1、3.1.2 用二分法求方程的近似解,一、二分法的概念 1.滿足的條件 (1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上_. (2)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足_.,連續(xù)不斷,f(a)f(b)0,2.操作過程 把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間_,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐 步_,進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值. 思考：已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn),采用什么方法 能進(jìn)一步有效縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間? 提示：可采用“取中點(diǎn)”的辦法逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間.,一分為二,逼近零點(diǎn),二、二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟,f(a)f(b)0,b,a,(a,c),(c,b),a(或b）,判斷：(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)所有函數(shù)的

2、零點(diǎn)都可以用二分法來求.( ) (2)函數(shù)f(x)=|x|可以用二分法求其零點(diǎn).( ) (3)二分法只可用來求函數(shù)的零點(diǎn).( ),提示：(1)錯(cuò)誤.利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)必須滿足函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷且零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào). (2)錯(cuò)誤.函數(shù)f(x)=|x|有零點(diǎn)是0，但該函數(shù)零點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)值都大于零，同號(hào)，故不能用二分法求零點(diǎn). (3)錯(cuò)誤. 二分法也可以用來求方程的近似解. 答案：(1) (2) (3),【知識(shí)點(diǎn)撥】 1.二分法的實(shí)質(zhì) 二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點(diǎn)的方法,找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn). 2.理

3、解二分法的概念時(shí)要注意的兩點(diǎn) (1)二分法是求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一種方法，根據(jù)題目要求的精確度，只需進(jìn)行有限次運(yùn)算即可. (2)它的依據(jù)是函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，即根的存在性定理.,3.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)初始區(qū)間的選取，既符合條件(包含零點(diǎn))，又要使其長度盡量小(關(guān)鍵詞：選初始區(qū)間). (2)進(jìn)行精確度的判斷，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算(關(guān)鍵詞：判斷精確度).,4.二分法在求方程近似解中的應(yīng)用 (1)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程解的關(guān)系,求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)方程的解是等價(jià)的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解. (2)對(duì)于求形如f(x)

4、=g(x)的方程的近似解,可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)的近似值,然后按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟求解.,類型 一 對(duì)二分法概念的理解 【典型例題】 1.下面關(guān)于二分法的敘述，正確的是( ) A.用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值 B.用二分法求方程的近似解時(shí)，可以精確到小數(shù)點(diǎn)后的任一位 C.二分法無規(guī)律可循 D.只有在求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)才用二分法,2.觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點(diǎn)的是( ),【解題探究】1.二分法的實(shí)質(zhì)是什么？ 2.函數(shù)具有零點(diǎn)與該函數(shù)的圖象有何關(guān)系？ 探究提示： 1.二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二,逐步逼近零點(diǎn)的方法,找到零

5、點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間,根據(jù)所要求的精確度,用此區(qū)間的某個(gè)數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn). 2.函數(shù)有零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)該函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn).,【解析】1.選B.只有函數(shù)的圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷且在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào)，才可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故A錯(cuò)，二分法有規(guī)律可循，可以通過計(jì)算機(jī)來進(jìn)行，故C錯(cuò)，求方程的近似解也可以用二分法，故D錯(cuò). 2.選A.由圖象可得A中零點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的函數(shù)值符號(hào)不同，故可用二分法求零點(diǎn).,【拓展提升】運(yùn)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)需具備的兩個(gè)條件 (1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷. (2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號(hào).,【變式訓(xùn)練】對(duì)于二分法求得的近似解，精確度說法正確的是( ) A

6、.越大，零點(diǎn)的精確度越高 B.越大，零點(diǎn)的精確度越低 C.重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是 D.重復(fù)計(jì)算次數(shù)與無關(guān) 【解析】選B.由精確度定義知，越大，零點(diǎn)的精確度越低.,類型 二 用二分法求函數(shù)的零點(diǎn) 【典型例題】 1.已知f(x) lnx在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0，若用二 分法求x0的近似值(精確度0.2)，則最多需要將區(qū)間等分的次 數(shù)為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)(精確度為0.01).,【解題探究】1.在用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，將選取的初始區(qū)間等分的次數(shù)由哪個(gè)因素決定？ 2.給定精確度, 用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的初始區(qū)間是唯一

7、的嗎？,探究提示： 1.由所要求的精確度決定. 2.給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的初始區(qū)間不是唯一的，所選的初始區(qū)間可以大些，也可以小些，雖然初始區(qū)間不同，最后結(jié)果不同，但都符合給定的精確度.,【解析】1.選A.由用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟可知分 一次f( )0，區(qū)間長度|2- |=0.50.2， 分二次，f( )0，區(qū)間長度|2- |=0.250.2， 分三次f( )0,區(qū)間長度 所以最多分三次可以使x0的近似值達(dá)到精確度0.2.,2.確定一個(gè)包含負(fù)數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間(m，n)，且f(m)f(n)0，f(-2)0，所以存在x0(-2，-1)，使f(x0)=0，所以可以取區(qū)間(

8、-2，-1)作為計(jì)算的初始區(qū)間.,用二分法逐次計(jì)算，列表如下：,由于|-1.929 687 5+1.937 5|=0.007 812 50.01, 函數(shù)的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)近似值為-1.929 687 5.,【互動(dòng)探究】若題2已知函數(shù)不變，“試判斷函數(shù)f(x)在 -2,-1內(nèi)有無零點(diǎn)，如果有，求出一個(gè)近似零點(diǎn)(精確度為0.1)”，又如何求解呢？ 【解題指南】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理先判斷出有無零點(diǎn)，若有，再根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟逐次計(jì)算縮小區(qū)間，直到達(dá)到所要求的精確度停止計(jì)算，確定出零點(diǎn)的近似值.,【解析】因?yàn)閒(-1)0，f(-2)0，且函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的圖象是連續(xù)不斷的，根

9、據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法可知，它在區(qū)間-2,-1內(nèi)有零點(diǎn)，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：,由于|-1.875+1.937 5|=0.062 50.1，所以函數(shù)在區(qū)間 -2,-1內(nèi)的一個(gè)近似零點(diǎn)為-1.937 5.,【拓展提升】 1.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則 (1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間m,n (一般采用估計(jì)值的方法完成). (2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c,計(jì)算f(c),確定有解區(qū)間是m,c還是c,n,逐步縮小區(qū)間的“長度”,直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合精確度要求,終止計(jì)算,得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值.,2.二分法求函數(shù)零點(diǎn)步驟的記憶口訣 定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看. 同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)

10、落在異號(hào)間. 重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來把關(guān)口.,類型 三 用二分法求方程的近似解 【典型例題】 1.設(shè)f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0,f(1.5)0,f(1.25)0,則方程的根落在區(qū)間( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能確定 2.借助計(jì)算器，用二分法求出ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1，2)內(nèi)的近似解(精確度0.2).,【解題探究】1.方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)有解應(yīng)具備什么條件？ 2.是否可按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟來求方程f(x)=0的近似解？ 探究提示：

11、 1.方程f(x)=0所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且f(a)f(b)0. 2.可以按照用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟來求方程f(x)=0的近似解.,【解析】1.選B.f(1.25)f(1.5)0, 方程的根在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi). 2.原方程即ln(2x+6)-3x+2=0.令f(x)=ln(2x+6)-3x+2，用計(jì)算器做出如下對(duì)應(yīng)值表,觀察上表，可知零點(diǎn)在(1，2)內(nèi),取區(qū)間中點(diǎn)x1=1.5， 且f(1.5)-1.00，從而可知零點(diǎn)在(1，1.5)內(nèi)； 再取區(qū)間中點(diǎn)x2=1.25，且f(1.25)0.20， 從而可知零點(diǎn)在(1.25，1.5)內(nèi)；

12、 同理取區(qū)間中點(diǎn)x3=1.375，且f(1.375)0， 從而可知零點(diǎn)在(1.25，1.375)內(nèi). 由于|1.375-1.25|=0.1250.2，所以原方程的近似解可取為1.3.,【拓展提升】二分法的記憶口訣 函數(shù)連續(xù)值兩端，相乘為負(fù)有零點(diǎn)， 區(qū)間之內(nèi)有一數(shù)，方程成立很顯然. 要求方程近似解，先看零點(diǎn)的區(qū)間， 每次區(qū)間分為二，分后兩端近零點(diǎn).,【變式訓(xùn)練】用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間2，3內(nèi)的 實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)x0=2.5，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是_. 【解析】令f(x)=x3-2x-5，由f(2)=-10， f(3)=160，f(2.5)= 0得， 下一個(gè)有根的區(qū)間是(2,2.5

13、). 答案：(2,2.5),【規(guī)范解答】用二分法求方程的近似解,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】令f(x)=x2-5, 2分 因?yàn)閒(2.2)=2.22-5=-0.160, 所以f(2.2)f(2.4)0. 8分,因?yàn)閒(2.2)f(2.3)0, 因?yàn)閒(2.2)f(2.25)0, 所以x0(2.2,2.25). 10分 再取區(qū)間(2.2,2.25)的中點(diǎn)x3=2.225, f(2.225)-0.0490,因?yàn)閒(2.25)f(2.225)0, 所以x0(2.225,2.25), 再取區(qū)間(2.225,2.25)的中點(diǎn)x4=2.237 5, f(2.237 5)0.0060, 因?yàn)閒(2.

14、225)f(2.237 5)0, 所以x0(2.225,2.237 5), 由于|2.237 5-2.225|=0.012 50.02, 所以原方程的近似解可取為2.237 5. 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.函數(shù)與方程思想的相互轉(zhuǎn)化 對(duì)于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，如本例求方程的解，即用二分法求相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟求解. 2.隱含條件的利用 題目中的條件要充分利用好，尤其是一些限定條件，關(guān)系到結(jié)果數(shù)值的精確情況.如本例中的精確度為0.02，則關(guān)系到等分的次數(shù)和最后的結(jié)果.,【類題試解】用二分法求x3-x-1=0在區(qū)間(1，1.5)上的一個(gè)近似解(精確

15、度為0.01).,【解析】設(shè)f(x)=x3-x-1,f(1)=-10，在 (1,1.5)內(nèi)f(x)有零點(diǎn). 取(1,1.5)作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列表如 下：,|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 50.01, 原方程的近似解可取為1.328 125.,1.下列函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)的是( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=lnx+3 C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=-x2+2x+2 【解析】選C.對(duì)于C，f(x)=(x+1)20，不能用二分法,2.函數(shù)f(x)=log2x+2x-1的零點(diǎn)必落在區(qū)間( ) A.( ) B.( ) C.( 1) D.(1,2) 【解析】選C. f(1)=10，f(2)=40， 函數(shù)零點(diǎn)落在區(qū)間( 1)上,3.用二分法求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2，4上的近似零點(diǎn)(精確 度為0.01)，驗(yàn)證f(2)f(4)0，取區(qū)間2,4的中點(diǎn) 計(jì)算得f(2)f(x1)0，則此時(shí)零點(diǎn)x0所在的區(qū) 間是_. 【解析】f(2)f(4)0,f(2)f(3)0, f(3)f(4)0，x0(2,3). 答案：(2,3),4.舉出一個(gè)有解，但不能用二分法求出它的近似解的方程_. 【解析】x2=0有解x=0，但不能用二分法求出