1、數(shù)值分析實驗報告通訊端口多項式插值的振動現(xiàn)象姓氏：學院：數(shù)學與信息工程學院類別：學號：27/29下載文檔可編輯數(shù)值分析實驗報告通訊端口實驗名稱多項式插值的振動現(xiàn)象實驗時間2013年10月23日姓名班級學號成績一、實驗目的1 .理解多項式插值，理解其振動現(xiàn)象。2 .研究樣條插值并分析其收斂性。3 .在現(xiàn)實生活中學習使用二次元插值。二、實驗內容1 .區(qū)間-1，1 上的函數(shù)考慮到區(qū)間-1，1 的等距劃分，分點為一類雷格林Jue插值多項式在此為n階雷格林模內插基函數(shù)。2 .請按照一定的規(guī)則分別選擇等間距或不等間距的插補節(jié)點，增加插補節(jié)點的數(shù)量。 在考慮實驗1的函數(shù)或選擇其他感興趣的函數(shù)時，MATLAB

2、的函數(shù)“樣條”可用作該函數(shù)的三次樣條插值。3 .用丘陵地測量標高，x方向和y方向每隔100米測量一個點，標高數(shù)據(jù)如下。 嘗試MATLAB的二維插值函數(shù)“interp2”進行插值，找出最高點和該點的標高。三、算法的說明(1)生成雷格林觀插值函數(shù)，保存在m文件中(2)1、1張圖中考慮過多的曲線相互復蓋2、取n奇偶校驗數(shù)可能結果不同3 .結果可能因節(jié)點的選擇方法而不同。 因此，n個選擇分為三種情況，n=2:2:8、n=3:2:9或n=2:4:10、n=3:4:11和n=40。(3)節(jié)點的選擇分為均勻節(jié)點、切比雪夫節(jié)點2種四、普計程儀拉姆程序流程圖實驗方案明顯簡單，實現(xiàn)步驟及程序流程圖從略。五、實驗結

3、果具體結果在實驗分析中，整理的結果如下1實驗1的結果：1.在節(jié)點是均勻的節(jié)點的情況下：在插值點的數(shù)量為奇數(shù)、雙位數(shù)、40的情況下，雖然圖像對稱但不收斂，但是節(jié)點數(shù)越多，0附近的擬合效果越高，但兩端的誤差越大。節(jié)點為切比雪夫點時：內插點數(shù)為奇數(shù)、雙位數(shù)、40時，圖像對稱，但可以收斂，節(jié)點數(shù)越多擬合效果越高。2.在節(jié)點是均勻的節(jié)點的情況下：在插值點的數(shù)量為奇數(shù)、雙位數(shù)、40的情況下，圖像對稱不收斂，但是節(jié)點數(shù)越多，0附近的擬合效果越高，云同步兩端的誤差越大。節(jié)點為切比雪夫點時：內插點數(shù)為奇數(shù)、雙位數(shù)、40時，圖像對稱，但可以收斂，節(jié)點數(shù)越多擬合效果越高。3.在節(jié)點是均勻的節(jié)點的情況下：在插值點的數(shù)

4、量為奇數(shù)、雙位數(shù)、40的情況下，圖像對稱不收斂，但是節(jié)點數(shù)越多，0附近的擬合效果越高，云同步兩端的誤差越大。節(jié)點為切比雪夫點時：內插點數(shù)為奇數(shù)、雙位數(shù)、40時，圖像對稱，但可以收斂，節(jié)點數(shù)越多擬合效果越高。2實驗2的結果由圖可知，即使插值點數(shù)量增加，3次樣本插值的平滑度仍然良好，而且精度比以往高，收斂性良好，但是，lagrange插值存在偏差，即存在誤差，隨著節(jié)點的增加，偏差顯著由此可知，三次樣條插值的收斂性比lagrange插值好。三考慮問題的結果根據(jù)解析修正算法，最高分為166 178這個點的海拔是721.098六、實驗結果分析1實驗1結果分析首先嘗試幾個n值，振動明顯，并且，如下圖所示，

5、還有復蓋現(xiàn)象因此，對于這些個現(xiàn)象，我們可以單獨采用研究測試的方法(1)1 .如果節(jié)點是均勻節(jié)點：a )當節(jié)點為奇數(shù)時，即，在n=2:2:8處，獲得如下視頻從圖可知，在節(jié)點數(shù)以基數(shù)個對稱的情況下，內插函數(shù)也對稱的節(jié)點數(shù)越多，附近的區(qū)域擬合越好，節(jié)點數(shù)越多，兩端的誤差越大b )當節(jié)點為雙位數(shù)時，即，在n=3:2:9處，獲得如下影像由圖可知，節(jié)點數(shù)為雙位數(shù)且對稱時，內插函數(shù)也是對稱的節(jié)點數(shù)越多，附近的區(qū)域越合得來越好。節(jié)點數(shù)越多，兩端的誤差越大，與奇數(shù)的結果大致相同。n=40時：從該圖可以看出，內插函數(shù)也左右對稱，而且0附近與被內插函數(shù)基本重疊，但由于兩端的誤差大，所以可以說結論正確。2 .如果節(jié)點

6、是切比雪夫節(jié)點：換句話說，節(jié)點是對稱的a )對于奇數(shù)個節(jié)點，也就是說，n=2:2:8，獲得從圖中可以看出，在節(jié)點數(shù)以基數(shù)個對稱的情況下，內插函數(shù)也對稱的節(jié)點數(shù)越多，所有區(qū)域越適合b )對于一個雙位數(shù)的節(jié)點，也就是說，n=3:2:9，獲得此時，可知節(jié)點的選擇也是對稱的，內插函數(shù)的圖像也是對稱的，觀察的結論與節(jié)點數(shù)為奇數(shù)的情況大致相同：節(jié)點數(shù)越多，所有區(qū)域的擬合越好n=40時：由圖可知，內插函數(shù)左右對稱，內插函數(shù)與被內插函數(shù)基本重疊。 因此，上述觀察結論是正確的。(2)1 .如果節(jié)點是均勻節(jié)點：a )當節(jié)點為奇數(shù)時，即，當n=2:4:10時，可以獲得如下圖像。從圖可知，在節(jié)點數(shù)以基數(shù)個對稱的情況下

7、，內插函數(shù)也對稱的節(jié)點數(shù)越多，0附近的區(qū)域擬合越好的節(jié)點數(shù)越多，兩端的誤差越大b )當節(jié)點為雙位數(shù)時，即，在n=3:4:11處，獲得如下影像由圖可知，節(jié)點數(shù)為雙位數(shù)且對稱時，內插函數(shù)也是對稱的節(jié)點數(shù)越多，附近的區(qū)域越合得來越好。節(jié)點數(shù)越多，兩端的誤差越大，與奇數(shù)的結果大致相同。n=40時：從該圖可以看出，內插函數(shù)也左右對稱，而且0附近與被內插函數(shù)基本重疊，但由于兩端的誤差大，所以可以說結論正確。2 .如果節(jié)點是切比雪夫節(jié)點：換句話說，節(jié)點是對稱的a )對于奇數(shù)個節(jié)點，也就是說，n=2:4:10，獲得從圖中可以看出，內插函數(shù)在兩端超過原點，奇函數(shù)n越大則適合度越好，沒有出現(xiàn)誤差變大的現(xiàn)象b )在

8、一個節(jié)點為雙位數(shù)的情況下，亦即，n=3:4:11，獲得從該圖中可以看出，內插函數(shù)雖然不通過兩端，但也可以是奇函數(shù)的結節(jié)點數(shù)越多則適合度越好n=40時：在n取得較大時，內插函數(shù)和被內插函數(shù)幾乎重疊(3)1 .如果節(jié)點是均勻節(jié)點：a )當節(jié)點為奇數(shù)時，即，當n=2:4:10時，可以獲得如下圖像。從圖可知，在節(jié)點數(shù)以基數(shù)個對稱的情況下，內插函數(shù)也對稱的節(jié)點數(shù)越多，0附近的區(qū)域擬合越好的節(jié)點數(shù)越多，兩端的誤差越大b )當節(jié)點為雙位數(shù)時，即，在n=3:4:11處，獲得如下影像由圖可知，節(jié)點數(shù)為雙位數(shù)且對稱時，內插函數(shù)也是對稱的節(jié)點數(shù)越多，附近的區(qū)域越合得來越好。節(jié)點數(shù)越多，兩端的誤差越大，與奇數(shù)的結果大

9、致相同。n=40時：從該圖可以看出，內插函數(shù)也左右對稱，而且0附近與被內插函數(shù)基本重疊，但由于兩端的誤差大，所以可以說結論正確。2 .如果節(jié)點是切比雪夫節(jié)點：換句話說，節(jié)點是對稱的a )對于奇數(shù)個節(jié)點，也就是說，n=2:4:10，獲得從圖中可以看出，內插函數(shù)在兩端超過原點，奇函數(shù)n越大則適合度越好，沒有出現(xiàn)誤差變大的現(xiàn)象b )在一個節(jié)點為雙位數(shù)的情況下，亦即，n=3:4:11，獲得從該圖中可以看出，內插函數(shù)雖然不通過兩端，但也可以是奇函數(shù)的結節(jié)點數(shù)越多則適合度越好n=40時：在n取得較大時，內插函數(shù)和被內插函數(shù)幾乎重疊綜合分析上面的圖像和數(shù)據(jù)，可以看出：節(jié)點數(shù)的奇偶校驗對實驗沒有太大影響，而且

10、節(jié)點越多越好地擬合，有可能發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象的節(jié)點選擇，所得到的內插函數(shù)的對稱性與被內插函數(shù)相同，節(jié)點的位置不對稱，所得到的內插函數(shù)也影響節(jié)點位置的選擇2實驗2結果分析1 .讓我們具體分析一下這個函數(shù)如果節(jié)點為5，則該圖如下所示如果節(jié)點為10，則該圖如下所示如果節(jié)點為20，則該圖如下所示從以上三個圖可以看出，隨著節(jié)點數(shù)的增加，3次樣本插值函數(shù)的擬合越來越好，接近原函數(shù)；相反，l agrange插值函數(shù)的擬合越來越差，誤差越來越明顯，所以諾因此，可以證明樣條插值的收斂性。2.2對一些數(shù)據(jù)可以進行擬合并且在圖上更為明顯地觀察。上面已經(jīng)描述了根據(jù)在給定數(shù)據(jù)的條件下生成的三維樣本內插值來設定門的曲線。3思考

11、問題的結果分析可以在matlab中進行預計程儀編程，分別在linear、cubic、spline中修正這個問題。修正算法的結果：可以用線性修正算法x=166 y=178zmax=7.2120e 02使用cubic，可以進行以下修正運算x=166 y=178zmax=7.2120e 02使用spline，可以進行以下修正運算x=166 y=178zmax=7.2120e 02因此，根據(jù)條件，最高點應接近166到178，最高距離應為721.098在任一種情況下，根據(jù)以上的實驗，內插節(jié)點的數(shù)目越多，則不一定越好地適合，而是選擇知道在多數(shù)情況下會發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象的對稱的節(jié)點，得到的內插函數(shù)的對稱性與被內插

12、函數(shù)相同。如果節(jié)點的位置不對稱，則得到的內插函數(shù)也影響插值函數(shù)的收斂性和誤差切比雪夫插值節(jié)點確實比上述使用得更多。對于具有均勻節(jié)點效果的插值函數(shù)，選擇相同的插值節(jié)點可能會產(chǎn)生類似的結果。實驗2發(fā)現(xiàn)，當難以證明若干三維樣條插值的收斂性時，即使利用圖像來觀察圖像，也可以類似地獲得證明效果。實驗2和思考題是實驗與理論相結合，學習實際運用所學知識，解決實際問題。電子人民教師注釋指導人民教師：年月日數(shù)值分析機實驗原始記錄實驗名稱：多項式插值振動現(xiàn)象實驗時間： 2013年10月23日姓名：學號：班：實驗1的重要步驟：先驗估計計程儀程序m=150； x=-1:2/(m-1):1。 y=1./(1 25*x.

13、2): z=0*x； 打印(x、z、r、x、y、k-)，g文本(y=1/(125 * x 2) )、pausen=3； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y1=拉格r 1打印(x，y1，g )，文本(n=2)，通過，保持關閉n=4； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y2=拉格r 1打印(x，y2，b: )，文本(n=3)，暫停，保持關閉n=5； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y3=拉格r 1打印(x，y3，r )，文本(n=4)，通過，保持關閉n=11； x0=-1:2

14、/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y4=拉格r 1打印(x，y4，r: )，文本(n=10 )，暫停，保持關閉n=51； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y5=拉格r 1打印(x，y5，m )，文本(n=50 )，通過，保持關閉n=81； x0=-1:2/(n-1):1。 y0=1./(125 * x0. 2):y6=拉格r 1打印(x，y6，m )，文本(n=80 )，通過，保持關閉在%1.1.a y=1./(1 25*x.2)中的普通堆計程儀均勻節(jié)點m=150； x=-1:2/(m-1):1。 y=1./(1 25*x.2): z=0*x； 打印(x、z、r、x、y、k-)，g文本(y=1/(125 *