1、3.1.4空間向量的直角坐標(biāo)運算,高中數(shù)學(xué)選修2-1,第三章 空間向量與立體幾何,啟動思維,在各棱長均為1的正方體ABCDA1B1C1D1中， O為面A1B1C1D1的中心， 設(shè) AB a ， AD b ， AA1 c ， 你能否用 a ， b ， c 表示出 AO ？ 表示出的結(jié)果還有沒有其他表示方法？,D,D1,A,B,C,B1,A1,C1,O,走進(jìn)教材,兩兩垂直,公共點,1.單位正交基底及向量的坐標(biāo)表示,走進(jìn)教材,平移,起點,x i y j z k,p (x，y，z),x，y，z,走進(jìn)教材,2空間向量運算的坐標(biāo)表示 若 a (a1，a2，a3)， b (b1，b2，b3).,(a1b1，

2、a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3),a1b1a2b2a3b3,走進(jìn)教材,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30, 1 2 + 2 2 + 3 2, | |,走進(jìn)教材,3.空間中向量的坐標(biāo)及兩點間的距離公式 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則 (1) ； (2)d AB| | .,(a2a1，b2b1，c2c1),(a2a1) 2 + (b2b1) 2 + (c2c1) 2,自主練習(xí),1在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點A的坐標(biāo)為(1,2,1)， 點B的坐標(biāo)為(1,3,4)，則() A. (1,2,

3、1)B (1, 3, 4) C (2, 1, 3) D (2，1，3),C,自主練習(xí),2已知 a (1，2,1)， a b (1,2，1)，則 b 等于() A(2，4,2) B(2,4，2) C(2,0，2) D(2,1，3),B,自主練習(xí),3已知 a (1,2，y)， b (x,1,2)，且( a 2 b )(2 a b )， 則x_，y_.,1 2,-4,典例導(dǎo)航,題型一：空間向量的坐標(biāo)運算,例1 已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)， (1)求 ， ， . (2)求 ， 夾角的余弦值 (3)問是否存在實數(shù)x，y，使得 x y 成立，若存在， 求出x，y的值,

4、典例導(dǎo)航, (1,1,0)， (1,0,2)， (1) (1,1,0)(1,0,2) (11,10,02) (0,1,2)， (1,1,0)(1,0,2) (1(1)，10,02) (2,1，2)， (1,1,0)(1,0,2) 1(1)10021；,(2)cos 1 2 5 10 10 ； (3)假設(shè)存在x、yR滿足條件， 則由已知可得 (2，1,2) (1,0,2)x(1,1,0)y(2，1,2)， (1,0,2)(x2y，xy,2y)， x2y =-1, xy=0,2y =2， 存在實數(shù)x1，y1使得結(jié)論成立,解：,變式訓(xùn)練,1.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)

5、(1)求 ， ， . (2)求 ， 夾角的余弦值 (3)問是否存在實數(shù)x，y，使得 x y 成立，若存在， 求出x，y的值,解： (-1,0,2)， (0,1,2) ， (1,1,0)， (1) (-1,1,4)， (0,1,2)， -1.,變式訓(xùn)練,(2)cos 4 5 5 4 5 ； (3)假設(shè)存在x、yR滿足條件， 則由已知(1,0,2)x(-1,1,0)y(0,1,2)， (1,0,2)(x，xy,2y)， x =-1, xy=0,2y =2， 存在實數(shù)x1，y1使得結(jié)論成立,典例導(dǎo)航,例2 已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè) a AB ， b AC

6、. (1)設(shè)| c |3， c BC ，求 c ；(2)若k a b 與k a 2 b 互相垂直，求k.,(1) BC (2，1,2)，且 c BC ，設(shè) c BC (2，2). | c | (2) 2 + () 2 + (2) 2 3|3.解得1. c (2，1,2)或 c (2,1，2).,解：,題型二：利用坐標(biāo)運算解決平行、垂直問題,典例導(dǎo)航,(2) a AB (1,1,0)， b AC (1,0,2)， k a b (k1，k,2)， k a 2 b (k2，k，4). (k a b )(k a 2 b )， (k a b )(k a 2 b )0. 即(k1，k,2)(k2，k，4)

7、2k2k100. 解得k2或 5 2 .,變式訓(xùn)練,2.已知 a (1,5，1)， b (2,3,5) (1)若(k a b )( a 3 b )，求k的值； (2)若(k a b )( a 3 b )，求k的值,解：(1)k a b (k2,5k3，k5)， a 3 b (7，4，16) (1)(k a b )( a 3 b )， 2 7 = 5+3 4 = +5 16 ，解得k 1 3 .,(2) (k a b )( a 3 b ) ， (k2)7(5k3)(4) (k5)(16)0， 解得k 106 3 .,典例導(dǎo)航,題型三：利用坐標(biāo)運算解決距離、夾角問題,例3 棱長為2的正方體ABCD

8、A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中點 求 EF 與 CG 所成角的余弦值并求CE的長,D1,D,A,B,C,A1,B1,C1,z,y,x,F,E,G,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz， 則D(0,0,0)，E(0,0,1)，C(0,2,0)，F(xiàn)(1,1,0)，G(2,2,1). EF (1,1,-1)， CG (2,0,1)， EF CG =1，| EF |= 3 ， | |= 5 ，,解：,典例導(dǎo)航,cos 15 15 . 又 CE (0,-2,1)， | CE |= 5 ，即CE= 5 .,變式訓(xùn)練,3.如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CAC

9、B1，BCA90，棱AA12，M、N分別是A1B1、A1A的中點 (1)求BN的長；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值,解：以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系 (1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)| | 3 ， BN的長為 3 . (2)依題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，,變式訓(xùn)練, BA1 (1，1,2)， CB1 (0,1,2)， BA1 CB1 3. 又| BA1 | 6 ，| CB1 | 5 ， cos 30 10 . 異面直線BA1與CB1所成角的余弦值為 30 10 .,歸納小結(jié),1如何確定向量的坐標(biāo)？ (1)向量的坐標(biāo)可由其兩個端點的坐標(biāo)確定，可先求其兩端點的坐標(biāo)； (2)通過向量間的坐標(biāo)運算求得新向量的坐標(biāo)； (3