1、因子分析,主要作用：變量個(gè)數(shù)的減少；信息的損失較少,特點(diǎn)： 因子個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于原始變量的個(gè)數(shù) 因子能夠反映原有變量的絕大部分信息 因子之間的線(xiàn)性關(guān)系不顯著 因子具有命名解釋性,1 因子分析模型,一、數(shù)學(xué)模型,設(shè) 個(gè)變量，如果表示為,稱(chēng)為 公共因子，是不可觀測(cè)的變量，他們的系數(shù)稱(chēng)為因子載荷。 是特殊因子，是不能被前m個(gè)公共因子包含的部分。并且滿(mǎn)足：,即不相關(guān)；,即 互不相關(guān)，方差為1。,即互不相關(guān)，方差不一定相等， 。,用矩陣的表達(dá)方式,二、因子分析模型的性質(zhì),1、原始變量X的協(xié)方差矩陣的分解,D的主對(duì)角線(xiàn)上的元素值越小，則公共因子共享的成 分越多。,是因子模型的系數(shù),例1 設(shè)隨機(jī)向量的 協(xié)方差矩

2、陣為,分解為,2、模型不受計(jì)量單位的影響,將原始變量X做變換X*=CX,這里,3、因子載荷不是惟一的,且滿(mǎn)足條件因子模型的條件,設(shè)T為一個(gè)mm的正交矩陣，令A(yù)*=AT，F(xiàn)*=TF， 則模型可以表示為,三、 因子載荷矩陣中的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)特征,1、因子載荷aij的統(tǒng)計(jì)意義,因子載荷 是第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)系數(shù),模型為,再求數(shù)學(xué)期望,在上式的左右兩邊乘以,根據(jù)公共因子的模型性質(zhì)，有,（載荷矩陣中第i行，第j列的元素）反映了第i個(gè)變量與第j個(gè)公共因子的相關(guān)重要性。絕對(duì)值越大，相關(guān)的密切程度越高。,2、變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義,定義：變量 的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為,統(tǒng)計(jì)意義

3、：,所有的公共因子和特殊因子對(duì)變量 的貢獻(xiàn)為1。如果 非常靠近1， 非常小，則因子分析的效果好，從原變量空間到公共因子空間的轉(zhuǎn)化性質(zhì)好。,3、公共因子 方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義,2 因子分析的基本內(nèi)容,一、 因子分析的基本步驟,1、 因子分析的前提條件,要求原有變量應(yīng)該存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。,2 、因子提取,3、使因子具有命名可解釋性,4、計(jì)算各樣本的因子得分,二、 因子分析的前提條件,1、計(jì)算相關(guān)系數(shù),2、計(jì)算反映像相關(guān)矩陣,3、Bartlett test of sphericity,巴特利特球度檢驗(yàn),檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)矩陣是單位陣,4、KMO檢驗(yàn),三、因子提取和因子載荷矩陣的求解,因子載荷矩陣的求解方法有基于：主成分模型的主成 分分析法，主軸因子法，極大似然法，最小二乘法，因 子分析法，映像分析法等。,因子數(shù)的確定：,1、根據(jù)特征根的值,2、根據(jù)因子的累積方差貢獻(xiàn)率,四、因子的命名,觀察因子的載荷矩陣,因子旋轉(zhuǎn),五、計(jì)算因子得分,是第 個(gè)因子在第 個(gè)樣本