1、1、傳播原理，第3章隨機(jī)過程，2、第3章隨機(jī)過程，3.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過程？隨機(jī)過程是一種隨時(shí)隨機(jī)變化的過程，不能用精確的時(shí)間函數(shù)來描述?？梢詮膬蓚€(gè)不同的角度來看：角度1:對(duì)應(yīng)于不同隨機(jī)測(cè)試結(jié)果的一組時(shí)間過程。第三章隨機(jī)過程例 N個(gè)示波器同時(shí)觀察并記錄這N個(gè)接收機(jī)的輸出噪聲波形采樣函數(shù)i (t):隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)過程：(t)=1 (t)，2 (t)，n (t)是所有樣本函數(shù)的集合。4，第3章隨機(jī)過程，角度2:隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任何給定的時(shí)間t1，每個(gè)樣本函數(shù)i (t)都是一個(gè)確定的值i (t1)，但是每個(gè)i (t1)都是不可預(yù)測(cè)的。在固定

2、時(shí)間t1，不同樣本的值I (t1)、I=1、2和n是隨機(jī)變量，表示為(t1)。換句話說，隨機(jī)過程在任何時(shí)候的值都是隨機(jī)變量。因此，我們可以把隨機(jī)過程看作是時(shí)間過程中不同時(shí)間的隨機(jī)變量的集合。這個(gè)角度更適合隨機(jī)過程理論的精確數(shù)學(xué)描述。5，第3章隨機(jī)過程，3.1.1隨機(jī)過程的分布函數(shù)讓(t)代表一個(gè)隨機(jī)過程，那么它的值(t1)在任何時(shí)候都是一個(gè)隨機(jī)變量，它的統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)(t):隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)(t):如果偏導(dǎo)數(shù)存在于上述公式中。6，第3章隨機(jī)過程，隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)(t):隨機(jī)過程的二維概率密度函數(shù)(t):如果偏導(dǎo)數(shù)存在于上述公式

3、中。隨機(jī)過程的N維分布函數(shù)(t):隨機(jī)過程的N維概率密度函數(shù)(t):7，第3章隨機(jī)過程，3.1.2隨機(jī)過程的數(shù)字特征均值(數(shù)學(xué)期望):t1在任意給定時(shí)間的值(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值公式為f (x1，t1) (t1)因此，t1可以直接寫成t，x1可以變成x，這樣上述公式就變成了，8，第3章隨機(jī)過程， (t)的平均值是時(shí)間的確定函數(shù)，通常記錄為a (t)，它代表隨機(jī)過程：a (t)，9，9，第3章隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心，方差通常記錄為2(t)。 因此，方差等于均方值和均方值之間的差，這表示隨機(jī)過程在時(shí)間t與均方值的偏離程度。第三章隨機(jī)過程，在相關(guān)函數(shù)中，(t1)和(t2)分別是

4、在t1和t2觀察到的隨機(jī)變量。可以看出，R(t1，t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。協(xié)方差函數(shù)公式中t1和t2處的a (t1) a (t2)得到的(t)的平均值f2 (x1，x2)；t1，T2(t)的二維概率密度函數(shù)。隨機(jī)過程、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系如果a(t1)=a(t2)，那么B(t1，t2)=R(t1，t2)，在互相關(guān)函數(shù)中，(t)和(t)分別代表兩個(gè)隨機(jī)過程。因此，R(t1，t2)也稱為自相關(guān)函數(shù)。第3章隨機(jī)過程，3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程3.2.1平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義：如果隨機(jī)過程(t)的任何有限維分布函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對(duì)于任何正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，那么隨機(jī)過程是嚴(yán)格意

5、義上的平穩(wěn)隨機(jī)過程，或者簡(jiǎn)稱為嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。13，第3章隨機(jī)過程，性質(zhì)：這個(gè)定義表明平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間T無關(guān)，而它的二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔=t2 t1有關(guān)：數(shù)字特性：可見，(1)它的平均值是常數(shù)A，與T無關(guān)；(2)自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。第三章隨機(jī)過程，數(shù)值特征：可以看出(1)它的平均值與t無關(guān)，是常數(shù)a；(2)自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。滿足(1)和(2)的過程被定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)格平穩(wěn)的隨機(jī)過程必須是廣義的通信系統(tǒng)中遇到的大多數(shù)信號(hào)和噪聲都可以看作是平穩(wěn)隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。15，第3章，隨機(jī)過

6、程，3.2.2。提出各狀態(tài)的遍歷性問題：我們知道隨機(jī)過程的數(shù)字特征(均值和相關(guān)函數(shù))是隨機(jī)過程所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值，但在實(shí)踐中通常很難測(cè)量大量的樣本，所以我們自然會(huì)問這樣一個(gè)問題：從實(shí)驗(yàn)中得到的樣本函數(shù)x(t)能確定平穩(wěn)過程的數(shù)目嗎？答案是肯定的。平穩(wěn)過程在一定條件下有一個(gè)有趣且非常有用的特性，這就是所謂的“遍歷性”。每個(gè)狀態(tài)具有遍歷性的過程的數(shù)字特征(所有統(tǒng)計(jì)平均值)可以被任何隨機(jī)過程實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值完全代替。接下來，我們將討論每個(gè)狀態(tài)的遍歷性條件。16，第3章，隨機(jī)過程，遍歷性條件：如果x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任何實(shí)現(xiàn)(樣本),那么它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)被定義為：如果平穩(wěn)過程具有

7、以下方程，則表示平穩(wěn)過程具有遍歷性。在第三章“隨機(jī)過程”中，“經(jīng)歷的每一種狀態(tài)”的含義是，隨機(jī)過程中的每一種實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均值(均值或自相關(guān)函數(shù)等)時(shí)。)，不必進(jìn)行無限次的調(diào)查，而只需進(jìn)行一次調(diào)查，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值，從而大大簡(jiǎn)化了測(cè)量和計(jì)算問題。具有遍歷狀態(tài)的隨機(jī)過程必然是平穩(wěn)過程，反之亦然。通信系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲通常滿足遍歷條件。18，第3章隨機(jī)過程，例3-1設(shè)置一個(gè)隨機(jī)相位為1的正弦波，其中a和c是常數(shù)；是均勻分布在(0，2)內(nèi)的隨機(jī)變量。試著討論(t)是否具有遍歷性。解 (1)首先計(jì)算(t)的統(tǒng)計(jì)平均值

8、：數(shù)學(xué)期望，第19章，隨機(jī)過程，并且自相關(guān)函數(shù)使得t2 t1=，這表明(t)的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，而只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。20，第3章隨機(jī)過程，(2)求(t)的時(shí)間平均值將統(tǒng)計(jì)平均值與時(shí)間平均值進(jìn)行比較，因此隨機(jī)相位余弦波是遍歷的。第3章隨機(jī)過程，3.2.3平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)的定義：前一平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(t)的平均冪的偶函數(shù)r()的上界，即自相關(guān)函數(shù)r()在=0時(shí)具有最大值。(t)的DC功率代表靜止過程(t)的交流功率。當(dāng)平均值為0時(shí)，R(0)=2。22，第3章隨機(jī)過程，3.2.4平穩(wěn)過程的功率譜密度定義：對(duì)于任意功率信號(hào)

9、f (t)，其功率譜密度定義為對(duì)應(yīng)于f (t)的截?cái)嗪瘮?shù)fT (t)的譜函數(shù)，23，第3章隨機(jī)過程，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程(t)，樣本的功率譜密度不能用作過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)視為所有樣本功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均值，因此(t)的功率譜密度可定義為：24，第3章隨機(jī)過程，功率譜密度的計(jì)算非周期功率型已知信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)及其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。這種關(guān)系也適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程，即上述關(guān)系稱為維納-欣欽關(guān)系。它是平穩(wěn)隨機(jī)過程理論和應(yīng)用中非常重要的工具，是頻域和時(shí)域分析方法之間的基本聯(lián)系。25，第3章隨機(jī)過程，基于維納-欣欽關(guān)系，我們可以得到以下結(jié)論：平穩(wěn)過程的總功率可以通過對(duì)功率譜密度積分得

10、到；上述公式從頻域角度給出了過程平均功率的計(jì)算方法。每個(gè)遍歷過程的任何樣本函數(shù)的功率譜密度等于該過程的功率譜密度。也就是說，每個(gè)樣本函數(shù)的譜特征能夠很好地代表整個(gè)過程的譜特征。證明因?yàn)槊總€(gè)狀態(tài)的遍歷過程的自相關(guān)函數(shù)等于任何樣本的自相關(guān)函數(shù)，也就是說，傅立葉變換是在兩邊取的：在公式、26、第3章隨機(jī)過程中，功率譜密度P (f)是非負(fù)的實(shí)偶數(shù)，也就是說，它對(duì)應(yīng)于r(f)的實(shí)偶數(shù)。27，第3章，隨機(jī)過程，示例3-2，計(jì)算隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解決方法在例3-1中，我們考慮了隨機(jī)相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且找到了它的相關(guān)函數(shù)，因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和功率

11、譜密度是一對(duì)傅里葉變換，也就是說，因?yàn)榇嬖诤痛嬖冢β首V密度是、28的平均功率，第3章隨機(jī)過程，3.3高斯隨機(jī)過程(正態(tài)隨機(jī)過程)，3.3.1定義如果隨機(jī)過程， n維正態(tài)概率密度函數(shù)的表達(dá)式為：29，第3章隨機(jī)過程，其中|B|歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子bjk，是一個(gè)歸一化協(xié)方差函數(shù)，即，30，第3章隨機(jī)過程，3.3.2重要性質(zhì)由高斯過程定義，因此，對(duì)于高斯過程，我們只需要研究它的數(shù)字特征。 廣義平穩(wěn)高斯過程也是嚴(yán)格穩(wěn)定的。因?yàn)?，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即它的均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，那么它的N維分布也與時(shí)間起

12、點(diǎn)無關(guān)，所以它也是嚴(yán)格平穩(wěn)的。因此，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，那么它也是嚴(yán)格穩(wěn)定的。31，第3章隨機(jī)過程，如果高斯過程的值在不同的時(shí)間是不相關(guān)的，也就是說，對(duì)于所有的j k，bjk=0，那么它的概率密度可以簡(jiǎn)化，這表明如果高斯過程的值在不同的時(shí)間是不相關(guān)的，它們?cè)诮y(tǒng)計(jì)上也是獨(dú)立的。線性變換產(chǎn)生的高斯過程仍然是高斯過程。換句話說，如果線性系統(tǒng)的輸入是高斯過程，那么系統(tǒng)的輸出也是高斯過程。第3章隨機(jī)過程3.3.3高斯隨機(jī)變量的定義：高斯過程在任何時(shí)候的值都是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也叫高斯隨機(jī)變量，它的一維概率密度函數(shù)是公式中的a2均值方差曲線，如圖所示：33，第3章隨機(jī)過程，性質(zhì)f (x)對(duì)稱于直線

13、x=a，即A代表分布中心，當(dāng)a=0且=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布：34，第3章隨機(jī)過程。正態(tài)分布函數(shù)的整數(shù)值不能以封閉形式計(jì)算，但通常是用其它特殊函數(shù)和查表法來計(jì)算的：用誤差函數(shù)來表示正態(tài)分布函數(shù)：公式中有誤差函數(shù)，其值可以通過查表來計(jì)算。在第三章中，正態(tài)分布函數(shù)用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示：當(dāng)x為2時(shí)，在第三章中，正態(tài)分布函數(shù)用q函數(shù)表示：q函數(shù)定義：q函數(shù)與erfc函數(shù)的關(guān)系：q函數(shù)與分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：q函數(shù)值也可以從查表中得到第三章隨機(jī)過程， 3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程眾所周知，信號(hào)通過線性系統(tǒng)：其中vi輸入信號(hào)和vo輸出信號(hào)對(duì)應(yīng)于傅立葉變換關(guān)系：隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)：i(t)是平穩(wěn)輸入

14、隨機(jī)過程，A均值，Ri()自相關(guān)函數(shù)，Pi()功率譜密度； 計(jì)算了輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即平均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜和概率分布。在第三章中，輸出過程o(t)的平均值在以下公式的兩邊進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均：如果輸入過程是穩(wěn)定的，那么在公式中，H(0)是線性系統(tǒng)在f=0時(shí)的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的平均值是一個(gè)常數(shù)。第三章隨機(jī)過程，輸出過程的自相關(guān)函數(shù)o(t):根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義和輸入過程的平穩(wěn)性，上述公式表明輸出過程的自相關(guān)函數(shù)只是時(shí)間間隔的函數(shù)。根據(jù)以上兩個(gè)方程，如果線性系統(tǒng)的輸入是穩(wěn)定的，那么輸出也是穩(wěn)定的。第三章隨機(jī)過程，輸出過程的功率譜密度對(duì)下列公式進(jìn)行傅里葉變換：設(shè)=-，代入上述公式，得出

15、輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模的平方。應(yīng)用：在第三章中，用Po(f)的傅里葉逆變換計(jì)算隨機(jī)過程和輸出過程的概率分布。如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯的，那么系統(tǒng)的輸出過程也是高斯的。根據(jù)積分原理，它可以表示為：由于假設(shè)i(t)是高斯的，所以上述公式右端的每個(gè)項(xiàng)在任何時(shí)候都是高斯隨機(jī)變量。因此，在輸出過程中的任何時(shí)間獲得的隨機(jī)變量是無限高斯隨機(jī)變量的和。根據(jù)概率論，這個(gè)和也是高斯隨機(jī)變量，所以輸出過程也是高斯過程。注意，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變。42，第3章隨機(jī)過程，3.5窄帶隨機(jī)過程什么是窄帶隨機(jī)過程？如果隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc

16、附近的相對(duì)較窄的頻帶f中，即滿足f fc的條件，并且fc遠(yuǎn)離零頻率，那么它被稱為窄帶隨機(jī)過程。43，第3章隨機(jī)過程，典型窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù)，44，第3章隨機(jī)過程，在窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式中，a (t)隨機(jī)包絡(luò)，(t)隨機(jī)相位c中心角頻率明顯，a (t)和(t)的變化比載波cos ct的變化慢得多。45，第3章隨機(jī)過程，窄帶隨機(jī)過程表達(dá)式擴(kuò)展可以擴(kuò)展到公式中同相分量(t)的正交分量?？梢钥闯觯?t)的統(tǒng)計(jì)特性是由a (t)和(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性決定的。如果(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性將相應(yīng)地確定。46，第3章，隨機(jī)過程，3.5.1 c(t)和s(t)數(shù)學(xué)期望：得到下列公式的數(shù)學(xué)期望：因?yàn)?t)是穩(wěn)定的，