1、3.1 量綱分析法建模,物理量的量綱,長度 l 的量綱記 L=l,質(zhì)量 m的量綱記 M=m,時間 t 的量綱記 T=t,動力學中基本量綱 M, L, T,速度 v 的量綱 v=LT-1,導出量綱,加速度 a 的量綱 a=LT-2,力 f 的量綱 f=MLT-2,萬有引力常數(shù) G 的量綱 G,對無量綱量，=1(=M0L0T0),=fl2m-2=M-1L3T-2,量綱齊次原則,等式兩端每一項的量綱必須一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系,例：單擺運動,求擺動周期 t 的表達式,設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無量綱量,(1)的量綱表達式,對

2、比,對 x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),為什么假設(shè)這種形式,設(shè)p= f(x,y,z),x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式,設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價, F未定,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量綱,

3、nm, q1, q2, , qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,l = L, v =LT-1, = ML-3, p = ML-1T-2, = ML-1T-1, g = LT-2,量綱分析示例：管道內(nèi)不可壓縮粘性流體的壓強差,管道兩端壓強差 p,管道長l, 流速v, 粘性系數(shù),密度重力加速度g。,m=6, n=3,選取物理量,Ay=0 有m-r=3個基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r個基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0與 (l,v,p,g) = 0 等價,為得到差 p 的顯式表達式,F=

4、0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價,g = LT-2, l = L, = ML-3, v = LT-1, s = L2, f = MLT-2,量綱分析示例：波浪對航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l, 浸沒面積 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,Ay=0 有m-r=3個基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r個基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0與 (g,l,v,s,f) = 0 等價,為得到阻力

5、 f 的顯式表達式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價,3.2 量綱分析在物理模擬中的應用,例: 航船阻力的物理模擬,通過航船模型確定原型船所受阻力,模型船的參數(shù)(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的參數(shù) (f1未知，其他已知),注意：二者的相同,結(jié)論：按一定尺寸比例造模型船，量測 f， 可算出 f1 物理模擬,量綱分析法的評注,物理量的選取,基本量綱的選取,基本解的構(gòu)造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的,基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱,有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解,方法的普適性,函數(shù)F和無量綱量未定,不需要特定的專業(yè)知識,3.3 無量綱化方法,無量綱化方法是用數(shù)學工具研究物理問題的常用方法， 通過選擇恰當?shù)淖儞Q可將按量綱齊次原則構(gòu)成的方程簡化為一個與其等價 但比它簡單的方程。利用無量綱化方法也可以使某些數(shù)學問題簡單。,例1：簡化非線性參數(shù)方程,5個參數(shù),u-v 無量綱化,范式化,卡丹公式（Cardanos Formula ）,此模型有2個參數(shù)， 且數(shù)量級不定，不利于數(shù)值求解。,無量綱化：,假設(shè) x 與 K 量綱相同，,例2：簡