1、- 1 -,第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,一 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 高階導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率問題,- 2 -,一 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù),定理1,(1),(2),特別,(3),特別,- 3 -,證 (1)、(2)略,僅對(3)進(jìn)行證明,- 4 -,推論,設(shè),例1,解,例2,解,- 5 -,例3,解,所以,同理,- 6 -,例5,解,例4,解,- 7 -,例6,解,- 8 -,二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2,即 因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t),證,- 9 -,

2、當(dāng),時,總成立,- 10 -,鏈?zhǔn)椒▌t可以推廣到多個函數(shù)的復(fù)合中去,例如,例7,解,或,- 11 -,例8,解,令,例9,解,令,- 12 -,運(yùn)算熟練后,可以不設(shè)出中間變量而直接按復(fù)合步,驟求導(dǎo).,例10,解,例11,解,- 13 -,例12,解,所以,- 14 -,例13,解,同理可得,所以,- 15 -,例14,求冪函數(shù),的導(dǎo)數(shù),解,例如,- 16 -,例15,對于冪指函數(shù),可先進(jìn)行恒等變換,在進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算.,解,- 17 -,三 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理3,- 18 -,證,且,所以,說明：,（1）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).,（2）,- 19 -,例16,解,所以,- 20 -,同

3、理可得,例17,求,解,且,- 21 -,小結(jié),1 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,- 22 -,2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,設(shè),- 23 -,利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.,注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).,例18,解,- 24 -,例19,解,例20,解,- 25 -,- 26 -,例21,解,- 27 -,四 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),隱函數(shù)的顯化,問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?,隱函數(shù)求導(dǎo)法則,設(shè)有方程,- 28 -,例21,解,解得,- 29 -,例22,解,所求切線方程為,顯然通過原點(diǎn).,- 30 -,觀察函數(shù),-對數(shù)求導(dǎo)法,例23,解

4、,等式兩邊取絕對值的對數(shù)得,- 31 -,例24,解,等式兩邊取對數(shù)得,- 32 -,五 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如,消去參數(shù),問題: 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?,給定參數(shù)方程,- 33 -,由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得,即,- 34 -,例25,解,所求切線方程為,- 35 -,例26,解,- 36 -,六 高階導(dǎo)數(shù),問題:變速直線運(yùn)動的加速度.,定義,二階導(dǎo)數(shù),1 高階導(dǎo)數(shù)的基本概念,記作,- 37 -,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),即,記為,記為,- 38 -,例28,解,二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).,- 39 -,例29,求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

5、,解,(1),(2),- 40 -,例30,設(shè),解,特別,- 41 -,例31,解,則,同理,- 42 -,解,例33,解,則,注意:,求n階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明),- 43 -,同理可得,所以,- 44 -,2 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,萊布尼茲公式,- 45 -,例34,解,- 46 -,例35,解,- 47 -,例36,解,- 48 -,例37,解,（規(guī)定,所以,- 49 -,例38,設(shè),且,存在, 求,解,由公式知,由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo)法則得,- 50 -,所以,解,- 51 -,例40,解,- 52 -,例41,設(shè),是由方程,所確定,的隱函