1、一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,9.2 二重積分的計(jì)算法,一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,如果區(qū)域D可以表示為不等式 j1(x)yj2(x), axb, 則稱區(qū)域D為X型區(qū)域.,X型區(qū)域與Y型區(qū)域,如果區(qū)域D可以表示為不等式 y1(y)xy2(y), cyd, 則稱區(qū)域D為Y型區(qū)域.,有的區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y型區(qū)域, 而有的區(qū)域既不是X型區(qū)域又不是Y型區(qū)域, 但它總可以表示為若干個(gè)X 型區(qū)域和Y型區(qū)域的并.,提示 zf(x, y)為頂, 以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.,提示 截面是以區(qū)間j1(x0), j2(x0)為底、以曲線zf(x0, y)為曲邊的曲邊梯形.,提示

2、 根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的求法.,設(shè)f(x, y)0, D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb.,二重積分的計(jì)算,對(duì)于x0a, b, 曲頂柱體在xx0的截面面積為,曲頂柱體體積為,注 計(jì)算一般二重積分只需取消f(x, y)0的限制.,設(shè)f(x, y)0, D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb.,二重積分的計(jì)算,對(duì)于x0a, b, 曲頂柱體在xx0的截面面積為,曲頂柱體體積為,即,如果D是X型區(qū)域: D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb, 則,上式也可以記為,如果D是Y型區(qū)域: D=(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd, 則,二重積分的

3、計(jì)算,先對(duì)x后對(duì)y 的二次積分,先對(duì)y后對(duì)x 的二次積分,如果D是X型區(qū)域: j1(x)yj2(x), axb, 則,計(jì)算二重積分的步驟,如果D是Y型區(qū)域: y1(y)xy2(y), cyd, 則,(1)畫(huà)出積分區(qū)域D的草圖.,(2)用不等式組表示積分區(qū)域D.,(3)把二重積分表示為二次積分:,(4)計(jì)算二次積分.,解,畫(huà)出區(qū)域D.,方法一, 把D看成是X型區(qū)域:,于是,D: 1x2, 1yx.,注,積分還可以寫(xiě)成,圍成的閉區(qū)域,D: 1y2, yx2.,解,畫(huà)出區(qū)域D.,方法二, 把D看成是Y型區(qū)域:,于是,圍成的閉區(qū)域,分析,積分區(qū)域可表示為X型區(qū)域,D: 1y1, 1xy.,D: 1x1

4、, xy1.,積分區(qū)域也可表示為Y型區(qū)域,提問(wèn) 哪個(gè)二次積分容易計(jì)算？,及yx所圍成的閉區(qū)域,或,解,積分區(qū)域可表示為X型區(qū)域,D: 1x1, xy1.,及yx所圍成的閉區(qū)域,分析,積分區(qū)域可表示為DD1+D2,其中,積分區(qū)域也可表示為,D: 1y2, y2xy2.,所圍成的閉區(qū)域,分析,積分區(qū)域可表示為DD1+D2,其中,積分區(qū)域也可表示為,D: 1y2, y2xy2.,提問(wèn) 哪個(gè)二次積分容易計(jì)算？,所圍成的閉區(qū)域,解,積分區(qū)域可表示為,D: 1y2, y2xy2.,.,所圍成的閉區(qū)域,提示:,由對(duì)稱性, 所求體積是第一卦限部分體積的8倍.,例4 求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立

5、體的體積.,解,設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為,x2y2R2及x2z2R2.,所求立體的體積為,例4 求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積.,解,設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為,x2y2R2及x2z2R2.,所求立體的體積為,二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分,有些二重積分, 其積分區(qū)域D或其被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量 r、q 表達(dá)比較簡(jiǎn)單. 這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分.,提示,我們用從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線與以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域.,小區(qū)域si的面積為:,.,則有,.,于是,我們用從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線與以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n

6、個(gè)小閉區(qū)域.,小區(qū)域si的面積為:,其中,表示相鄰兩圓弧的,半徑的平均值,.,在,D,s,i,內(nèi)取點(diǎn),設(shè)其,直角坐標(biāo)為,(,x,i,h,i,),在極坐標(biāo)系下的二重積分,在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算,如果積分區(qū)域可表示為 D: j1(q)j2(q), aqb, 則,提示,解,在極坐標(biāo)系中 閉區(qū)域D可表示為 0a 02 ,為a的圓周所圍成的閉區(qū)域,解,在極坐標(biāo)系中 閉區(qū)域D可表示為 0a 02 ,為a的圓周所圍成的閉區(qū)域,例6 求球體x2y2z24a2被圓柱面x2y22ax所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積,解,由對(duì)稱性 立體體積為第一卦限部分的四倍,在極坐標(biāo)系中D可表示為,例6 求球體x2y2z2