1、四川省成都市棠湖中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題（含解析）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號填在答題卡的指定位置.）1.已知，則下列不等式一定成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，故，據(jù)此逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】由可得，故，逐一考查所給的選項(xiàng)：A.；B.，的符號不能確定；C.；D.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2.不等式的解集為A. B.

2、C. D. 或【答案】C【解析】【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，進(jìn)行求解即可【詳解】不等式等價(jià)為，得，即，即不等式的解集為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的求解，將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵3.若變量滿足約束條件則的最小值等于 （ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案【詳解】解：由變量x，y滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（1，）z2xy的最小值為2（1）故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題4.過點(diǎn)(1,

3、3)且平行于直線x2y30的直線方程為()A. 2xy10B. x2y70C. x2y50D. 2xy50【答案】B【解析】【分析】利用平行直線系方程的知識，設(shè)所求直線方程是：x2yc0，直線又過點(diǎn)（-1，3），將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程求出c，即可得到所求直線方程.【詳解】設(shè)直線方程式是：x2yc0因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1,3)所以-1-6+c=0，解得c=7故所求直線方程是：x2y70故選B【點(diǎn)睛】本題考察平行直線的求法，當(dāng)直線方程式是一般式時(shí)，可以利用兩直線平行的條件： 設(shè)出直線方程求解.注：已知直線，求與其平行或垂直的直線時(shí)，記住以下結(jié)論，可避免討論：(1)與 平行的直線可設(shè)為：；(2)與垂直的直線方程

4、可設(shè)為：5.直線：和：垂直，則實(shí)數(shù)A. B. 1C. 或1D. 3【答案】A【解析】【分析】本題可以根據(jù)直線與直線的解析式以及兩直線垂直的相關(guān)性質(zhì)列出算式，然后通過計(jì)算得出結(jié)果?！驹斀狻坑?，解得，故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查兩直線之間的位置關(guān)系，主要考查兩直線垂直的相關(guān)性質(zhì)，有直線和直線垂直，則有，考查計(jì)算能力，是簡單題。6.已知、，若A、B、C三點(diǎn)共線，則A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】【分析】A、B、C三點(diǎn)共線，可得，利用斜率計(jì)算公式即可得出【詳解】解：、B、C三點(diǎn)共線，解得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7.下列說法正確的

5、是（ ）A. 若兩個(gè)平面和第三個(gè)平面都垂直，則這兩個(gè)平面平行B. 若兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行C. 若一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行D. 若兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面平行，則另一條也和這個(gè)平面平行【答案】C【解析】【分析】舉出特例，即可說明錯(cuò)誤選項(xiàng)?！驹斀狻空襟w過同一頂點(diǎn)的三個(gè)平面可以兩兩互相垂直，所以A錯(cuò)誤；圓錐的兩條母線與底面形成的夾角相等，但是兩條母線相交，所以B錯(cuò)誤；若一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都和另一個(gè)平面平行，則該平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，所以這兩個(gè)平面平行，故C正確；另一條直線可能在這個(gè)平面內(nèi)，結(jié)論不成立，故D錯(cuò)誤；綜上

6、選C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，特殊形式下的結(jié)論判斷，屬于基礎(chǔ)題。8.已知直線的傾斜角為，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根據(jù)直線的斜率得到的值，再利用二倍角公式和同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式把化為關(guān)于的關(guān)系式即可.詳解：由題設(shè)有，.故選A.點(diǎn)睛：一般地，直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系式，注意當(dāng)時(shí)，斜率是不存在的.對于三角函數(shù)式的求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角

7、.9.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】直線過原點(diǎn)可得斜率，求得方程；直線不過原點(diǎn)，可設(shè)截距式方程，代點(diǎn)可得值，進(jìn)而可得方程【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為，故直線方程為，即當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)可得，解得，方程為，故所求直線方程為：或，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的截距式方程，以及分類討論思想的應(yīng)用，屬基本知識的考查利用截距式方程解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.10.一個(gè)棱長為2正方體被一個(gè)平面截去部分后，余下部分的三視圖如圖所示，則截去部分與剩余部分體積的比為（）A. 1：3B. 1：4C.

8、1：5D. 1：6【答案】A【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可【詳解】解：由題意可知：幾何體被平面ABCD平面分為上下兩部分，設(shè)正方體的棱長為2，上部棱柱的體積為：；下部為：，截去部分與剩余部分體積的比為：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關(guān)系，棱柱的體積的求法，考查計(jì)算能力.11.函數(shù)，圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值是A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】【分析】令對數(shù)的真數(shù)等于1，求得的值，可得函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，可得，再利用基本不等式求得的最小值【詳解】解：對于

9、函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，故的最小值是8，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)問題，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題12.在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球體積的最小值為 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由的面積為2，得，進(jìn)而得到外接圓的半徑和到平面的距離為，在利用球的性質(zhì)，得到球的半徑，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，由的面積為2，得，因?yàn)?，外接圓的半徑，因?yàn)槠矫?，且，所以到平面的距離為，設(shè)球的半徑為R，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以三棱錐的外接球的體積的最小值為，故選D.【點(diǎn)

10、睛】本題主要考查了有關(guān)球與棱錐的組合體問題，以及球的性質(zhì)的應(yīng)用和球的體積公式，其中解答中正確認(rèn)識組合體的結(jié)構(gòu)特征，合理應(yīng)用球的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.第卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）13.直線的傾斜角為_【答案】 【解析】【分析】求出直線斜率，然后求解直線的傾斜角【詳解】，則，斜率為則，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的傾斜角，解題的關(guān)鍵是求出直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題14.直線恒過定點(diǎn)_【答案】 【解析】【分析】直線方程即a（x+2）+（xy+1）=0，一定經(jīng)過x+2=0和xy+1=0 的交

11、點(diǎn)，聯(lián)立方程組可求定點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】直線（a1）xy+2a+1=0 即 a（x+2）+（xy+1）=0，根據(jù)a的任意性可得，解得x=2，y=3，當(dāng)a取不同的實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a1）xy+2a+1=0恒過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3）故答案為：（2，3）【點(diǎn)睛】本題考查經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程形式，直線 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示過ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交點(diǎn)的一組相交直線，但不包括ax+by+c=0這一條15.對任意的實(shí)數(shù)，若恒成立，則m的取值范圍為 【答案】【解析】試題分析：當(dāng)恒成立，當(dāng)時(shí)需滿足解得綜上考點(diǎn)：恒成立問題16.已知為正數(shù)，若直線被圓截

12、得的弦長為，則的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式有，據(jù)此整理計(jì)算可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最大值即可.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2，由直線被圓截取的弦長為,可得圓心到直線的距離，則時(shí),取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，二次函數(shù)最值的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)，求AC邊所在直線方程；求線段BC的中垂線所在直線方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】可通過兩點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的

13、截距式方程即可求出AC邊所在直線方程；首先可通過兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出BC中點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過直線BC的斜率計(jì)算出線段BC的中垂線斜率，最后通過直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果。【詳解】由、知直線AC所在直線方程為，即；由、可知BC中點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以線段BC的中垂線斜率為，所以線段BC的中垂線所在直線方程為，即。【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查的是直線的截距式方程、直線的點(diǎn)斜式方程、兩直線垂直的相關(guān)性質(zhì)，考查計(jì)算能力，考查對直線的基礎(chǔ)性質(zhì)的理解，是簡單題。18.已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且和圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為當(dāng)時(shí)，求弦AB的長；當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程【答案

14、】（1） （2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離得圓心到直線距離，最后根據(jù)垂徑定理求弦長，(2)設(shè)直線方程，根據(jù)圓心到直線距離為OP，列方程解得斜率，即得直線方程.【詳解】：，圓心到距離為，所以弦長為，（2）圓心到距離為,設(shè)：所以【點(diǎn)睛】涉及圓中弦長問題， 一般利用垂徑定理進(jìn)行解決，具體就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長一半平方的和.19.已知函數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）見證明；（2），【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；不等式在上恒成立，化簡整理可得在上恒成立，根據(jù)基本不等

15、式求出左邊的最小值為4，由此即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】在遞減，證明如下：設(shè)，則，故在遞增；在上恒成立，即在上恒成立，整理得：，根據(jù)基本不等式，得，不等式上恒成立，即，解之得或綜上所述，得a的取值范圍為，【點(diǎn)睛】本題給出含有參數(shù)的函數(shù)，討論不等式恒成立并求不等式的解集，著重考查了函數(shù)恒成立的問題、基本不等式求最值和一元二次不等式的解集等知識對于恒成立求參的問題，常見的方法有：變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.20.若不等式的解集為，(1)若，求的值(2)求關(guān)于的不等式的解集【答案】（1）（2）【解析】【分析】，已知方程的兩個(gè)根，運(yùn)用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出結(jié)果先求出之間的關(guān)系，計(jì)算得，然后代入

16、求出結(jié)果【詳解】(1) 關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別為和， (2) 的解集為，且關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別為和， ， 不等式可變?yōu)? 即， ，所以， 所以所求不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法，運(yùn)用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求出結(jié)果，在解答多元時(shí)需要將其轉(zhuǎn)化為一元問題來求解。21.如圖,四邊形為矩形,且平面, ,為的中點(diǎn).（1）求證:；（2）求三棱錐的體積；（3）探究在上是否存在點(diǎn),使得平面，并說明理由.【答案】（1）見解析;（2）;（3）見解析.【解析】【分析】(1)連結(jié),由幾何體的空間結(jié)構(gòu)可證得,利用線面垂直的定義可知.(2)由(1)知為腰長為1等腰直角三角形,結(jié)合題意轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)可得.

17、 (3)在上存在中點(diǎn),使得.取的中點(diǎn),連結(jié). 易證得四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG/CH,結(jié)合線面平行的判斷定理可知EG/平面PCD.【詳解】(1)連結(jié),為的中點(diǎn),為等腰直角三角形,則,同理可得, 又,且, , 又,又,.(2)由(1)知為腰長為1的等腰直角三角形,而是三棱錐的高,. (3)在上存在中點(diǎn),使得.理由如下:取的中點(diǎn),連結(jié). 是的中點(diǎn), ,且, 又因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),且四邊形ABCD為矩形,所以EC/AD,且EC=AD,所以EC/GH,且EC=GH,所以四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG/CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG/平面PCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面

18、垂直的判斷定理，線面垂直的判斷定理，棱錐的體積公式，立體幾何中探索問題的處理方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.22.已知圓O：，直線l：若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A、B，當(dāng)為銳角時(shí)，求k的取值范圍；若，P是直線l上的動點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，則直線CD是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，并說明理由若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形EGFH的面積的最大值【答案】（1）或；（2）直線CD恒過定點(diǎn)詳見解析（3）【解析】【分析】(1)首先可以設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后聯(lián)立圓與直線方程并得出的值，最后根據(jù)以及即可得出結(jié)果；(2)首先將帶入直線方程得出直線的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并寫出以為直徑的圓的方程，最后將其與圓方程聯(lián)立即可得出直線的方程并根據(jù)直線的方程得出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)首先可以設(shè)圓心到直線的距離分別為、，然后通過勾股定理即可得出的值，再然后寫出與，通過即可求