1、2009-2010第二學(xué)期,線性代數(shù),任課教師: 梁穎,部 門：信息學(xué)院,辦公室：文理大樓 714 室,E-mail：,下頁,QQ ：1029437622,一、研究對象,三、邏輯結(jié)構(gòu),二、核心方法,下頁,以討論線性方程組的解為基礎(chǔ)，研究線性空間的結(jié)構(gòu)、線性變換的形式.,線性代數(shù)研究對象與邏輯結(jié)構(gòu)概述,通過初等(線性)變換，將方程組化為最簡形式的同解方程組求解.,方程組有解？,是唯一解？,無解，停,求唯一解，停,求通解，停,Y,N,Y,N,三、邏輯結(jié)構(gòu),四、基本要求,下頁,理解內(nèi)在邏輯，掌握運(yùn)算技能；記錄分析思路，及時完成作業(yè).,方程組有解？,是唯一解？,無解，停,求唯一解，停,求通解，停,Y,

2、N,Y,N,例1,顯然，此方程組無解.,例2,顯然，此方程組有無窮多解.,例3,此方程組如何求解 ？,第1章 行列式,1.1 二三階行列式,考慮用消元法解二元一次方程組,(a11a22- a12a21) x2= a11b2- b1a21,(a11a22- a12a21) x1= b1a22- a12b2,第1節(jié) 行列式的概念,用a22和a12分別乘以兩個方程的兩端，然后兩個方程相減，消去x2得,同理，消去x1得,下頁,二階行列式,為便于敘述和記憶， 引入符號,D =,D1 =,稱D為二階行列式.,按照二階行列式定義可得,D2 =,于是，當(dāng)D0時，方程組的解為,下頁,j = 1，2，3,類似引入

3、符號,其中D1, D2, D3分別為將D的第1、2、3列換為常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.,三階行列式,求解三元方程組,稱D為三階行列式.,下頁,25431 是一個5級排列.,如，,3421 是4級排例；,例1寫出所有的3級全排列.,解：所有的3級排列為：,321 .,312，,231，,213，,132，,123，,1.2 排列,n 個自然數(shù)1,2,n 按一定的次序排成的一個無重復(fù)數(shù)字的有序 數(shù)組稱為一個 n 級排列，記為i1i2in.顯然，n 級排列共有個n! .其 中，排列12n稱為自然排列.,下頁,3 4 2 1,逆序數(shù)的計算方法(向前看法),從而得 (3421)=5.,逆序及逆序數(shù),定義1

4、在一個n級排列i1i2 in中，若一個較大的數(shù)排在一個較小數(shù)的前面，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序.一個排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為(i1i2 in).,下頁,奇排列與偶排列,逆序及逆序數(shù),定義1 在一個n級排列i1i2 in中，若一個較大的數(shù)排在一個較小數(shù)的前面，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序.一個排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為(i1i2 in).,逆序數(shù)是奇數(shù)的排列，稱為奇排列. 逆序數(shù)是偶數(shù)或0的排列，稱為偶排列.,如 3421是奇排列，,1234是偶排列，,因?yàn)?3421)=5.,因?yàn)?1234)=0.,下頁,定義3 符號,稱為n階行列式，,它表示代數(shù)和,其中和式中的

5、排列 j1 j2 jn要取遍所有n級排列.,元素ai j,列標(biāo),行標(biāo),1.3 n 階行列式,下頁,n 階行列式定義,(3) n 階行列式共有n!項(xiàng).,n 個元素的乘積.,(1) 在行列式中,項(xiàng),是取自不同行不同列的,行列式有時簡記為| a ij |.一階行列式|a|就是a.,=,說明：,下頁,(2) 項(xiàng),a14a23a31a44,a14a23a31a42,a14a23a31a42,例如，四階行列式,(-1)(4312) a14a23a31a42為行列式中的一項(xiàng).,表示的代數(shù)和中有4!=24項(xiàng).,a14a23a31a42取自不同行不同列,的列標(biāo)排列為4312,所以它不是行列式中的一項(xiàng).,中有兩個

6、取自第四列的元素，,下頁,(為奇排列)，,D =,行列式計算,解：根據(jù)行列式定義,例1計算2 階行列式D =,注：3階行列式的計算類似，略.,下頁,解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，,D = (-1)(1 2 n)a11a22a33 ann,第一行只能取a11，,第三行只能取a33，,第二行只能取a22，,第 n 行只能取ann., ，,這樣不為零的乘積項(xiàng)只有,a11a22a33 ann，,所以,= a11a22a33 ann.,下頁,解：為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零，,D = (-1)(n n-1 21) b1b2b3 bn,第一行只能取b1，,第n-1行只能,第二行只能

7、取b2，,第 n 行只能取bn ., ，,這樣不為零的乘積項(xiàng)只有,b1b2b3 bn，,所以,取bn-1，,下頁,下三角形行列式的值：,上三角形行列式的值：,對角形行列式的值：,結(jié)論：,下頁,將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為 DT (Transpose)或D .即如果,2.1 行列式的性質(zhì),第2節(jié) 行列式的性質(zhì)與計算,顯然，( DT )T=D .,下頁,行列式的轉(zhuǎn)置,性質(zhì)3 用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘以此行列式.即,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D =DT.,推論1 如果行列式的某一行(列)的元素為零，則D0.,性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列

8、)，行列式的值變號.,推論 如果行列式D中有兩行(列)的元素相同，則D=0.,推論2 如果D中有兩行(列)成比例，則D=0.,下頁,性質(zhì)4 若行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列 式可以寫成兩個行列式之和.即,性質(zhì)5 將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行 (列)對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即,下頁,行列式的計算,要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計算.,為表述方便，引入下列記號(行用r，列用c)：,2)以數(shù)k乘以行列式的第i行，用kri表示；,3)以數(shù)k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.,下頁,例1. 計算行列式,解：,= -85.,下頁,例2. 計算行列式,解：,下頁,例3. 計算行列式,解： 將各行都加到第一行，從第一行提?。▁+（n-1）a）得,下頁,解：,例4. 計算行列式,下頁,結(jié)束,作業(yè)： 20頁 1 (1) (2) 21頁 2 3 (1),下頁,關(guān)于作業(yè)和作業(yè)紙問題,1統(tǒng)一要求使用專用的作業(yè)紙； 2作業(yè)