1、1,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述(6-8學(xué)時(shí)) （建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型）,2.1 線性微分方程的建立及求解(了解) 2.2 傳遞函數(shù)（掌握） 定義、性質(zhì)、典型元件的傳遞函數(shù) 2.3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 Mason公式（重點(diǎn)掌握） 2.4 自動(dòng)控制系統(tǒng)方塊圖構(gòu)成例題 （了解）,2,2.0 引言,要對(duì)自動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行定量（精確）地分析和設(shè)計(jì)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 物理量：高度、速度、溫度、壓力、流量、電壓、電流 。 數(shù)學(xué)表達(dá)式：代數(shù)方程、微分方程、差分方程,馬克思說:定性到定量的飛躍，才能變成一門科學(xué)。,3,建模方法 ： 實(shí)驗(yàn)法、分

2、析法,實(shí)驗(yàn)法（黑箱法、辨識(shí)法）：人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識(shí)出數(shù)學(xué)模型。 方法： 頻率特性法 最小二乘法 (曲線擬合) 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法 模糊模型法 模型驗(yàn)證：將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近。,黑匣子,輸入（激勵(lì)）,輸出（測(cè)量結(jié)果）,2.1 線性微分方程的建立及求解,4,分析法根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律（定律、經(jīng)驗(yàn)公式）和結(jié)構(gòu)參數(shù)，推導(dǎo)系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系。 建模（微分方程）步驟,第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，消去中間變量，得到描 述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。,第一步：將系統(tǒng)分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，列寫各環(huán)節(jié)的輸出輸入的數(shù)學(xué)

3、表達(dá)式。,利用適當(dāng)?shù)奈锢矶扇缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。,5,例2.1 如圖2.1所示，寫出RC電路的微分方程。,第一步：各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式,第二步：消去中間變量,解：明確輸入量 ， 輸出量,建立微分方程的作用？,6,例2.2 圖2.2是具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的轉(zhuǎn)子， 與彈性系數(shù)為K的彈性軸和阻尼 系數(shù)為 的阻尼器連接。假設(shè) 施加的外扭矩為 ， 則系統(tǒng)產(chǎn)生偏離平衡位置的角位移 。試寫出角位移 與扭矩 的微分方程。,7,（2.2.1）,式中，M1慣性體所產(chǎn)生的阻力矩，為,M2阻尼器所產(chǎn)生的阻尼力矩，為,M3彈性軸所產(chǎn)生的彈性阻力矩，為,將M1、 M2、 M3代入式（2.2.1），

4、得到描述系統(tǒng)輸出輸入關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程式為,（2.2.2）,牛頓定律,8,線性微分方程的求解？,（3）對(duì)輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微 分方程的解。,線性微分方程的求解方法：,解析法、拉普拉斯變換法、計(jì)算機(jī)輔助求解,拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：,（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換， 變成變量s的代數(shù)方程。,（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出輸入量的拉式變換式。,9,數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換與反變換, 拉氏變換定義 設(shè)函數(shù)f(t)滿足 t0時(shí)，f(t)分段連續(xù) 則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作 控制工程上函數(shù)都滿足拉氏變換要求：能量有限 拉氏變換基本定理 線

5、性定理 位移定理 延遲定理,10,初值定理,微分定理,積分定理,終值定理,11,（2）拉氏變換表,記?。?12,Step1 F(s)化成下列因式分解形式：, 拉氏反變換（可查找拉氏變換表求解),F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開為,F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開為,利用實(shí)部（虛部）系數(shù)相等列方程求解系數(shù),Step2,作為工具應(yīng)用，不用記憶,13,F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為,其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。,對(duì)于三階以下的系統(tǒng)也可以用待定系數(shù)法 （解方程）,作為工具應(yīng)用，不用記憶,14,例2.3 設(shè)線性微分方程為,式中， 為單位階躍函數(shù)，初始條件為 ，試求該微分方程的解。,解：,（1）

6、對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換得,（2.1.3）,（2）將初始條件代入式（2.1.3），得,微分方程求解例題,15,（3）對(duì)式（2.1.3）進(jìn)行分解：,式中,對(duì)Y（S）進(jìn)行拉式反變換,16,例2.4 設(shè)線性微分方程為,式中， 為單位階躍函數(shù)，初始條件為零，試求 。,解：,對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換得,式中,17,2.2 傳遞函數(shù),2.2.1 傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì),傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申 出來的概念。,微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定 外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。 但系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的分析變得較麻煩。,定

7、義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系 統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,不解微分方程，直接在復(fù)域中進(jìn)行系統(tǒng)分析？,問題,18,這里，“初始條件為零”有兩方面意思：,一指輸入作用是t0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t= 時(shí)的值為零。,二指輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)時(shí)靜止的，即t= ，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。,許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的 。,19,設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為：,傳遞函數(shù),微分方程如何轉(zhuǎn)化為

8、傳遞函數(shù)？,20,性質(zhì)1 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，mn， 且具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。（物理可實(shí)現(xiàn)）,性質(zhì)2 G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量 的形式（幅度與大小）無關(guān)。,性質(zhì)3 G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不 提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因?yàn)樵S多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。,性質(zhì)4 如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號(hào) 作用下的輸出響應(yīng)。,性質(zhì)5 如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入， 研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)就可 獲得該系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述。,傳遞函數(shù)的性質(zhì),21,性質(zhì)6 傳遞函數(shù)與微分方程之

9、間的關(guān)系。,如果將 置換,性質(zhì)7 傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn) 和極點(diǎn),22,2.2.2 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。,典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：,1 比例環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無失真和時(shí)間延遲。 實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。,式中: K-增益,23,2 慣性環(huán)節(jié),式中:T-時(shí)間常數(shù),特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出不 能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。 實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī) 的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。,3 積分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入 消失，輸出具有記憶功能。 實(shí)例：一階水槽，電動(dòng)機(jī)角速度與

10、角度間的傳遞 函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。,24,特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸 入信號(hào)的變化趨勢(shì)。 實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞 函數(shù)即為理想微分環(huán)節(jié)或一階微分環(huán)節(jié)。 二階微分環(huán)節(jié)是構(gòu)成物理系統(tǒng)的伴隨產(chǎn)物， 一般不單獨(dú)存在。,4 微分環(huán)節(jié),理想微分,二階微分,一階微分,25,特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn) 行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。 實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。 可控硅直流閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)也是一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)。,5 振蕩環(huán)節(jié),式中 阻尼比,自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）,26,6 延時(shí)（滯后）環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延

11、遲一固 定的時(shí)間間隔。 實(shí)例：管道壓力、流量、皮帶運(yùn)輸?shù)任锢砹康?控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。,式中,延遲時(shí)間常數(shù),實(shí)際控制系統(tǒng)都含有滯后環(huán)節(jié)，只是延遲時(shí)間常數(shù)大小問題（小忽略不計(jì)）。,27,K1是電位器的傳遞系數(shù)，,是兩個(gè)電位器電刷角位移之差，稱誤差角。,1.電位器,典型環(huán)節(jié)實(shí)例：,28,直,轉(zhuǎn)子角速度（rad/s）,輸出斜率（v/rad/s）,圖,2,.8,直流測(cè)速發(fā)電機(jī) 交流測(cè)速發(fā)電機(jī),2.測(cè)速發(fā)電機(jī)測(cè)量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置,傳遞函數(shù),29,G,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),圖,2,-,1,1,方,框,圖,中,的,方,框,信,號(hào),線,方,框,r,(,t,),

12、c,(,t,),信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。,（2）比較點(diǎn)（匯合點(diǎn)、綜合點(diǎn)） 兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入信號(hào)進(jìn)行加減比較的元件。 “+”表示相加，“-”表示相減。“+”號(hào)可省略不寫。,2.3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（方框）圖及其等效變換,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形 結(jié)構(gòu)圖原理圖元件數(shù)學(xué)模型。特點(diǎn)：直觀。,（1）方框（方塊）:表示輸入到輸出單向傳輸間 的函數(shù)關(guān)系。,2.3.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成,30,注意：進(jìn)行相加減的量，必須具有相同的量綱。,注意：同一位置引出的信號(hào) 大小和性質(zhì)完全一樣。,(3) 引出線（分支點(diǎn)、測(cè)量點(diǎn)

13、）表示信號(hào)測(cè)量或引出的位置,31,目的：從系統(tǒng)的方塊圖方便地寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對(duì)方塊圖進(jìn)行等效變換。,2.3.2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化,32,方塊圖的等效變換必須遵守一個(gè)原則，即變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。,33,在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由典型環(huán)節(jié)的方塊經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。,34,（串聯(lián)、并聯(lián)、反饋）是三種基本形式的等效法則 比較點(diǎn)的移動(dòng)、引出點(diǎn)的移動(dòng) 比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間不能互移,35,特點(diǎn)：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。,結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。,n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù),（1）串聯(lián)連接,36,結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)

14、的等效傳遞函數(shù)等于并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。,n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)，當(dāng)然還有“-”的情況。,特點(diǎn)：輸入信號(hào)是相同的， 輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和.,（,a,）,（2）并聯(lián)連接,37,（3）反饋連接（閉環(huán)系統(tǒng)）,推導(dǎo)(負(fù)反饋)：,右邊移過來整理得,即 ：,注：“”負(fù)反饋，“”正反饋；H(s)=1,單位反饋,38,（4）比較點(diǎn)的移動(dòng)（前移、后移）,原則，即變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。,39,（5）引出點(diǎn)（分支點(diǎn)）的移動(dòng)（前移、后移）,40,（7）引出點(diǎn)之間互移,（6）比較點(diǎn)之間互移,（8）比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間不能互移,X(s),Y(s),Z(s),C(s),X(s),Y(s),Z(s),

15、C(s),X(s),Y(s),Z(s),C(s),X(s),Y(s),Z(s),C(s),a,b,a,b,X(s),Z(S)=C(s),Y(s),C(s),X(s),Y(s),C(s),Z(S)=C(s),41,補(bǔ)充結(jié)論：控制系統(tǒng)方塊圖簡(jiǎn)化的原則 1.利用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋的結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)化 2.變成大環(huán)路套小環(huán)路 3.解除交叉點(diǎn) 比較點(diǎn)移向比較點(diǎn)：比較點(diǎn)之間可以互移 引出點(diǎn)移向引出點(diǎn)：引出點(diǎn)之間可以互移 注：比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間不能互移,42,用方塊圖的等效法則，求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s),解：這是一個(gè)具有交叉反饋的多回路系統(tǒng)，如果不對(duì)它作適當(dāng)?shù)淖儞Q，就難以應(yīng)用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的

16、等效變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。 本題的求解方法是把圖中的點(diǎn)A先前移至B點(diǎn)，化簡(jiǎn)后，再后移至C點(diǎn)，然后從內(nèi)環(huán)到外環(huán)逐步化簡(jiǎn)，其簡(jiǎn)化過程如下圖。,例2-10,43,44,反饋公式,45,將例2-9的系統(tǒng)方塊圖簡(jiǎn)化,例2-11,46,圖2-30 方塊圖的簡(jiǎn)化過程,47,用梅森公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（SJMason） 方塊圖是一種很有用的圖示法。對(duì)于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，方塊圖的簡(jiǎn)化過程仍較復(fù)雜，且易出錯(cuò)。Mason提出的信號(hào)流圖，既能表示系統(tǒng)的特點(diǎn)，而且還能直接應(yīng)用梅遜公式方便的寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，信號(hào)流圖在控制工程中也被廣泛地應(yīng)用。,信號(hào)流圖中的術(shù)語(yǔ),48,輸入節(jié)點(diǎn)：具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。圖中的,輸出節(jié)點(diǎn)（阱

17、，坑）：僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。有時(shí)信號(hào)流圖中沒有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號(hào)流圖中任一變量為輸出變量，然后從該節(jié)點(diǎn)變量引出一條增益為1的支路，即可形成一輸出節(jié)點(diǎn)，如圖中的,混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。 圖中的,前向通路：開始于輸入節(jié)點(diǎn)，沿支路箭頭方向，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，最終到達(dá)輸出節(jié)點(diǎn)的通路稱之前向通路。,49,前向通路上各支路增益之乘積，稱為前向通路總增益 用 表示。,回路（閉通路）:起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，并 與其它節(jié)點(diǎn)相遇僅一次的通路。,50,回路中所有支路的乘積稱為回路增益，用 表示,在信號(hào)流圖中，可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上不接觸回路。,不接觸回路：回路之間沒有公

18、共節(jié)點(diǎn)時(shí)， 這種回路叫做不接觸回路。,51,信號(hào)流圖的性質(zhì) 信號(hào)流圖適用于線性系統(tǒng)(傳遞函數(shù)一樣)。 支路表示一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系，信號(hào)只能沿支路上的箭頭指向傳遞。 在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加，并把相加后的信號(hào)送到所有的輸出支路。 具有輸入和輸出節(jié)點(diǎn)的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位增益的支路把它作為輸出節(jié)點(diǎn)來處理。 對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的，由于描述同一個(gè)系統(tǒng)的方程可以表示為不同的形式。,52,信號(hào)流圖的繪制 由微分方程繪制 方程，這與畫方塊圖差不多。 由系統(tǒng)方塊圖繪制。,系統(tǒng)方塊圖,解：用小圓圈表示各變量對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn),在比較點(diǎn)之后的引出點(diǎn)只需在比較點(diǎn)后設(shè)置一個(gè)

19、節(jié)點(diǎn)便可。也可以與它前面的比較點(diǎn)共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)。,在比較點(diǎn)之前的引出點(diǎn)B，需設(shè)置兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，注意圖中的,53,梅遜（S.J.Mason）公式應(yīng)用,1、特征：直接根據(jù)公式算出系統(tǒng)傳函，不需任何結(jié)構(gòu)變化,2、公式,從輸入端到輸出端第k條前向通路的總傳函,第k條前向通路的余因子，即與第k條前向通路不接觸 部分的值（不接觸部分的系數(shù)行列式）,特征式,所有單回路的開環(huán)傳遞函數(shù)之和,所有兩個(gè)互不接觸回路的開環(huán)傳遞函數(shù)乘積之和,所有三個(gè)互不接觸回路的開環(huán)傳遞函數(shù)乘積之和,54,解：,55,4個(gè)單獨(dú)回路,互不接觸,56,3、例題2,解：,57,總結(jié),從原理圖畫系統(tǒng)方塊圖的方法 方塊圖的簡(jiǎn)化

20、 基本連接方式串聯(lián)、并聯(lián)和反饋的簡(jiǎn)化 比較點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng) 信號(hào)流圖及Masons Gain Formula,58,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的幾個(gè)基本概念及術(shù)語(yǔ),+,+,H,(,s,),+,R,(,s,),E,(,s,),B,(,s,),N,(,s,),C,(,s,),圖,2,-,1,4,反,饋,控,制,系,統(tǒng),方,塊,圖,(1)前向通路傳遞函數(shù)-假設(shè)N(s)=0 C(s)與誤差E(s)之比（打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比）,(2)反饋回路傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0 主反饋信號(hào)B(s)與輸出信號(hào)C(s)之比。,反饋信號(hào),控制對(duì)象,控制器,C,(,s,),59,(3)開環(huán)傳遞函數(shù) Open-loop Transfer Functi