1、第二章 邏輯代數(shù)基礎,共享郵箱：jiaoan1_ 密碼： jiaoan,二值邏輯變量與基本邏輯運算,*邏輯運算: 當0和1表示邏輯狀態(tài)時，兩個二進制數(shù)碼按照某種特定的因果關系進行的運算。 邏輯運算使用的數(shù)學工具是邏輯代數(shù)。,邏輯運算的描述方式:邏輯代數(shù)表達式、真值表、邏輯圖、卡諾圖、波形圖和硬件描述語言（HDL) 等。,* 邏輯代數(shù)與普通代數(shù):與普通代數(shù)不同之處是邏輯代數(shù)中的變量只有0和1兩個可取值，它們分別用來表示完全兩個對立的邏輯狀態(tài)。,在邏輯代數(shù)中，有與、或、非三種基本的邏輯運算。,下頁,返回,一、 邏輯函數(shù),各種邏輯關系中，輸入與輸出之間的函數(shù)關系， 稱為邏輯函數(shù)。,表示為：,變量和輸

2、出（函數(shù)）的取值只有0和1兩種狀態(tài)， 這種邏輯函數(shù)是二值邏輯函數(shù)。,例1.4.1 三人表決電路： 三人A、B、C當中有兩人或兩人以上同意時， 表決結(jié)果Y為通過，否則表決結(jié)果Y為沒通過， 表決結(jié)果Y的狀態(tài)（通過與沒通過）是 三人A，B，C狀態(tài)（同意與不同意）的函數(shù)。,任何一個具體的因果關系都可以 用一個邏輯函數(shù)描述,邏輯函數(shù)為：,與運算,(1)與邏輯:只有當決定某一事件的條件全部具備時，這一事件才會發(fā)生。這種因果關系稱為與邏輯關系。,與邏輯舉例,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,邏輯表達式,與邏輯：L = A = AB,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,與運算,、或運算,只要在決定某一事件的

3、各種條件中，有一個或幾個條件具備時，這一事件就會發(fā)生。這種因果關系稱為或邏輯關系。,或邏輯舉例,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,邏輯表達式,或邏輯：L = A +,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,、或運算,3.非運算,事件發(fā)生的條件具備時，事件不會發(fā)生；事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。這種因果關系稱為非邏輯關系。,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,非邏輯符號,邏輯表達式,線圈(A)通電- 1 不通電- 0,燈(L)滅 -0 亮 -1,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,3.非運算,三種基本邏輯運算的圖形符號,與,或,非,4. 幾種常用復合邏輯運算,1)與非運算,1.5 二值邏輯變量

4、與基本邏輯運算,2)或非運算,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,3.與或非,圖形符號：,與或非邏輯表達式：,3 )異或邏輯,若兩個輸入變量的值相異，輸出為1，否則為0。,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,4 )同或運算,若兩個輸入變量的值相同，輸出為1，否則為0。,同或邏輯表達式,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,邏輯函數(shù)的建立及其表示方法,樓道燈開關示意圖,1. 真值表表示,邏輯抽象，列出真值表,練習:試列出以下開關電路的邏輯真值表,1.5 二值邏輯變量與基本邏輯運算,2.3.1 基本公式 2.3.2 常用公式,2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,根據(jù)與、或、非

5、的定義，得表2.3.1的布爾恒等式,證明方法：推演 真值表,公式（17）的證明（公式推演法）：,公式（17）的證明（真值表法）：,2.3.2 若干常用公式,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.1 代入定理 -在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。,2.4.1 代入定理,應用舉例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D),2.4.1 代入定理,應用舉例： 式 （8）,2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.2 反演定理 -對任一邏輯式,變換順序 先括號，然后乘，最后加,

6、不屬于單個變量的上的反號保留不變,2.4.2 反演定理,應用舉例：,對于任何邏輯函數(shù)式，若將其中的與（ ）換成或（+），或（+）換成與（）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數(shù)式就是L的對偶式，記作 。,例,2.4.3. 對偶規(guī)則：,注意與“反演規(guī)則”的區(qū)別！,2.5.1 邏輯函數(shù) Y=F(A,B,C,) -若以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關系。 注：在二值邏輯中， 輸入/輸出都只有兩種取值0/1。,2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法,2.5.2 邏輯函數(shù)的表示方法,真值表 邏輯式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計算機軟件中的

7、描述方式 各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換,真值表,邏輯式 將輸入/輸出之間的邏輯關系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。 邏輯圖 用邏輯圖形符號表示邏輯運算關系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應。 波形圖 將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。,卡諾圖 EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) VHDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF DTIF 。,舉例：舉重裁判電路,各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：,真值表 邏輯式 例：奇偶判別函數(shù)的真值表 A=0,B=1,

8、C=1使 ABC=1 A=1,B=0,C=1使 ABC=1 A=1,B=1,C=0使 ABC =1 這三種取值的任何一種都使Y=1, 所以 Y= ?,三人表決電路真值表,輸入變量A、B、C 為1表示同意， 為0表示不同意， 輸出變量Y 為1表示通過， 為0表示沒通過。,三人表決真值表,各種方法間的互相轉(zhuǎn)換,從真值表寫出邏輯函數(shù)式,一般方法： （1）找出真值表中使邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合。 （2）每組輸入變量取值的組合對應一個乘積項， 其中取值為 1 的寫入原變量， 取值為 0 的寫入反變量。 （3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。,例 ：將下圖所示真值表轉(zhuǎn)換為邏輯函數(shù)式。,

9、下頁,上頁,從邏輯函數(shù)式列出真值表,一般方法:將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式, 求出函數(shù)值，列成表。,例 已知邏輯函數(shù)表達式：,求它對應的真值表。,解：,真值表 邏輯式： 找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合。 每組輸入變量取值對應一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量。 將這些變量相加即得 Y。 把輸入變量取值的所有組合逐個代入邏輯式中求出Y，列表,邏輯式 邏輯圖 1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。,邏輯式 邏輯圖 1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符。 2. 從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。,將真值表中的變量和函數(shù)的對應值分別

10、用高、低電平表示,真值表 波形圖,一般方法：,例:異或函數(shù)的幾種表達方式,邏輯符號,波形圖,最小項 m： m是乘積項 包含n個因子 n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次,對于n變量函數(shù) 有2n個最小項,2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標準形式 最小項之和 最大項之積,最小項舉例：,兩變量A, B的最小項 三變量A,B,C的最小項,最小項的編號：,最小項的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1。 全體最小項之和為1 。 任何兩個最小項之積為0 。 兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。 -相鄰：僅一個變量不同的最小項 如,邏輯函數(shù)最小項之和的形式：,例：

11、,利用公式 可將任何一個函數(shù)化為,邏輯函數(shù)最小項之和的形式：,例：,利用公式 可將任何一個函數(shù)化為,邏輯函數(shù)最小項之和的形式：,例：,利用公式 可將任何一個函數(shù)化為,邏輯函數(shù)最小項之和的形式：,例：,最大項：,M是相加項； 包含n個因子。 n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次。 如：兩變量A, B的最大項,對于n變量函數(shù) 2n個,最大項的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0； 全體最大項之積為0； 任何兩個最大項之和為1； 只有一個變量不同的最大項的乘積等于各相同變量之和。,最大項的編號：,2.6 邏輯函數(shù)的化簡法,邏輯函數(shù)的最簡形式 最簡與或 -包含的乘積項已經(jīng)最

12、少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與-或邏輯式。,2.6.1公式化簡法 反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。 例：,“或-與”表達式,“與非-與非”表達式,“與-或-非”表達式,“或非或非” 表達式,“與-或” 表達式,邏輯函數(shù)的變換與代數(shù)法化簡,1.常見的幾種邏輯函數(shù)表達式及其相互變換,a.常見的幾種邏輯函數(shù)表達式,2、邏輯函數(shù)的變換,將邏輯函數(shù)與或式變換與非-與非表達式,例1 用與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù),方法：將邏輯函數(shù)兩次求反后用摩根定律,（1）適應器件的情況:,用與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù),例2、用或非門實現(xiàn)邏輯函數(shù),2、兩次求反。,與或式轉(zhuǎn)換為或非-或非式,方法：1、將每

13、個乘積兩次求反后，用摩根定律；,用或非門實現(xiàn),用邏輯門實現(xiàn)函數(shù)L3,轉(zhuǎn)換為與非-與非式,(2)簡化電路:,需要與非門和或非門兩塊芯片,只用一塊與非門芯片,2.6.2 卡諾圖化簡法,邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來 以2n個小方塊分別代表 n 變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。,表示最小項的卡諾圖,二變量卡諾圖 三變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,五變量的卡諾圖,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),將函數(shù)表示為最小項之和的形式 。 在卡諾圖上與這些最小項對應的位置

14、上添入1，其余地方添0。,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),例：,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),用卡諾圖化簡函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。,合并最小項的原則： 兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子 四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子 八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子,兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子,化簡步驟： -用卡諾圖表示邏輯函數(shù) -找出可合并的最小項 -化簡后的乘積項相加 （項數(shù)最少，每項因子最少）,用卡諾圖化簡函數(shù),若兩個最小項相鄰， 則可合并為一項并消去一個變量。 2. 若四個最小項相鄰并排

15、列成一個矩形組， 則可合并為一項并消去兩個變量。 3. 若八個最小項相鄰并排列成一個矩形組， 則可合并為一項并消去三個變量。,依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。,2、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的一般步驟,A.畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。,X,B. 合并最小項，即將相鄰的為1的方格圈成一組。,C. 將所有包圍圈對應的乘積項相加。,3.2.4 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),卡諾圖化簡的原則,化簡后的乘積項應包含函數(shù)式的所有最小項， 即覆蓋圖中所有的1 乘積項的數(shù)目最少，即圈成的矩形個數(shù)最少 每個乘積項因子最少，即圈成的矩形面積最大,例：,A,BC,例

16、：,A,BC,例：,A,BC,例：,化 簡 結(jié) 果 不 唯 一,例：,AB,CD,例：,AB,CD,約束項 任意項 邏輯函數(shù)中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關項。,在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項,在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項,2.7具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關項,2.7.2 無關項在化簡邏輯函數(shù)中的應用,合理地利用無關項，可得更簡單的化簡結(jié)果。 加入（或去掉）無關項，應使化簡后的項數(shù)最少，每項因子最少 從卡諾圖上直觀地看，加入無關項的目的是為矩形圈最大，矩形組合數(shù)最少。,AB,CD,AB,CD,AB,CD,例：,AB,CD,L=A+BC+BD,a、畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖,含無關項的邏輯函數(shù)化簡舉例,試用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),b、化簡邏輯函數(shù),例