1、矩陣理論第5講-1,矩陣理論-第六講,蘭州大學信息科學與工程學院 2004年,矩陣理論第5講-2,上節(jié)內容回顧,范數(shù)在優(yōu)化問題中的應用 幾個重要的不等式 有限維賦范空間的范數(shù)特性 內積空間的正交性、構造標準正交向量組的方法,內積空間,定義了內積,賦范空間,賦予范數(shù),線性空間,矩陣理論第5講-3,標準正交基,Gram-Schmidt正交化定理 設X是內積空間，而 是X中線性無關的子集，則存在標準正交集 ，使得 Hilbert空間中完全的標準正交集，稱之為標準正交基 標準正交集 的完全性 標準正交集 稱為是完全的，如果再不能添加元素于其中，使添加后所得的集合仍是標準正交集。換句話說，假使這樣的元素

2、存在，其必為0，即若 ，使 ， ，則必有 舉例,矩陣理論第5講-4,標準正交基,或 ，可由 的標準正交基 的線性組合表示，其中對應于 的系數(shù)為 又，若 的在同一標準正交基 的線性組合表示中，對應于 的系數(shù)為 ，則,矩陣理論第5講-5,標準正交基,，在標準正交基 的線性組合表示中，對應于 的系數(shù)為 ，則,矩陣理論第5講-6,酉矩陣,對 ，若其n個列向量是一個標準正交基，那么這樣的矩陣具有怎樣的性質？ 或 ，其中 具有這樣性質的矩陣稱為酉矩陣（Why call it 酉？） 酉 = U，maybe: Uniform: not changing，因為給定A為酉矩陣，則 即：保持任兩向量的內積不變，向

3、量的長度不變，兩點之間的距離不變。 復內積空間 稱為酉空間? 酉矩陣的性質： 若A是酉矩陣，則 也是酉矩陣 證1：A是酉矩陣,Answer,矩陣理論第5講-7,酉矩陣,酉矩陣的性質： 若A是酉矩陣，則 也是酉矩陣 證2： 若A, B是酉矩陣，則AB也是酉矩陣 證明：,矩陣理論第5講-8,酉矩陣,酉矩陣的性質： 若A是酉矩陣，則 ，或 證明：,矩陣理論第5講-9,酉矩陣,酉矩陣的性質： A是酉矩陣 A的n個列向量是兩兩正交的單位向量 證明： 設矩陣 ，則 易見，A是酉矩陣的充分必要條件是,矩陣理論第5講-10,酉相似下的標準形,方陣A有n個線性無關的特征向量（A的所有特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重

4、數(shù)） 若此條件不滿足，退而求其次，方陣A在復數(shù)域上總是能相似于Jordan標準形：分塊對角矩陣 再退而求其次，不管n階方陣的特征向量的相關性，也不管其特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)，方陣A總可以酉相似于一個上三角矩陣,矩陣理論第5講-11,酉相似下的標準形,Schur定理：任一復數(shù)方陣均可酉相似于上三角矩陣 設 ， 則A可酉相似于上三角矩陣T，即 ，且 ，使得 證明: 用歸納法證明。當n = 1時，顯然成立。假設Schur定理對n 1階矩陣成立 設 為A的屬于 的特征向量，因 ，將其化為單位特征向量 ， 仍是A的屬于 的特征向量。 因 中線性無關的向量可擴充為其基，將 擴充為 的一組基：,矩陣理論

5、第5講-12,酉相似下的標準形,依Gram-Schmidt正交化程序，將其化為 的標準正交基 以此標準正交基作列向量，則構成n階酉矩陣 注意到 及 的列向量的正交性，,矩陣理論第5講-13,酉相似下的標準形,是n 1階矩陣，根據(jù)歸納假設， ，且 使得 構造分塊矩陣 酉矩陣 是酉矩陣,矩陣理論第5講-14,酉相似下的標準形,從而 是n階酉矩陣，且 由于相似矩陣有相同的特征值，所以T的對角線元素也是A的特征值,矩陣理論第5講-15,正規(guī)矩陣,在酉相似的情形下，即 若上式中的A是正規(guī)矩陣，則A酉相似于對角矩陣，即 正規(guī)矩陣 定義在復數(shù)域上的、滿足 的方陣稱之為正規(guī)矩陣 酉矩陣 正交矩陣 Hermit

6、e矩陣 或 反Hermite矩陣 或 實對稱矩陣 實反對稱矩陣 對角矩陣,矩陣理論第5講-16,正規(guī)矩陣,方陣酉相似于對角陣的充要條件 設 ，A酉相似于對角矩陣的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣 證明： 必要性： 設 ，且 ，使得 令 ，則,A是正規(guī)矩陣,矩陣理論第5講-17,正規(guī)矩陣,充分性： 由Schur定理， ，且 ，使得,矩陣乘積的共軛轉置，等于各矩陣取共軛轉置后按反序相乘,A是正規(guī)矩陣,矩陣理論第5講-18,正規(guī)矩陣,T是對角陣,矩陣理論第5講-19,正規(guī)矩陣,推論1 Hermite矩陣的特征值均為實數(shù)，反Hermite矩陣的特征值為0或純虛數(shù)。 證明： 設 是Hermite矩陣，則A是正

7、規(guī)矩陣 ，且 使得 若A是反Hermite矩陣，可得,A是Hermite矩陣,Hermite矩陣的特征值均為實數(shù),反Hermite矩陣的特征值為0或純實數(shù),矩陣理論第5講-20,正規(guī)矩陣,推論2 實對稱矩陣的特征值均為實數(shù)，實反對稱矩陣的特征值為0或純虛數(shù)。 推論3 設 是正規(guī)矩陣， 是A的特征值，x是A的屬于特征值的特征向量，則 是 的特征值， x是 的屬于特征值 的特征向量。 證明： 由于A是正規(guī)矩陣，所以 ，且 使得 兩邊同時取共軛轉置 相似的矩陣有相同的特征值： 是 的特征值,矩陣理論第5講-21,正規(guī)矩陣,設 ，則 類似地，由 可得 即：當 是A的屬于特征值 的特征向量時， 也是 的

8、屬于特征值 的特征向量，由于 是 的標準正交基，x在同一標準正交基下的坐標相同，所以，當x是A的屬于特征值 的特征向量時，也是 的屬于特征值 的特征向量,矩陣理論第5講-22,正規(guī)矩陣,推論4 設 是正規(guī)矩陣， 是其特征值， 分別是A的屬于 的特征向量。若 ，則x與y正交。 證明： 由命題中可知： ， 。又由推論3知 從而 由上式可得 當 時， ，故x與y正交,矩陣理論第5講-23,正規(guī)矩陣,方陣相似于對角陣的充要條件 每個特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)： 方陣酉相似于對角陣的充要條件 A為正規(guī)矩陣： 酉相似是相似的特殊情形 由于二者均為充要條件，所以可以斷定，正規(guī)矩陣的特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù) 對正規(guī)矩陣，一定存在酉矩陣，使其相似于對角陣。,矩陣理論第5講-24,正規(guī)矩陣,化正規(guī)矩陣為對角陣 由 的基 構成的矩陣 可使 依Gram-Schmidt正交化程序，將T的列向量化為 的標準正交基： 則酉矩陣 使得,矩陣理論第5講-25,正規(guī)矩陣,舉例： 設 A是