1、習(xí) 題 講 解習(xí) 題 講 解 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 習(xí)題一、1習(xí)題一、1 長為長為 l 的均勻桿，側(cè)面絕熱，一端溫度為零， 另一端有恒定熱流 的均勻桿，側(cè)面絕熱，一端溫度為零， 另一端有恒定熱流 q 進(jìn)入（即單位時(shí)間內(nèi)通過單位 橫截面積流入的熱量為 進(jìn)入（即單位時(shí)間內(nèi)通過單位 橫截面積流入的熱量為 q ), 桿的初始溫度分布 為，試寫出相應(yīng)的定解問題。 桿的初始溫度分布 為，試寫出相應(yīng)的定解問題。 () 2 x lx 解解由于桿內(nèi)無熱源，且非穩(wěn)恒狀態(tài)，所以溫 度分布函數(shù) 由于桿內(nèi)無熱源，且非穩(wěn)恒狀態(tài)，所以溫 度分布函數(shù) u( x, t ) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 2 , txx ua

2、 u=0,0.xl t 其中其中 2 . k a c = 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 因?yàn)榱硪欢擞泻愣崃饕驗(yàn)榱硪欢擞泻愣崃?q 進(jìn)入，所以由進(jìn)入，所以由Fourier 實(shí)驗(yàn)定律有實(shí)驗(yàn)定律有 , x l u kq n = = , x l u kq x = = 即即 . xx l q u k = =從而有 因?yàn)橐欢藴囟葹榱?，所?從而有 因?yàn)橐欢藴囟葹榱?，所?0 0. x u = = 又桿的初始溫度分布為，所以又桿的初始溫度分布為，所以 () 2 x lx 0 () . 2 t x lx u = = 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 故相應(yīng)的定解問題為故相應(yīng)的定解問題為

3、 2 , txx ua u=0,0.xl t 0 0, x u = =. xx l q u k = = 0 () . 2 t x lx u = = 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 習(xí)題一、2習(xí)題一、2 長為長為 l 的弦兩端固定，開始時(shí)在的弦兩端固定，開始時(shí)在 x = c 處受到?jīng)_ 量 處受到?jīng)_ 量 k 的作用，試寫出相應(yīng)的定解問題。的作用，試寫出相應(yīng)的定解問題。 解解由于沖量的作用使弦產(chǎn)生振動，因此弦的 位移函數(shù) 由于沖量的作用使弦產(chǎn)生振動，因此弦的 位移函數(shù) u( x, t ) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 2 , ttxx ua u=0,0.xl t 其中其中 2 . T a =因?yàn)橄覂啥斯潭?/p>

4、，所以因?yàn)橄覂啥斯潭ǎ?0 0. xx l uu = = 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 又沖量未作用前，弦上各點(diǎn)處在平衡位置。當(dāng) 沖量作用使得弦開始振動的那一瞬間（即初始時(shí)刻）， 弦上各點(diǎn)仍保持在平衡位置，所以 又沖量未作用前，弦上各點(diǎn)處在平衡位置。當(dāng) 沖量作用使得弦開始振動的那一瞬間（即初始時(shí)刻）， 弦上各點(diǎn)仍保持在平衡位置，所以 0 0. t u = = 沖量的作用使弦產(chǎn)生初速度，在弦上取一小區(qū)間沖量的作用使弦產(chǎn)生初速度，在弦上取一小區(qū)間 ,xc 由沖量定理有由沖量定理有 0 2. tt uk = =在小區(qū)間外， 因未受沖量作用，所以初速度為零。故 在小區(qū)間外， 因未受沖量

5、作用，所以初速度為零。故 0 0, ,. 2 tt xc u k xc = = 由于沖量只作用在由于沖量只作用在c點(diǎn)上，故應(yīng)取趨近于零的極限 情況。 點(diǎn)上，故應(yīng)取趨近于零的極限 情況。 故相應(yīng)的定解問題為故相應(yīng)的定解問題為 2 , ttxx ua u=0,0.xl t 0 0, xx l uu = = 0 0 0, 0, (0). ,. 2 t tt u xc u k xc = = = = 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 ( )( )0.XxX x+=（1） (0)( )0.XX l= （2） 求特征值問題： 由特征值理論知，只有時(shí)方程（ ） 求特征值問題： 由特征值理論知，只有時(shí)方

6、程（1） 才有符合條件（ ） 才有符合條件（2）的非零解。）的非零解。 0 補(bǔ)充作業(yè)：補(bǔ)充作業(yè)： 1、 解解 當(dāng)時(shí)，方程（當(dāng)時(shí)，方程（1）的通解為）的通解為0 ( )cossin.X xAxBx=+ 由條件（由條件（2），得），得 0,B =cos0.Al= 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 由于由于A不能為零（否則不能為零（否則 X (x)=0），所以），所以 cos0,l=,0,1,2,3,. 2 lkk =+=L即 故求得特征值與特征函數(shù)分別為 即 故求得特征值與特征函數(shù)分別為 2 21 , 2 k k l + = 21 ( )cos, 2 kk k XxAx l + = 0,1

7、,2,3,.k =L 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 ( )( )0.XxX x+=（3） (0)( )0.XX l= （4） 由特征值理論知，只有時(shí)方程（ ） 由特征值理論知，只有時(shí)方程（3） 才有符合條件（ ） 才有符合條件（4）的非零解。）的非零解。 0 2、 解解 當(dāng)時(shí)，方程（當(dāng)時(shí)，方程（3）的通解為）的通解為 0= ( ).X xABx=+ 由條件（由條件（4），得），得0.B =因此因此 00 ( ).XxA= 當(dāng)時(shí)，方程（當(dāng)時(shí)，方程（3）的通解為）的通解為0 ( )cossin.X xAxBx=+ 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 ( )sincos.XxAxB

8、x= + 所以 由條件（ 所以 由條件（4），得），得 0,B =sin0.Al= 由于由于A不能為零（否則不能為零（否則 X (x)=0），所以），所以 sin0,l= ,1,2,3,.lkk=L即 故 即 故2 , k k l = ( )cos, kk k XxAx l = 1,2,3,.k =L 綜合以上兩種情況，得特征值與特征函數(shù)分別為綜合以上兩種情況，得特征值與特征函數(shù)分別為 2 , k k l = ( )cos, kk k XxAx l = 0,1,2,3,.k =L 習(xí)題二，6習(xí)題二，6求定解問題求定解問題 2 , txx ua u= 0,0,xl t 0 0,0, xxxx l

9、 uu = = （1） （ ） （2） （ ） （3） 0 , t ux = = 令方程（令方程（1）具有變量分離形式的非零解）具有變量分離形式的非零解解解 ( , )( ) ( ),u x tX x T t= 代入方程（代入方程（1），得），得 ( )( )0.XxX x+= 2 ( )( )0,T taT t+=（4） （ ） （5） 又由條件（ ） 又由條件（2），得），得(0)( )0.XX l=（6） 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 ( )( )0,XxX x+=（5） (0)( )0.XX l= （6） 求特征值問題（ ） 求特征值問題（5）（）（6）, 得特征值與特征函

10、數(shù)分別為得特征值與特征函數(shù)分別為 2 , k k l = ( )cos, kk k XxBx l =0,1,2,3,.k =L 2 ( )( )0,T taT t+= （4） 將代入方程（ ） 將代入方程（4），得），得 k 2 ( )( )0, ak T tT t l += 其通解為其通解為 2 ( ). ak t l kk T tC e = 于是得滿足方程（于是得滿足方程（1）與條件（）與條件（2）的一組特解）的一組特解 2 cos, ak t l k k C ex l =( , )( )( ) kkk ux tXx T t= 其中其中 . kkk CB C= 由于方程（由于方程（1）與條

11、件（）與條件（2）都是齊次的，因此）都是齊次的，因此 2 0 cos ak t l k k k C ex l = = 0 ( , )( , ) k k u x tux t = = 仍滿足方程（仍滿足方程（1）與條件（）與條件（2）。）。 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 又由條件（又由條件（3），得），得 0 cos, k k k Cxx l = = 0 2 cos,0. l k xxdxk ll k C 2 0 1 2 ( , )coscos 2 ak t l l k lkk u x txxdx ex lll = =+ 故原定解問題的解為故原定解問題的解為 ,0, 2 l k = =

12、 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 2 22 11 0, uu += 0, a ( ) a uf = = (0, ).u+ （1） （ ） （ 3 ） （ ） （ 4 ） （2） 習(xí)題二，1 7習(xí)題二，1 7 0 0,uu = = 設(shè)方程（設(shè)方程（1）具有變量分離形式的非零解）具有變量分離形式的非零解 ( , )( )( ),uR =代入方程（代入方程（1），得），得 ( )( )0.+ = 2 ( )( )( )0,RRR+= （5） （ ） （6） 又由條件（ ） 又由條件（2），得），得(0)( )0.= =（7） 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 求特征值問題（求特征值

13、問題（6）（）（7）：）： ( )( )0.+ =（6） (0)( )0.= = （7） 得特征值與特征函數(shù)分別為 ） 得特征值與特征函數(shù)分別為 2 , k k = ( )sin, kk k B =1,2,3,.k =L k 將代入方程（將代入方程（5），得），得 2 2 ( )( )( )0, k RRR += 得得 ( ), kk kkk Rcd =+ 2 ( )( )( )0,RRR+= （5） (0, ),u+（4） 又由條件（又由條件（4），得），得(0),R + 所以所以0, k d = 故故( )(1,2,). k kk Rck =L ( )sin, kk k B = ( )1,

14、2,. k kk Rck =L 于是得方程（于是得方程（1）適合條件（）適合條件（2）（）（4）的一組特解）的一組特解 ( , )( )( ) kkk uR =sin, k k k b = ,1,2,.k =L其中其中, kkk bB c= 1 ( , )sin k k k k ub = =因此因此 2 22 11 0, uu += ( ) a uf = = (0, ),u+ （1） （ ） （3） （ ） （4） （2） 0 0,uu = = 由條件（由條件（3），得），得 1 sin( ) k k k k b af = = 0 2 ( )sin, kk k bfd a = 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱

15、郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 試解出具有放射衰變的熱傳導(dǎo)方程試解出具有放射衰變的熱傳導(dǎo)方程 2 0, x xxt ua uAe += 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = =已知邊界條件為 初始條件為 已知邊界條件為 初始條件為 解解 相應(yīng)的定解問題為相應(yīng)的定解問題為 2 0, x xxt ua uAe += 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = = 22 1 , x txx A uue aa =+ 習(xí)題二，8習(xí)題二，8 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = = 22 1 , x txx A

16、 uue aa =+ 原問題可分解為：原問題可分解為： 0 0 t V = = 0 0,0, xx l VV = = 22 1 , x txx A VVe aa =+ 0t WT = = 0 0,0, xx l WW = = 2 1 , txx WW a = ()() 直接利用分離變量法解問題（），得直接利用分離變量法解問題（），得 2 1 ( , )sin, k t al k k k W x tC ex l = = 0 2 sin. l k k CTxdx ll = 其中 （ 其中 （11） （ ） （12） 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 對于問題（），令對于問題（），令 1 (

17、 , )( )sin, k k k V x tv tx l = = 2 1 sin, x k k Ak efx al = = 其中其中 2 0 2 sin. l x k Ak fexdx lal = 0 0 t V = = 0 0,0, xx l VV = = 22 1 , x txx A VVe aa =+ () （11） （ ） （12） 由方程（ ） 由方程（11），得），得 2 ( )( ), kkk k vtv tf al += (0)0. k v= 又由條件（又由條件（12），得 （ ），得 （13） （ ） （14） 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 解常微分方程初值問題

18、（解常微分方程初值問題（13）（）（14），得），得 2 2 ( )1. k t al kk al v tfe k = 2 2 1 ( , )1sin. k t al k k alk V x tfex kl = = 故故 1 ( , )( )sin, k k k V x tv tx l = = 因此原問題的解因此原問題的解 ( , )( , )( , ).u x tV x tW x t=+ 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 2 0, x xxt ua uAe += 0 . t uT = = 0 0,0, xx l uu = = 22 1 , x txx A uue aa =+ 習(xí)題二，

19、8習(xí)題二，8 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解設(shè)設(shè)u (x, t)=V (x, t )+W (x), () 22 11 ( ), x txx VVWxAe aa =+ ( )0, x WxAe += 0 0,0. xx l WW = = 為了使得關(guān)于為了使得關(guān)于V 的方程和邊界條件都是齊次的，則 選取的 的方程和邊界條件都是齊次的，則 選取的W (x)須滿足須滿足 代入方程（代入方程（1），得），得 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 解之得解之得 () 22 ( )(1)1. xl AA W xeex l = 由原定解問題得由原定解問題得 2 1 , txx VV a =

20、0 ( ), t VTW x = = 0 0,0, xx l VV = = 對上述問題采用分離變量法，得對上述問題采用分離變量法，得 2 1 ( , )sin, k t al k k k V x tC ex l = = 0 2 ( )sin. l k k CTW xxdx ll = 其中其中 0 0 t u = = 0 0,0, xx l uu = = 2 , txx ua uA=+ 習(xí)題二，9習(xí)題二，9 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解令令 1 ( , )( )sin, k k k u x tu tx l = = 1 sin, k k k AAx l = = 其中其中 0 2 s

21、in. l k k AAxdx ll = 由方程（由方程（1），得），得 2 2 11 () ( )( ) sinsin, kkk kk akkk utu txAx lll = += 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 于是得于是得 2 ( )( ), kkk ak utu tA l += (0)0. k u= 又由條件（又由條件（3），得 （ ），得 （4） （ ） （5） 解常微分方程初值問題（ ） 解常微分方程初值問題（4）（）（5），得），得 2 2 ( )1. ak t l kk l u tAe ak = 2 2 1 ( , )1sin. ak t l k k lk u x t

22、Aex akl = = 故故 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 0 0 t u = = 0 0,0, xx l uu = = 2 , txx ua uA=+ 習(xí)題二，9習(xí)題二，9 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解設(shè)設(shè)u (x, t)=V (x, t )+W (x), 22 ( ), txx Va Va WxA=+ 2 ( )0,a WxA+= 0 0,0. xx l WW = = 為了使得關(guān)于為了使得關(guān)于V 的方程和邊界條件都是齊次的，則 選取的 的方程和邊界條件都是齊次的，則 選取的W (x)須滿足須滿足 代入方程（代入方程（1），得），得 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)

23、學(xué)院朱郁森 解之得解之得 2 2 ( )(). 2 A W xxlx a = 由原定解問題得由原定解問題得 2 , txx Va V= 0 ( ), t VW x = = 0 0,0, xx l VV = = 對上述問題采用分離變量法，得對上述問題采用分離變量法，得 2 1 ( , )sin, ak t l k k k V x tC ex l = = 0 2 ( )sin. l k k CW xxdx ll = 其中其中 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森 0 ( ) t ug x = = 0 , xx l uA uB = = 2 ( ), txx ua uf x=+ 習(xí)題二，1 1習(xí)題二，1 1 （1） （ ） （2） （ ） （3） 解解設(shè)設(shè)u (x, t)=V (x, t )+W (x), 22 ( )( ), txx Va Va Wxf x=+ 2 ( )( )0,a Wxf x+= 0 ,. xx l WA WB = = 為了使得關(guān)于為了使得關(guān)于V 的方程和邊界條件都是齊次的，則 選取的 的方程和邊界條件都是齊次的，則 選取的W (x)須滿足須滿足 代入方程（代入方程（1），得），得 湖南大學(xué)數(shù)學(xué)院朱郁森湖南大學(xué)數(shù)