1、重慶交通大學(xué)課件,1/39,第五章 測量誤差的基本知識(shí),本章重點(diǎn)： 1、偶然誤差的特點(diǎn) 2、評(píng)定精度的指標(biāo) 3、中誤差的計(jì)算 4、誤差傳播定律,本章難點(diǎn)： 1、中誤差的計(jì)算 2、誤差傳播定律,重慶交通大學(xué)課件,2/39,一、概 述,1、誤差的概念,測量誤差() =真值（X）- 觀測值（L）,從測量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如： 1)對同一量多次觀測，其觀測值不相同。 2)觀測值不等于理論值： 三角形 +180 閉合水準(zhǔn) h0,重慶交通大學(xué)課件,3,2、測量誤差的來源 測量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測者的技術(shù)水平和感官鑒別能力的局限性及儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，

2、都可能導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生。,所以，測量誤差主要來自以下三個(gè)方面： (1) 外界條件 主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測量結(jié)果中帶有誤差。 (2) 儀器條件 儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測量帶來誤差。 (3) 觀測者的自身?xiàng)l件 由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。,重慶交通大學(xué)課件,4/39,通常把測量儀器、觀測者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個(gè)方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測量誤差的根本原因。,通常把觀測條件相

3、同的各次觀測，稱為等精度觀測； 觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。,重慶交通大學(xué)課件,5/39,1）系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善。例如，用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實(shí)際長度為50.005 m，則每量一尺，就帶有+0.005 m的誤差(“+”表示在所量距離值中應(yīng)加上)，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。,3、測量誤差的分類 測量誤差按其對測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為

4、系統(tǒng) 誤差和偶然誤差。,重慶交通大學(xué)課件,6/39,再如，在水準(zhǔn)測量時(shí)，當(dāng)視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行而產(chǎn)生夾角時(shí)，對水準(zhǔn)尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差為 ，它與水準(zhǔn)儀至水準(zhǔn)尺之間的距離S成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。 系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對測量結(jié)果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響。,計(jì)算改正、觀測方法、儀器檢校,重慶交通大學(xué)課件,7/39,2）偶然誤差 在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行了n次觀測，如果單個(gè)誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均不一定(無規(guī)律)，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。例如，用經(jīng)緯儀測角時(shí)的照準(zhǔn)誤差，鋼尺量距時(shí)的讀數(shù)誤

5、差等，都屬于偶然誤差。 偶然誤差，就其個(gè)別值而言，在觀測前我們確實(shí)不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。但若在一定的觀測條件下，對某量進(jìn)行多次觀測，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。,不可避免，無法消除，有互補(bǔ)性,重慶交通大學(xué)課件,8,粗差與多余觀測,1、粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測錯(cuò)造成的錯(cuò)誤，并非誤差。,2、多余觀測：觀測某未知量時(shí)進(jìn)行的多于必要觀測數(shù)外的觀測。,目的：發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，剔除粗差； 提高觀測質(zhì)量，進(jìn)行精度評(píng)定。,多余觀測為什么不多余？（為什么要進(jìn)行多余觀測）,重慶交通大學(xué)課件,9,二、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性,在某測區(qū)，等精度觀測了217

6、個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到217個(gè)三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差) ，然后對三角形閉合差i 進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明：當(dāng)觀測次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。,重慶交通大學(xué)課件,10,重慶交通大學(xué)課件,11,在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會(huì)超過一定的限值,絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；,絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；,偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即,正態(tài)分布曲線,偶然誤差具有正態(tài)分布的特性,重慶交通大學(xué)課件,12/39,第一個(gè)特性說明偶然誤差的“有界性”。它說明偶然誤差的絕對值有個(gè)限值，若超過這個(gè)限值，說明

7、觀測條件不正?；蛴写植畲嬖?；第二個(gè)特性反映了偶然誤差的“密集性”，即越是靠近0，誤差分布越密集；第三個(gè)特性反映了偶然誤差的對稱性，即在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個(gè)數(shù)相等或極為接近；第四個(gè)特性反映了偶然誤差的“抵償性”，它可由第三特性導(dǎo)出，即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵消的特征。因此，當(dāng)n無限增大時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零。,本章的主要內(nèi)容就是在觀測值具有大量偶然誤差的情況下如何求得最接近觀測對象真值的值及如何評(píng)定其精度高低的方法。,重慶交通大學(xué)課件,13,測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，是使用“精度”來判斷觀測成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差

8、分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。,三、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn),重慶交通大學(xué)課件,14,1、中誤差,中誤差的定義：,（n為有限個(gè)數(shù)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差）,方差的定義：,標(biāo)準(zhǔn)差的定義：,例:,問題：真值X不知道時(shí)怎么辦？如何計(jì)算m？,重慶交通大學(xué)課件,15,算術(shù)平均值（最或然值，最或是值）,設(shè)某量的真值為，n個(gè)觀測值為，其相應(yīng)的真誤差為：,將等式兩端分別相加并除以n，則：,由偶然誤差的第四特性可得，當(dāng)時(shí)， 即：,重慶交通大學(xué)課件,16,觀測值的該正數(shù),觀測值的改正數(shù)v是算術(shù)平均值與觀測值之差，即,將等式兩端分別相加，得：,即一組等精度觀測值的改正值之和恒等于零,用改正數(shù)計(jì)算中誤

9、差公式（白塞爾公式）：,重慶交通大學(xué)課件,17,平方求和,重慶交通大學(xué)課件,18,課堂練習(xí),在相同的觀測條件下，對某直線進(jìn)行了五次測量，測量結(jié)果分別為:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求該直線邊長的觀測值中誤差。,-1,-4,8,-7,4,586.27,0,重慶交通大學(xué)課件,19,2、容許誤差,定義 由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。,區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限,中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對誤差。,重慶交通大學(xué)課件,20,3、相對誤差,相對誤差K是中誤差的絕對值m與相應(yīng)觀測值

10、 D之比，通常以分子為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:,一般情況 : 角度、高差的誤差用m表示， 量距誤差用K表示。,重慶交通大學(xué)課件,21/39,對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計(jì)算出觀測值的中誤差，作為評(píng)定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(間接觀測值），這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測量中，兩點(diǎn)間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)；在角度測量中，水平角=b-a，則水平角就是直接觀測值a和b的函數(shù)等等。 本節(jié)所要討論的就是

11、在直接觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)值（間接觀測值）中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。,四、誤差傳播定律,重慶交通大學(xué)課件,22,1、一般函數(shù)的中誤差,令 的系數(shù)為 ， (3)式為：,重慶交通大學(xué)課件,23,對Z觀測 了k次， 有k個(gè)式,(4),重慶交通大學(xué)課件,24,由偶然誤差的抵償性知：,即,(8),重慶交通大學(xué)課件,25,(8),考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：,上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。,重慶交通大學(xué)課件,26,通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們 可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：,1.列出函數(shù)式； 2

12、.對函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。,重慶交通大學(xué)課件,27,解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式,2、幾種常用函數(shù)的中誤差,重慶交通大學(xué)課件,28,2）線性函數(shù)的中誤差,設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式,例：設(shè)有某線性函數(shù) 其中 、 、 分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分 別為 求Z的中誤差 。,重慶交通大學(xué)課件,29,由于等精度觀測時(shí)， ，代入上式： 得,由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤 差縮小了 倍。,函數(shù)式 全微分 中誤差式,算術(shù)平均值的中誤差式,對某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均， 是提高觀測成果精度最有效的方法。,重慶交通大學(xué)課件,30,3）和或差函數(shù)的

13、中誤差,函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：,當(dāng)?shù)染扔^測時(shí)： 上式可寫成：,例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解：,重慶交通大學(xué)課件,31,觀測值函數(shù)中誤差公式匯總,觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差 一般函數(shù) 倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值,重慶交通大學(xué)課件,32,下面讓我們來看幾個(gè)例題吧,重慶交通大學(xué)課件,33,按三角形的閉合差求測角中誤差,已知對某n個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了同精度觀測，并求得它們的閉合差分別為，求觀測三角形內(nèi)角時(shí)的測角中誤差,三角形閉合差的中誤差：,菲列羅公式,重慶交通大學(xué)課件,34,水準(zhǔn)測量中，

14、已知每站高差的中誤差為，設(shè)每站高差均為等精度觀測，求每公里高差中誤差和水準(zhǔn)路線為公里的高差中誤差,設(shè)每站水準(zhǔn)路線長為s，則nS，即ns，代入上式得：,則水準(zhǔn)路線為km的高差中誤差為：,重慶交通大學(xué)課件,35,例 某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。,148.643,148.590,148.610,148.624,148.654,148.647,148.628,-15,+38,+18,+4,-26,-19,225,1444,324,16,676,361,3046,重慶交通大學(xué)課件,36,例：某建筑場地已劃定為長方形，獨(dú)立地測定其長和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=0.005m、 mb=0.003m，求該場地面積A及其中誤差mA。,1、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值A(chǔ)=ab=450.000m2,2、求函數(shù)對各觀測值的偏導(dǎo)函數(shù),3、列出函數(shù)的真誤差表達(dá)式,4、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值,解：顯然這是一個(gè)任意函數(shù)。,重慶交通大學(xué)課件,37,設(shè)有函數(shù) z=3x-y+2l 10 其中： x=2l+5, y=3l-6 已知 l 的中誤差為 ml ,計(jì)算函數(shù)z的中誤差 mz 。 解法1. mx=2ml , my=3ml mz2=9mx2+my2+4ml2 = 49ml2