,Chashang.m,華長(zhǎng)生制作,9,二、差分,定義2.,華長(zhǎng)生制作,10,依此類推,可以證明,如,華長(zhǎng)生制作,11,差分表,華長(zhǎng)生制作,12,在等距節(jié)點(diǎn)的前提下,差商與差分有如下關(guān)系,華長(zhǎng)生制作,13,依此類推,華長(zhǎng)生制作,14,三、Newton基本插值公式,設(shè)插值多項(xiàng)式,滿足插值條件,則待定系數(shù)為,華長(zhǎng)生制作,15,稱,定義3.,由插值多項(xiàng)式的唯一性,Newton基本插值公式的余項(xiàng)為,為k次多項(xiàng)式,華長(zhǎng)生制作,16

3、,因此可得,華長(zhǎng)生制作,17,因此,一般,Newton插值 估計(jì)誤差的 重要公式,另外,華長(zhǎng)生制作,18,四、Newton插值公式,由差商與向前差分的關(guān)系,Newton插值基本公式為,如果假設(shè),1.Newton向前(差分)插值公式,華長(zhǎng)生制作,19,則插值公式,化為,其余項(xiàng),化為,華長(zhǎng)生制作,20,稱,為Newton向前插值公式,插值余項(xiàng)為,華長(zhǎng)生制作,21,插值余項(xiàng)為,根據(jù)向前差分和向后差分的關(guān)系,如果假設(shè),可得Newton向后插值公式,2.Newton向后(差分)插值公式,華長(zhǎng)生制作,22,五、Newton插值公式的使用,由于高次插值多項(xiàng)式的Runge現(xiàn)象,Newton插值公式 一般也采用

4、分段低次插值,分段線性Newton插值,(1),(2),Newton分段二次插值,華長(zhǎng)生制作,23,(3),Newton分段三次插值,余項(xiàng)為,余項(xiàng)為,華長(zhǎng)生制作,24,(4),從(2),(3)兩種情況可知,若,對(duì)分段二次及分段三次插值都沒(méi)有相應(yīng)的插值公式,若,對(duì)分段三次插值也沒(méi)有相應(yīng)的插值公式,此時(shí)應(yīng)改用Newton基本后插公式,此處只列出公式,余項(xiàng)為,華長(zhǎng)生制作,25,(5),插值余項(xiàng)為,分段線性Newton向前(差分)插值,(6),分段二次Newton 向前(差分)插值,華長(zhǎng)生制作,26,(7),分段二次Newton 向后(差分)插值,依此類推,請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出分段三次 向前和向后Newton公式及余項(xiàng),在實(shí)際應(yīng)用中,究竟使用幾次插值多項(xiàng)式呢?,華長(zhǎng)生制作,27,例1. 教材P87.例 1，用Newton基本插值公式計(jì)算,例2. 教材P87.例 2，用Newton等距插值公式計(jì)算,五、Newton基本插值公式的算法設(shè)計(jì),Newton插值法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較簡(jiǎn)單,尤其是增加節(jié)點(diǎn)時(shí), 計(jì)算只要增加一項(xiàng),這點(diǎn)是Lagrange插值