1、 341基本不等式（1） 【教學目標】1學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣【教學重點】應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學難點】基本不等式等號成立條件【教學過程】1.課題導入基本不等式的幾何背景：探究：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。2 合作探究（1）問題 1

2、：你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關。 系）提問2:我們把“風車”造型抽象成圖在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的長為、，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？生答：，提問3：那4個直角三角形的面積和呢？生答：提問4：好，根據觀察4個直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個不等式，。什么時候這兩部分面積相等呢？生答：當直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形EFGH變成一個點，這時有結論：（板書）一般地，對于任意實數 、，我們有，當且僅當時，等號成立。提問5：你能給出它的證明嗎？(學生嘗試證明后口答,老

3、師板書)證明: 所以 注意強調 當且僅當時, (2)特別地,如果,也可寫成,引導學生利用不等式的性質推導(板書,請學生上臺板演):要證: 即證 要證,只要證 要證,只要證 ( - ) 顯然, 是成立的,當且僅當時, 的等號成立(3)觀察圖形3.4-3,得到不等式的幾何解釋兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數探究：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2AB即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當且僅當點C與圓心重合，即

4、ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數a、b的等差中項，看作是正數a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.即學即練:1若且，則下列四個數中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正數，則三個數的大小順序是（ ） 答案 B C例題分析：(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）222x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.變式訓練： 0，當取何值時+有最小值，最小值是多少 解析：因為0， + 2=2 當且僅當=時即x=1時有最小值2 點評：此題恰好符

5、合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具體解釋每一項的意思。 當堂檢測： 1.下列敘述中正確的是（ ）.（A）兩個數的算術平均數不小于它們的幾何平均數（B）兩個不等正數的算術平均數大于它們的幾何平均數（C）若兩個數的和為常數，則它們的積有最大值（D）若兩個數的積為常數，則它們的和有最小值12下面給出的解答中，正確的是（ ）.（A）yx22，y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，當x1時，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，則x3的最小值為（ ）.（A）4 （B）7 （C）8 （D）114.設函數f（x）2x1（x0）

6、，則f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函數 （D）是減函數1 B 2.D 3 B 4 .A 基本不等式 第一課時課前預習學案一、預習目標不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理。二、預習內容一般地，對于任意實數 、，我們有，當 ，等號成立。兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，字母表示： 。三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容 課內探究學案教學目標 ，不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不

7、等式的幾何意義教學重點】應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學難點】基本不等式等號成立條件合作探究 1 證; 強調：當且僅當時, 特別地,如果,也可寫成,引導學生利用不等式的性質推導 證明: 結論：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數探究2：課本中的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋 練習1若且，則下列四個數中最大的是 （ ） 2aba 2 a,b是正數，則三個數的大小順序是（ ） 答案 B C例題分析：已知x、y都是正數，求證：(1

8、)2； ( 2） 0，當取何值時+有最小值，最小值是多少 分析：，注意條件a、b均為正數，結合不等式的性質(把握好每條性質成立的條件)，進行變形. 1正2定3相等變式訓練：1已知x，則函數f（x）4x的最大值是多少？ 2 證明：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3. 分析：注意湊位法的使用。 注意基本不等式的用法。 當堂檢測： 1.下列敘述中正確的是（ ）.（A）兩個數的算術平均數不小于它們的幾何平均數（B）兩個不等正數的算術平均數大于它們的幾何平均數（C）若兩個數的和為常數，則它們的積有最大值（D）若兩個數的積為常數，則它們的和有最小值2下面給出的解答中，正確的是（ ）.（A）yx22，

9、y有最小值2（B）y|sinx|24，y有最小值4（C）yx（2x3），又由x2x3得x1，當x1時，y有最大值1（D）y3 323，y有最大值33.已知x0，則x3的最小值為（ ）.（A）4 （B）7 （C）8 （D）114.設函數f（x）2x1（x0），則f（x）（ ）.（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函數 （D）是減函數答案 1 B 2.D 3 B 4.A課后練習與提高 1 已知 如果積 如果和拓展探究2. 設a, b, c且a+b+c=1，求證：答案：1略 2 提示可用a+b+c換里面的1 ，然后化簡利用基本不等式。 3.4.2 基本不等式的應用學校：臨清二中 學科：數學 編

10、寫人：鄭敏杰 審稿人 丁良之【教學目標】1 會應用基本不等式求某些函數的最值,能夠解決一些簡單的實際問題；2 本節(jié)課是基本不等式應用舉例。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數量關系進行求解這個中心。3 能綜合運用函數關系，不等式知識解決一些實際問題教學重點：正確運用基本不等式解決一些簡單的實際問題教學難點：注意運用不等式求最大（?。┲档臈l件教學過程：一、創(chuàng)設情景，引入課題提問：前一節(jié)課我們已經學習了基本不等式，我們常把叫做正數的算術平均數，把叫做正數的幾何平均數。今天我們就生活中的實際例子研究它的重用作用。講解：已知都是正數，如果是定值，那么當時，和有最小值；如果和是定值，那么當

11、時，積有最大值二、探求新知，質疑答辯，排難解惑1、 新課講授例1、（1）用籬笆圍一個面積為100的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？分析： （1）當長和寬的乘積確定時，問周長最短就是求長和寬和的最小值（2）當長和寬的和確定時，求長與寬取何值時兩者乘積最大解：（1）設矩形菜園的長為 m,寬為 m,則 籬笆的長為2（）由 ，可得 2（）等號當且僅當，因此，這個矩形的長、寬為10 m時，所用籬笆最短，最短籬笆為40m (2)設矩形菜園的長為 m,寬為 m,則

12、2（）=36，=18，矩形菜園的面積為，由 可得 ,可得等號當且僅當 點評：此題用到了 如果是定值，那么當時，和有最小值；如果和是定值，那么當時，積有最大值變式訓練： 用長為的鐵絲圍成矩形，怎樣才能使所圍的矩形面積最大？解：設矩形的長為，則寬為，矩形面，且由（當且近當，即時取等號），由此可知，當時，有最大值答：將鐵絲圍成正方形時，才能有最大面積例2（教材例2）某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系

13、式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理。解：設水池底面一邊的長度為，水池的總造價為元，根據題意，得 當因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件。變題：某工廠要制造一批無蓋的圓柱形桶，它的容積是立方分米，用來做底的金屬每平方分米價值3元，做側面的金屬每平方米價值2元，按著怎樣的尺寸制造，才能使圓桶的成本最低。解：設圓桶的底半徑為分米，高為分米，圓桶的成本為元，則3求桶成本最低，即是求在、取什么值時最小。將

14、代入的解析式，得=當且僅當時，取“=”號。當1（分米），（分米）時，圓桶的成本最低為9（元）。點評：分析題意、設未知量、找出數量關系進行求解，歸納整理，整體認識1求最值常用的不等式：，2注意點：一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小3.建立不等式模型解決實際問題當堂檢測：1 下列函數中，最小值為4的是： （ ） 2. 設的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 3函數的最大值為 .4建造一個容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為 元.5某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，

15、面粉的保管等其它費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5 時，有最小值，基本不等式的應用課前預習學案一、預習目標會應用基本不等式求某些函數的最值,能夠解決一些簡單的實際問題二、預習內容1如果是定值，那么當時，和有最 2如果和是定值，那么當時，積有最 3若，則=_時,有最小值，最小值為_.4.若實數a、b滿足a+b2,則3a+3b的最小值是_.三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容 課內探究學案一、學習目標 1 用基本不等式求某些函數

16、的最值,能夠解決一些簡單的實際問題.2 引導學生分析題意、設未知量、找出數量關系進行求解這個中心. 教學重點：正確運用基本不等式解決一些簡單的實際問題教學難點：注意運用不等式求最大（小）值的條件二、學習過程例題分析：例1、（1）用籬笆圍一個面積為100的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？分析： （1）當長和寬的乘積確定時，問周長最短就是求長和寬和的最小值（2）當長和寬的和確定時，求長與寬取何值時兩者乘積最大 解：變式訓練：1用長為的鐵絲圍成矩形，怎樣才

17、能使所圍的矩形面積最大？ 2一份印刷品的排版面積（矩形）為它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白，如何選擇紙張的尺寸，才能使用紙量最少？變式訓練 答案 1 時面積最大。 2此時紙張長和寬分別是和 例2：）某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理。答案：底面一邊長為40時，總造價最低2976000。變式訓練：建造一個容積為18m3, 深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的造價為200元和150元，那么池的最低造價為 元. 答案：3600當堂檢測：1若x, y是正數，且，則xy有（3 ）最大值16 最小值 最小值16最大值2已知且滿足,求的最小值.416 20 14183 某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其它費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？答案:1 C 2 D 3 時，有