1、,第三章 計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù),坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換 圖形裁剪技術(shù) 圖形幾何變換 投影變換,本 章 要 點(diǎn),3 計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù),坐標(biāo)系分類,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,模型坐標(biāo)系（造型坐標(biāo)系MCS）： （Modeling Coordinate System） 右手坐標(biāo)系，是用來(lái)描述世界坐標(biāo)系中每個(gè)具體物體的形狀，當(dāng)物體的空間位置發(fā)生變化時(shí)，由造型坐標(biāo)系定義的物體上的各點(diǎn)的坐標(biāo)值不變，也稱工作坐標(biāo)系。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,世界坐標(biāo)系(WC)： 世界坐標(biāo)系（也稱用戶坐標(biāo)系）是用戶用于定義所有物體的統(tǒng)一參考坐標(biāo)系，它在計(jì)算過(guò)程中始終保持唯一性。物體從模型坐標(biāo)下經(jīng)幾何變換到世界坐標(biāo)系稱模型變換。,z

2、,用于定義整圖或最高層次圖形結(jié)構(gòu)，各子圖、圖元都放在wc的適當(dāng)位置。世界坐標(biāo)系與造型坐標(biāo)系是整體與局部的關(guān)系，造型坐標(biāo)系也稱為局部坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系也稱為整體坐標(biāo)系。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,觀察坐標(biāo)系（VCS）： 符合右手定則的直角坐標(biāo)系,作用： （1）用于指定裁剪空間，確定物體要顯示輸出的部分； （2）是通過(guò)在觀察坐標(biāo)系中定義觀察平面，把三維物體的世界坐標(biāo)變換為規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,設(shè)備坐標(biāo)系（DCS）：,圖形輸出設(shè)備（如顯示器、繪圖機(jī)）自身都有一個(gè)坐標(biāo)系，稱為設(shè)備坐標(biāo)系或物理坐標(biāo)系。 設(shè)備坐標(biāo)系是一個(gè)二維平面坐標(biāo)系，用于在圖形設(shè)備上定義圖形或窗口的位置，它的度量單

3、位是步長(zhǎng)（繪圖機(jī)）或像素（顯示器）。 定義域是整數(shù)域且是有界的。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系（NDCS）：,由于不同的圖形設(shè)備具有不同的設(shè)備坐標(biāo)系，且不同設(shè)備間坐標(biāo)范圍也不盡相同，為了避免由于設(shè)備坐標(biāo)系與設(shè)備的相關(guān)性影響應(yīng)用程序的可移植性，引入與設(shè)備無(wú)關(guān)的規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系，規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系的取值范圍是左下角（0.0,0.0）,用戶的圖形數(shù)據(jù)經(jīng)轉(zhuǎn)換成規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系后，使應(yīng)用程序與圖形設(shè)備隔離開(kāi)，增強(qiáng)了應(yīng)用程序的可移植性。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,坐標(biāo)變換,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,窗口與視區(qū),1、窗口(Windows) 用戶坐標(biāo)系中的一個(gè)矩形區(qū)域，可以用其左下角點(diǎn)和右上角

4、點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示。只有在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的圖形才能在設(shè)備坐標(biāo)系下顯示輸出，其余的將被裁剪掉。窗口可以嵌套，即在第一層窗口中再定義第二層窗口，在第n層窗口中再定義第n+1層窗口，在各種CAD系統(tǒng)中經(jīng)常用到的框選放大操作就是窗口技術(shù)的典型應(yīng)用。,2、視區(qū)(Viewport) 設(shè)備坐標(biāo)系中的一個(gè)矩形區(qū)域，在圖形設(shè)備上用來(lái)輸出圖形的最大區(qū)域稱之為屏幕域，它是有限的整數(shù)域，任何小于或等于屏幕域的區(qū)域都可定義為視區(qū)。視區(qū)由用戶在屏幕域中用設(shè)備坐標(biāo)定義，一般也由左下角點(diǎn)和右上角點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示，同樣視區(qū)也可以是多層的。而且，在同一屏幕還可以定義多個(gè)視區(qū)。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,通過(guò)變換可以把窗口中的圖形和視區(qū)中的圖形

5、一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。 輸出圖形：用戶坐標(biāo)系 設(shè)備坐標(biāo)系 （窗口坐標(biāo)） （視區(qū)坐標(biāo)） 輸入圖形：設(shè)備坐標(biāo)系 用戶坐標(biāo)系 （視區(qū)坐標(biāo)） （窗口坐標(biāo)）,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,窗口與視區(qū)的變換,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,窗口與視區(qū)的變換,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,窗口與視區(qū)的變換,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,二維圖形的輸出過(guò)程,三維形體的輸出過(guò)程,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,注意： 1、當(dāng)視區(qū)不變時(shí)，窗口尺寸縮小則視區(qū)圖形尺寸變大，窗口尺寸變大則視區(qū)顯示尺寸變小。,窗口,視區(qū),窗口,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,2、當(dāng)窗口尺寸不變時(shí)，視區(qū)的尺寸變化與視區(qū)內(nèi)顯示圖形的尺寸變化一致。,窗口

6、,視區(qū),視區(qū),3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,3、如果視區(qū)的縱橫比與窗口的縱橫比不一致時(shí)，經(jīng)變換后的圖形在視區(qū)中輸出時(shí)會(huì)產(chǎn)生失真現(xiàn)象，因此在定義窗口和視區(qū)時(shí)，要保證它們的縱橫比一致。,窗口,視區(qū),視區(qū),3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,窗口和視區(qū)的關(guān)系： 窗口定義在用戶坐標(biāo)系中；視區(qū)定義在設(shè)備坐標(biāo)系中。 窗口能定義一個(gè)、數(shù)個(gè)、嵌套；視區(qū)的個(gè)數(shù)由窗口個(gè)數(shù)決定，以保證一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 窗口能進(jìn)行移動(dòng)、放大、縮小、旋轉(zhuǎn)等幾何變換；視區(qū)一般不能進(jìn)行幾何變換。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,結(jié)論： 當(dāng)視區(qū)大小不變時(shí)，窗口縮小或放大時(shí)，則顯示的圖形會(huì)相反地放大或縮小。 當(dāng)窗口大小不變時(shí)，視區(qū)縮小或放大時(shí)，則顯示的圖形會(huì)跟隨縮

7、小或放大。 當(dāng)窗口與視區(qū)大小相同時(shí)，則顯示的圖形大小比例不變。 若視區(qū)縱橫比不等于窗口的縱橫比時(shí)，則顯示的圖形會(huì)有伸縮變形。,3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換,確定圖形中哪些部分落在顯示區(qū)之內(nèi),以便顯示落在顯示區(qū)內(nèi)的那部分圖形，這個(gè)選擇過(guò)程稱為裁剪。,只有窗口內(nèi)的物體才能顯示出來(lái)。因此，窗口之外的物體都是不可見(jiàn)的，可以不參加標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換及隨后的顯示操作，節(jié)約處理時(shí)間。裁剪（clipping）是裁去窗口之外物體的一種操作。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),點(diǎn)與字符的裁剪 點(diǎn)的裁剪比較簡(jiǎn)單，當(dāng)圖形系統(tǒng)的窗口確定之后，設(shè)被裁剪的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則只有當(dāng)該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下式 該點(diǎn)才位于窗口之內(nèi)，并經(jīng)過(guò)窗口-視圖變換

8、后送視區(qū)中顯示，否則該點(diǎn)位于窗口之外而被舍去。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),字符的裁剪，根據(jù)裁剪精度不同，可分為三種情況。 （1）字串裁剪 用一個(gè)限界矩形來(lái)包含整個(gè)文本字符串，判斷該限界矩形是否全部位于裁剪窗口的內(nèi)部，如果是，則字符串全部保留，如果不是，則字符串全部不可見(jiàn)。這是字符裁剪的最簡(jiǎn)單方法，裁剪速度最快，但精度最低。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),（2）字裁剪 類似于串裁剪，但限界矩形以單個(gè)字符為單位。 （3）筆劃裁剪 通過(guò)把一個(gè)字符看成一系列短筆劃的集合，使字符的裁剪歸結(jié)為對(duì)組成這些字符的筆劃的裁剪，必須逐條直線的進(jìn)行。此種方法可以精確地刪除字符在窗口外的部分，如實(shí)地反映了字符的裁剪結(jié)果，優(yōu)點(diǎn)

9、是裁剪精度最高，缺點(diǎn)是裁剪過(guò)程比較復(fù)雜。,字裁剪,筆劃裁剪,3.2 圖形的裁剪技術(shù),二維直線段裁剪 線段與窗口的位置關(guān)系有如下幾種情況 （1）直線段兩個(gè)端點(diǎn)在窗口內(nèi)； （2）直線段兩個(gè)端點(diǎn)在窗口外， 且與窗口不相交； （3）直線段兩個(gè)端點(diǎn)在窗口外， 且與窗口相交； （4）直線段一個(gè)端點(diǎn)在窗口內(nèi)，一個(gè)端點(diǎn)在窗口外。 從圖中我們可以看出，不同位置的線段被窗口邊界分成一段或幾段，但其中只有一段落在窗口內(nèi)，如何找出落在窗口內(nèi)線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵。常用的算法有矢量裁剪法、編碼裁剪法、中點(diǎn)分割法。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),編碼裁剪法： 1、第一位：端點(diǎn)在窗口左邊界代碼為1，否則為0 2、第二位：端點(diǎn)

10、在窗口右邊界代碼為1，否則為0 3、第三位：端點(diǎn)在窗口下邊界代碼為1，否則為0 4、第四位：端點(diǎn)在窗口上邊界代碼為1，否則為0,定義編碼狀態(tài)表,3.2 圖形的裁剪技術(shù),（1）直線段的兩個(gè)端點(diǎn)按其所在區(qū)域被賦予相應(yīng)代碼，稱為端點(diǎn)狀態(tài)代碼。,（2）測(cè)試直線段的端點(diǎn)狀態(tài)，當(dāng)兩端點(diǎn)狀態(tài)代碼都為零，說(shuō)明該線段完全位于窗口之內(nèi)；當(dāng)兩端點(diǎn)的狀態(tài)代碼的位邏輯“與”不為零，說(shuō)明線段位于窗外同一側(cè)。,（3）不能通過(guò)上述測(cè)試的線段，再求它與窗口邊界（或邊界的延長(zhǎng)線）的有效交點(diǎn)，它將線段分割成兩個(gè)子段，用上述兩個(gè)條件對(duì)這兩個(gè)子段進(jìn)行測(cè)試，舍棄位于窗外的一段，而對(duì)剩余部分再次賦給交點(diǎn)處的端點(diǎn)狀態(tài)代碼，再次測(cè)試，再次求交

11、，直至能判斷出裁剪剩余部分直線段是否位于窗口內(nèi)或在窗外。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),中點(diǎn)分割法： 基本思想：分別尋找直線段兩個(gè)端點(diǎn)各自對(duì)應(yīng)的最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)，兩個(gè)可見(jiàn)點(diǎn)之間的連線即為要輸出的可見(jiàn)線段。 判斷直線段 是否全部在窗口外，若是則結(jié)束，否則； 判斷 點(diǎn)是否可見(jiàn)，若是則 即為距 點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)（b線段）返回，否則； 將直線段 對(duì)分，中點(diǎn)為 ，如果 全部在窗口外（d線段），則用 代替 ，否則以 代替 （e線段），對(duì)新的線段 從 開(kāi)始； 重復(fù)上述過(guò)程，直到 的長(zhǎng)度小于給定的誤差，即認(rèn)為已與窗口的一個(gè)邊界相交為止。 上述過(guò)程找到了距 點(diǎn)最遠(yuǎn)的可見(jiàn)點(diǎn)，把兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)調(diào)，重復(fù)上述步驟，即可找到距 點(diǎn)最遠(yuǎn)的

12、可見(jiàn)點(diǎn)，連接兩點(diǎn)，即為要輸出的可見(jiàn)段。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),多邊形裁剪,逐邊裁剪法、雙邊裁剪法、分區(qū)判斷求交法、凸包矩形判別法、邊界分割法等。,逐邊裁剪法原理： 先用窗口的一條邊界對(duì)多邊形進(jìn)行裁剪，保留裁剪后位于該邊界窗口內(nèi)的部分圖形，合并外部區(qū)域的圖形，得到一個(gè)或若干個(gè)新的封閉圖形，當(dāng)用窗口的第一條邊界處理完后，再用第二條邊界對(duì)新生成的多邊形進(jìn)行裁剪，如此下去，直至窗口的四條邊界都裁剪完畢。,3.2 圖形的裁剪技術(shù),逐邊裁剪法（1974年由Sutherland和Hodman提出）,3.2 圖形的裁剪技術(shù),圖形變換 在計(jì)算機(jī)圖形處理中，經(jīng)常需要對(duì)已經(jīng)生成的圖形進(jìn)行幾何變換處理。例如，改變圖

13、形的大小、移動(dòng)圖形或根據(jù)需要將圖形旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，輸出零件的三視圖，顯示立體圖，或要求一物體繞一軸線作連續(xù)的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)，使觀察者能看到物體的各個(gè)側(cè)面。這就要求圖形處理軟件能夠?qū)崿F(xiàn)旋轉(zhuǎn)、平移、縮放等幾何變換。,點(diǎn)是構(gòu)成一個(gè)幾何形體的最基本的元素，一幅二維圖形可以看成是一個(gè)點(diǎn)集，因此可以把對(duì)圖形的幾何變換歸結(jié)為對(duì)點(diǎn)的變換。,圖形的基本構(gòu)成：頂點(diǎn)坐標(biāo)+拓?fù)潢P(guān)系,3.3 圖形幾何變換,圖形變換方法 一、點(diǎn)的向量表示 二維平面中點(diǎn)的表示方法：P（x，y） 三維空間里則用 表示。 對(duì)于一個(gè)二維平面的圖形或三維空間的立體，可以用一個(gè)點(diǎn)的集合（簡(jiǎn)稱點(diǎn)集）來(lái)表示，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)行向量，則點(diǎn)集為n2或m3階的矩陣：,

14、或,3.3 圖形幾何變換,例：已知三角形ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 則三角形ABC可以記作矩陣： 然后把它以數(shù)組的形式存貯在計(jì)算機(jī)內(nèi)。,3.3 圖形幾何變換,二、變換矩陣 由于圖形可以用點(diǎn)集表示，因此要對(duì)圖形進(jìn)行變換， 只要變換點(diǎn)就可以了。 對(duì)點(diǎn)的變換可以通過(guò)相應(yīng)的矩陣運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，即： 舊點(diǎn)（集）變換矩陣 新點(diǎn)（集）,3.3 圖形幾何變換,設(shè)有圖形A，經(jīng)過(guò)某種變換后得到的新圖形為B，則有：,其中，B為變換后圖形矩陣，T稱為變換矩陣，是用來(lái)對(duì)原圖形施行坐標(biāo)變換的工具。,這里x,y為變換后點(diǎn)的坐標(biāo)，x,y為變換前點(diǎn)的坐標(biāo)，變換矩陣中a,b,c,d

15、的不同取值，可以實(shí)現(xiàn)各種不同變換，從而達(dá)到對(duì)圖形進(jìn)行變換的目的。,3.3 圖形幾何變換,二維圖形的幾何變換 一、基本幾何變換 1、比例變換 2、旋轉(zhuǎn)變換 3、對(duì)稱變換 4、錯(cuò)切變換 5、平移變換 二、齊次坐標(biāo)及齊次變換 三、組合變換,3.3 圖形幾何變換,一、基本幾何變換 1、比例變換 比例變換指將原有圖形在x、y兩個(gè)方向上進(jìn)行放大或縮小的變換，通過(guò)它可以改變圖形的大小和方向。 將平面上一點(diǎn)P（x，y）在x、y兩個(gè)方向上分別進(jìn)行放大a倍和d倍的比例變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系為： 寫成矩陣的形式為,3.3 圖形幾何變換,其中，T= 稱為比例變換矩陣，a、d分別 為沿 x、y

16、方向上的比例因子，且a、d0。a、d的取值不同，變換效果也不同，如下所述： （1）如果a =d = 1，變換為恒等變換，即變換后點(diǎn)的坐標(biāo)不變。 （2）如果a = d1，變換為等比例變換。其中，如果a = d 1，變換為等比例放大；如果a = d 1，變換則為等比例縮小。如圖（a）、（b）所示。 （3）如果a d，變換后的圖形會(huì)產(chǎn)生畸變。如圖（c）所示。,3.3 圖形幾何變換,（a）a = d 1 （b）a = d 1 （c）a d,3.3 圖形幾何變換,例：a=2，d=1時(shí)，假設(shè)變換前A（1，1），B（2，1），C（1，2），那么，變換后為A*（2，1）， B*（4，1），C*（2，2），AB

17、C與A*B*C*不相似。,3.3 圖形幾何變換,2、旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換一般指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，規(guī)定為：繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變化后不改變圖形自身的大小、形狀等，只改變圖形的方向。連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變換相當(dāng)于將其旋轉(zhuǎn)角度疊加之后的旋轉(zhuǎn)變換。 將平面上一點(diǎn)P（x，y）繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，變換后得到新點(diǎn)P （x1，y1），P和P 的關(guān)系為：,3.3 圖形幾何變換,其中： 為繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,對(duì)字母T進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)60),3.3 圖形幾何變換,3、對(duì)稱變換 對(duì)稱變換又稱為反射變換或鏡像變換。 （1）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱變換 將平面

18、上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（a）應(yīng)為：x*=x，y*=y，寫成矩陣形式為： 其中： 為關(guān)于 原點(diǎn)的對(duì)稱變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,（2）關(guān)于x軸的對(duì)稱變換 將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于x軸的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（b）應(yīng)為：x*=x，y*=y，寫成矩陣形式為： 其中： 為關(guān)于 x軸的對(duì)稱變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,（3）關(guān)于y軸的對(duì)稱變換 將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于y軸的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（c）應(yīng)為：x*=x，y*=y，寫成矩陣形式為： 其

19、中： 為變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,(4)關(guān)于y=x的對(duì)稱變換 將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于直線y=x的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（d）應(yīng)為：x*= y，y*= x，寫成矩陣形式為： 其中： 為變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,(5)關(guān)于y=x的對(duì)稱變換 將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行關(guān)于直線y= x的對(duì)稱變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），P和P*的關(guān)系如圖（e）應(yīng)為：x*=y，y*=x，寫成矩陣形式為： 其中： 為變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,4、錯(cuò)切變換 錯(cuò)切變換是使圖形沿錯(cuò)切方向的坐標(biāo)發(fā)生變化，而另一方向的坐標(biāo)值不變，從而達(dá)到使原圖形發(fā)生特定變化

20、的目的。錯(cuò)切變換分沿x軸和沿y軸錯(cuò)切兩種形式。 (1) 沿x軸方向的錯(cuò)切 將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行沿x軸方向的錯(cuò)切變換后得到新點(diǎn)P*（x*，y*），變換過(guò)程如圖（a）所示，從圖中可以看出，沿x軸方向錯(cuò)切變化后，y坐標(biāo)不變，x將產(chǎn)生一個(gè)增量x = cy，而且c當(dāng)取正值時(shí)，沿x軸的正方向進(jìn)行錯(cuò)切，反之c取負(fù)值。P和P*的關(guān)系為：x*=x+cy，y*=y。寫成矩陣形式為：,3.3 圖形幾何變換,其中： 為變換矩陣。 （a）沿x軸方向的錯(cuò)切 （b）沿y軸方向的錯(cuò)切,3.3 圖形幾何變換,（2）沿y軸方向的錯(cuò)切 將平面上一點(diǎn)P（x，y）進(jìn)行沿y軸方向的錯(cuò)切變換后得到新點(diǎn)P*（x*， y*），變換過(guò)程

21、如圖（b）所示，從圖中可以看出，沿y軸方向錯(cuò)切變化后，x坐標(biāo)不變，y將產(chǎn)生一個(gè)增量y = bx，而且當(dāng)b取正值時(shí)，沿y軸的正方向進(jìn)行錯(cuò)切，反之b取負(fù)值。P和P*的關(guān)系為：x*=x，y*=bx+y。寫成矩陣形式為： 其中： 為變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,5、平移變換,這里x，y是平移量，應(yīng)為常數(shù)，但是應(yīng)用上述變換矩陣對(duì)點(diǎn)進(jìn)行變換,而這里的cy，bx均非常量，因此用原來(lái)的22的變換矩陣是無(wú)法實(shí)現(xiàn)平移變換。,上述四種變換都可以通過(guò)變換矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)，但是，若實(shí)現(xiàn)平移變換，變換前后的坐標(biāo)必須滿足下面的關(guān)系,3.3 圖形幾何變換,將變換矩陣增加一行一列，實(shí)施對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換,3.3 圖形幾何變換,例：

22、已知三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，0)，B(20，0)，C(0，20)，平移參數(shù)分別為l20，m10；試對(duì)此三角形進(jìn)行平移變換。 解：因?yàn)槠揭谱儞Q矩陣為 所以變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為,3.3 圖形幾何變換,二、齊次坐標(biāo),在平移變換中，我們將x y擴(kuò)充為x y 1 實(shí)際上是由二維向量變?yōu)槿S向量。 這種用三維向量表示二維向量的方法叫做齊次坐標(biāo)法。進(jìn)一步推廣，用n+1維向量表示n維向量的方法稱之為齊次坐標(biāo)法。 所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維向量表示n維向量得到的坐標(biāo)。對(duì)齊次坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換稱為齊次變換，相應(yīng)的變換矩陣稱為齊次變換矩陣。 設(shè)三維空間點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，它是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，則為(hx

23、,hy,hz,h)，且不唯一。,3.3 圖形幾何變換,齊次坐標(biāo)的幾何意義,將Oxy坐標(biāo)系增加一與x軸和y軸正交的w軸。 在w=1的平面上有點(diǎn)P1(x,y,1),則當(dāng)w由0變化到無(wú)窮時(shí)，齊次坐標(biāo)Pw(xw,yw,w) 將處在由OP1定義的射線OQ上。二維坐標(biāo)則是該射線在w1平面上的交點(diǎn),有,二維齊次變換表示了在w=1平面上點(diǎn)的坐標(biāo)變換，即P1到P1*的坐標(biāo)變換,3.3 圖形幾何變換,齊次坐標(biāo)的特點(diǎn),當(dāng)w=0時(shí)，齊次坐標(biāo)可用來(lái)表示無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn) 將圖形處理中的各種變換用統(tǒng)一的方式來(lái)處理 如二維圖形變換矩陣的一般表達(dá)式：,3.3 圖形幾何變換,二維齊次變換矩陣,其中22階矩陣 可以實(shí)現(xiàn)圖形的比例、對(duì)稱、

24、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本變換； 12階矩陣 可以實(shí)現(xiàn)圖形的平移變換； 21階矩陣 可以實(shí)現(xiàn)圖形的透視變換， 而s可以實(shí)現(xiàn)圖形的全比例變換。,3.3 圖形幾何變換,小結(jié),3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,二、組合變換 在圖形的幾何變換中，圖形的實(shí)際變換往往不是單獨(dú)采用前述的各種基本變換就可以完成，通常需要將各種基本變換組合使用，以完成最終的圖形變換。這種由多種基本變換組合而成的變換稱為組合變換，相應(yīng)的變換矩陣叫做組合變換矩陣。 假設(shè)已知點(diǎn)P依次經(jīng)過(guò)T1、T2和T3三個(gè)幾何變換，得到的結(jié)果為: P* = （PT1）T2）T3 運(yùn)用矩陣乘法的結(jié)合律，上式可化為: P* = P

25、（T1T2T3） 于是得到組合變換的變換矩陣為: T = T1T2T3,由于矩陣不存在交換律，因此矩陣相乘的順序是不能隨意互換的。,3.3 圖形幾何變換,組合變換順序?qū)D形的影響,復(fù)雜變換是通過(guò)基本變換的組合而成的，由于矩陣的乘法不適用于交換律，即： AB BA 因此，組合的順序一般是不能顛倒的，順序不同，則變換的結(jié)果亦不同，如圖所示。,3.3 圖形幾何變換,實(shí)例: 繞任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 平面圖形繞任意點(diǎn)P（xp，yp）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，需要通過(guò)如下幾個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)： (1)將旋轉(zhuǎn)中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣為 (2)將圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 角，變換矩陣為,3.3 圖形幾何變換,（3）將旋轉(zhuǎn)中心

26、平移回到原來(lái)位置，變換矩陣為 （4）最后得出繞任意點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)矩陣為,即,當(dāng)xp = 0，yp = 0 時(shí)，即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。,3.3 圖形幾何變換,例：將下圖所示圖形繞自身對(duì)稱軸上的一點(diǎn)P(15,12） 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，放大2倍（x、y方向的放大倍 數(shù)相同） 1、試寫出各變換的變換矩陣； 2、求出復(fù)合變換矩陣； 3、求出各點(diǎn)變換后的坐標(biāo)；,3.3 圖形幾何變換,解： （1）、各變換矩陣為： 先將P點(diǎn)平移至原點(diǎn)的矩陣 ：,繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ：,3.3 圖形幾何變換,沿x、y軸放大2倍,平移回原位置：,3.3 圖形幾何變換,（2）、組合變換矩陣：,（3）、變換后的坐標(biāo)為：,3.3 圖形幾

27、何變換,作業(yè)： 1、將下圖所示圖形繞自身中心點(diǎn)P（20,20）先縮小1/2（x、y方向的縮小倍數(shù)相同）再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270度， （1）試寫出各變換的變換矩陣； （2）求出組合變換矩陣； （3）求出各點(diǎn)變換后的坐標(biāo)。,3.3 圖形幾何變換,2、如圖所示平行四邊形ABCD，已知圖上一點(diǎn)G（10，6），該平行四邊形先繞G點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90度，最后沿Y方向正向移動(dòng)3個(gè)單位距離。 （1）試寫出各變換的變換矩陣； （2）求出組合變換矩陣； （3）求出A、B、C、D各點(diǎn)變換后的坐標(biāo)。,3.3 圖形幾何變換,1、解： （1）、各變換矩陣為： 、先將P點(diǎn)平移至原點(diǎn)的矩陣 ：,、沿x、y軸縮小1/2倍：,、繞原點(diǎn)順時(shí)針

28、旋轉(zhuǎn),3.3 圖形幾何變換,、平移回原位置：,（2）、復(fù)合變換矩陣：,（3）、變換后的坐標(biāo)為：,3.3 圖形幾何變換,2、解：（1） 1）先將G點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣為,2）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的變換距陣為,3）沿Y正向平移3個(gè)單位的變換矩陣為,3.3 圖形幾何變換,4）將G點(diǎn)移回原處的變換矩陣為,（2）組合變換矩陣為,（3）,A(13,4) B(13,15) C(6,14) D(6,4),3.3 圖形幾何變換,三維圖形變換,三維圖形的變換是二維圖形變換的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，變換的原理還是把齊次坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z,1)通過(guò)變換矩陣變換成新的齊次坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,z,1)，即,其中T為三維基本(齊次)

29、變換矩陣：,T ,3.3 圖形幾何變換,齊次變換矩陣：,平移,縮放 旋轉(zhuǎn) 錯(cuò)切,透視變換,整體縮放,3.3 圖形幾何變換,比例和對(duì)稱變換,一般情況，sx,sy,sz0，圖形沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向作放縮變換； 當(dāng)sx=1,sy=sz=-1時(shí)，圖形相對(duì)于x軸中心對(duì)稱，其余類推; 當(dāng)sx-1,sy=sz=1時(shí)，圖形相對(duì)于yOz平面對(duì)稱，其余類推; 當(dāng)sx=sy=sz=-1時(shí)，圖形相對(duì)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。,3.3 圖形幾何變換,整體縮放,得到： 左邊同乘 s,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,關(guān)于xoy平面,3.3 圖形幾何變換,關(guān)于xoz平面,3.3 圖形幾何變換,關(guān)于yoz平

30、面,平移變換,3.3 圖形幾何變換,旋轉(zhuǎn)變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,錯(cuò)切變換,3.3 圖形幾何變換,錯(cuò)切變換,3.3 圖形幾何變換,錯(cuò)切變換,3.3 圖形幾何變換,錯(cuò)切變換,3.3 圖形幾何變換,錯(cuò)切變換,若d、h不為零，則沿著x軸方向有錯(cuò)切 若b、i不為零，則沿著y軸方向有錯(cuò)切 若c、f不為零，則沿著z軸方向有錯(cuò)切,b、c是關(guān)于變量x的錯(cuò)切 d、f是關(guān)于變量y的錯(cuò)切 h、i是關(guān)于變量z的錯(cuò)切,3.3 圖形幾何變換,三維組合變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,3.3 圖形幾何變換,例：簡(jiǎn)單幾何體的圖形變換,式中：T為所要進(jìn)行的圖形變換矩陣,假定一六面體ABCDEFGH各點(diǎn)的坐