1、第2章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,21 控制系統(tǒng)的微分方程的編寫(xiě) 22 傳遞函數(shù) 23 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 24 自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 25 脈沖響應(yīng)函數(shù),研究一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，除定性了解組成系統(tǒng)各元件或環(huán)節(jié)的功能，以及它們之間的相互關(guān)系、工作原理以外，還必須定量分析系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)（穩(wěn)態(tài)）過(guò)程，才能從本質(zhì)上把握住系統(tǒng)的基本性能。描述系統(tǒng)性能的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱(chēng)為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）。描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)及穩(wěn)（靜）態(tài)性能的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別稱(chēng)為動(dòng)態(tài)及穩(wěn)（靜）態(tài)模型。 經(jīng)典控制理論中常用的數(shù)學(xué)模型有時(shí)域（Time Domain）模型微分方程，復(fù)頻域（Complex Fre

2、quency Domain）模型傳遞函數(shù)、動(dòng)靜態(tài)框圖，頻域（Frequency Domain）模型頻率特性、Bode圖等。這些數(shù)學(xué)模型一般都是可以相互轉(zhuǎn)換的。它們是經(jīng)典控制理論中常用的時(shí)域分析方法、頻域分析方法等研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具。,通過(guò)時(shí)域分析方法，可以得到控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)曲線，它直觀地反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，同時(shí)，它建立起來(lái)的系統(tǒng)慨念、指標(biāo)體系等易于人們理解和使用。 但是，一個(gè)控制系統(tǒng)的微分方程往往是高階的微分方程式，求解這類(lèi)方程式較困難。同時(shí)，通過(guò)時(shí)域解很難找出微分方程式系數(shù)（它們?nèi)Q組成系統(tǒng)的元件的參數(shù)）對(duì)方程解的影響的一般規(guī)律。因而，使得控制系統(tǒng)的分析和校正較為困難。所以，人們往往通

3、過(guò)建立頻域和時(shí)域之間的聯(lián)系來(lái)達(dá)到，通過(guò)頻域法間接地達(dá)到分析和校正控制系統(tǒng)的目的。,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用解析法或?qū)嶒?yàn)法建立。 解析法適用于對(duì)系統(tǒng)中各元件的物理、化學(xué)等性質(zhì)比較清楚的情況。根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)，從系統(tǒng)各元件所依據(jù)的物理、化學(xué)等規(guī)律出發(fā)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 如果不了解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則應(yīng)使用實(shí)驗(yàn)法建立數(shù)學(xué)模型，即：在系統(tǒng)或元件的輸入端加入一定形式的輸入信號(hào)，再根據(jù)測(cè)量的輸出響應(yīng)建立其數(shù)學(xué)模型。 用解析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)合理地簡(jiǎn)化其數(shù)學(xué)模型。模型過(guò)于簡(jiǎn)單，會(huì)使分析結(jié)果誤差太大；模型過(guò)于復(fù)雜，則會(huì)導(dǎo)致分析計(jì)算上的困難。一般應(yīng)在精度許可的前提下，盡量簡(jiǎn)化其數(shù)學(xué)模型。 本章只討論解

4、析法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,21 控制系統(tǒng)的微分方程的編寫(xiě),一、微分方程的建立 控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時(shí)間t的函數(shù)。很多常見(jiàn)的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個(gè)微分方程表示，方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)或積分。這種微分方程又稱(chēng)為動(dòng)態(tài)方程、運(yùn)動(dòng)方程或動(dòng)力學(xué)方程。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù)，又稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。 建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟或方法： 1分析元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時(shí)還要考慮擾動(dòng)量），并根據(jù)需要引入中間變量。 2根據(jù)各元件在工作過(guò)程中所遵循的物理或化學(xué)定律，忽略次要因素，并考慮相鄰元件的彼此

5、影響，列寫(xiě)微分方程。 常用定律：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律、力學(xué)的牛頓定律和熱力學(xué)定律等 3消去中間變量，得到描述輸出量與輸入量（包括擾動(dòng)量）關(guān)系的微分方程，即元件的數(shù)學(xué)模型。 注：通常將微分方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫(xiě)在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫(xiě)在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降階順序排列。,舉例,電氣系統(tǒng) 電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路，又稱(chēng)電氣網(wǎng)絡(luò)。象電阻、電感、電容這類(lèi)本身不含有電源的器件稱(chēng)為無(wú)源器件，象運(yùn)算放大器這種本身包含電源的器件稱(chēng)為有源器件。僅由無(wú)源器件組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。如果電氣網(wǎng)絡(luò)中包含有源器件或電源，就稱(chēng)為

6、有源網(wǎng)絡(luò)。,例2-1,圖中所示的電路中，電壓u i ( t )為輸入量，u o ( t )為輸出量，列寫(xiě)該裝置的微分方程式。 解 設(shè)回路電流為 i ( t ) 如圖2-1所示由基爾霍夫電壓定律可得到 式中i ( t )是中間變量。i ( t )和u o( t )的關(guān)系為 消去中間變量i (t )，可得,例2-2,圖中 所示為由兩個(gè)RC電路串聯(lián)而成的濾波網(wǎng)絡(luò)。試建立輸入電壓ui和輸出電壓uo 之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程。,例2-2,解 設(shè)回路電流i1和i2為中間變量。根據(jù)基爾霍夫電壓定律對(duì)前一回路，有 對(duì)后一回路，有 且 由上三式消去中間變量i1和i2，整理即得ui和uo之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方 程,由

7、上例明顯看出，系統(tǒng)中后一部分對(duì)前一部分的負(fù)載效應(yīng)(或前一部分對(duì)后一部分的電源效應(yīng))。這反映在流過(guò)前一回路電容C1的電流上，沒(méi)有后一回路時(shí)為i1，而當(dāng)串聯(lián)上后一回路則為i1 i2。從能量的角度看，負(fù)載效應(yīng)就是后一回路帶走了前一回路的一部分能量。從信息傳遞的角度看，負(fù)載效應(yīng)就是系統(tǒng)的兩個(gè)部分之間所存在的信息的內(nèi)部直接反饋?zhàn)饔谩?如果在上述兩個(gè)RC電路之間引入一個(gè)輸入阻抗很高的隔離放大器，則可忽略它們之間的負(fù)載效應(yīng)。這種方法在組合電路中經(jīng)常采用，這也正是電氣系統(tǒng)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。,機(jī)械系統(tǒng),機(jī)械系統(tǒng)指的是存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，它們遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱(chēng)為線位移）和轉(zhuǎn)動(dòng)（相應(yīng)

8、的位移稱(chēng)為角位移）兩種。,例2-3,一個(gè)由彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機(jī)械平移系統(tǒng)如圖2-3所示。m為物體質(zhì)量，k為彈簧系數(shù)，f 為粘性阻尼系數(shù)，外力F(t)為輸入量，位移x(t)為輸出量。列寫(xiě)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。,解 在物體受外力F的作用下，質(zhì)量m相對(duì)于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度分別為 、 、 。設(shè)外作用力F為輸入量，位移 為輸出量。根據(jù)彈簧、質(zhì)量、阻尼器上力與位移、速度的關(guān)系和牛頓第二定律，可列出作用在上的力和加速度之間的關(guān)系為 即 和 分別為彈簧的彈性系數(shù)和阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。負(fù)號(hào)表示彈簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。,比較例2-1和例2-3可見(jiàn)，雖然它們?yōu)閮煞N

9、不同的物理系統(tǒng)，但它們的數(shù)學(xué)模型的形式卻是相同的，我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱(chēng)為相似系統(tǒng)，例如例2-1的RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和例2-3的彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即為一對(duì)相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱(chēng)為相似量。 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似性，可以進(jìn)行仿真研究。,機(jī)電系統(tǒng),例2-4,圖示為一他激直流電動(dòng)機(jī)在電樞控制。圖中，為電動(dòng)機(jī)角速度（rad/s），Mc為折算到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載力矩（Nm），ua為電樞電壓（V）。設(shè)激磁電流恒定，并忽略電樞反應(yīng)。,解 在電樞控制情況下，激磁不變。取ua為給定輸入量， 為輸出量，Mc為擾動(dòng)量。為便于建立方程，引入中間變量ea、ia和

10、M。ea為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)電樞兩端的反電勢(shì)（V），ia為電樞電流（A），M為電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)的電磁力矩（Nm）。 列寫(xiě)數(shù)學(xué)關(guān)系式如下 （1）電動(dòng)機(jī)電樞回路的電勢(shì)平衡方程為 （2）電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)方程為 （3）電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程為 （4）電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程為 消去中間變量ea、 ia和M，得 電感La較小，故電磁時(shí)間常數(shù)Ta可以忽略 ，則,如果取電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角 （rad）作為輸出，電樞電壓ua（V），考慮到 ，可將上式改寫(xiě)成 可知：對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)，若從不同的角度研究問(wèn)題，則所得出的數(shù)學(xué)模型式不一樣的。,二、微分方程的增量化表示 若上例電動(dòng)機(jī)處于平衡狀態(tài)，則各變量的各階導(dǎo)數(shù)為零，代數(shù)方程： 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型

11、 Mc=const， ua ， （ ua ）控制特性 ua=const， Mc ， （ Mc ）機(jī)械特性 若電動(dòng)機(jī)在某個(gè)平衡狀態(tài)下工作，具體值為ua0，Mc 0，0 各變量均有變動(dòng)，表示增量，在平衡狀態(tài)附近： 則 在平衡狀態(tài)附近的增量化表示式 通常把變量理解為相應(yīng)的增量（增量化表示與絕對(duì)值表示具有相同形式）,二、非線性微分方程的線性化（小偏差法） 1.原則：對(duì)于不太嚴(yán)重的非線性系統(tǒng)，可以在一定的工作范圍內(nèi)線性化處理。工程上常用的方法是將非線性函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，去掉高次項(xiàng)以得到線性函數(shù)。,2.舉例 一個(gè)自變量：直流發(fā)電機(jī) 直流發(fā)電機(jī)的輸出電勢(shì)與磁通成正比，在一定范圍內(nèi)與勵(lì)磁電流成正

12、比，但if增加到某個(gè)范圍后，磁路飽和，發(fā)電機(jī)的電勢(shì)與勵(lì)磁電流呈現(xiàn)一種連續(xù)變化的非線性函數(shù)關(guān)系。 設(shè)：x勵(lì)磁電流， y發(fā)電機(jī)的輸出電勢(shì)。 y=f(x),設(shè)原運(yùn)行于某平衡點(diǎn)（靜態(tài)工作點(diǎn)） A點(diǎn)：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B點(diǎn)：當(dāng)x變化 x， y=y0+ y 函數(shù)在（x0 , y0 ）點(diǎn)連續(xù)可微，在A點(diǎn)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即 略去高次項(xiàng)，,兩個(gè)自變量： y=f(x1， x2) 靜態(tài)工作點(diǎn)： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，即 函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系。,3.注意： 適用于不太嚴(yán)重的非線性系統(tǒng)，其非線性函數(shù)可利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

13、實(shí)際運(yùn)行情況是在某個(gè)平衡點(diǎn)附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化 k值隨靜態(tài)工作點(diǎn)而變 只適用于無(wú)間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)的單值函數(shù),22 傳遞函數(shù),一、傳遞函數(shù)的概念和定義 一個(gè)控制系統(tǒng)性能的好壞，取決于系統(tǒng)的內(nèi)在因素，即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與外部施加的信號(hào)無(wú)關(guān)。因而，對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)品質(zhì)好壞的評(píng)價(jià)可以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的分析來(lái)達(dá)到，而不需要直接對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)進(jìn)行分析。 傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)之上引入的描述線性定常系統(tǒng)或元件輸入、輸出關(guān)系的函數(shù)。它是和微分方程一一對(duì)應(yīng)的一種數(shù)學(xué)模型，它能方便地分析系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。 當(dāng)初始條件為零時(shí)，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)c（t）的拉氏變換式與輸入信號(hào)r

14、（t）的拉氏變換式之比，稱(chēng)為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)，記為G（s），即：,控制系統(tǒng)微分方程式的一般形式為： 設(shè)r（t）、c（t）初始條件為零，并對(duì)上式進(jìn)行Laplace變換，經(jīng)整理得： M（s）傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式； N（s）傳遞函數(shù)的分母之多項(xiàng)式。,二、 傳遞函數(shù)的性質(zhì),1. 傳遞函數(shù)是由Laplace變換導(dǎo)出的，因此，它只適用于線性定常系統(tǒng)，且只能反映零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 2. 傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù)，其M（s）、N（s）的各項(xiàng)系數(shù)均由系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，并與微分方程式中的各項(xiàng)系數(shù)一一對(duì)應(yīng)。 3. 傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理

15、結(jié)構(gòu)。也就是說(shuō)，對(duì)于許多物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數(shù)。 4. 由于能源的限制和實(shí)際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無(wú)限制上升，因而有：NM。 5. 傳遞函數(shù)表征輸入輸出信號(hào)間的信號(hào)傳遞關(guān)系，因此對(duì)于同一系統(tǒng)，選取不同的輸入、輸出變量，傳遞函數(shù)將不同。 6. 傳遞函數(shù)還可以用下式表達(dá)：,上式中 零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)的增益 ； 分子多項(xiàng)式M=0的根，稱(chēng)為零點(diǎn)； 分母多項(xiàng)式N=0的根，稱(chēng)為極點(diǎn)。 N（s）=0是控制系統(tǒng)的特征方程式，它與微分方程式的特征方程式一一對(duì)應(yīng)。zi、pi可為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、或復(fù)數(shù)。若為虛數(shù)、或復(fù)數(shù)，必為共軛虛數(shù)、或共軛復(fù)數(shù)。 注意，只有當(dāng)上

16、式中的分子及分母多項(xiàng)式間沒(méi)有公因子時(shí)，傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)才會(huì)和系統(tǒng)的零、極點(diǎn)完全相同；分母多項(xiàng)式的階次才代表系統(tǒng)的階次。 8傳遞函數(shù)還可用時(shí)間常數(shù)的形式來(lái)表示 上式中 分子各因子的時(shí)間常數(shù) ； 分母各因子的時(shí)間常數(shù) ； 時(shí)間常數(shù)形式傳遞函數(shù)的增益；通常稱(chēng)為傳遞系數(shù) 。,9.如果傳遞函數(shù)中有 個(gè)等于0的極點(diǎn)，并考慮到既有實(shí)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)，又有共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)時(shí)，上面兩種表達(dá)式為：,10.引入無(wú)限零、極點(diǎn)的概念后，可以認(rèn)為系統(tǒng)的零、極點(diǎn)數(shù)目總是相等的。 m與n一般是不等的，但當(dāng)s 時(shí)，有 當(dāng)n m時(shí)， ，可以認(rèn)為s 時(shí)，即在s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，有nm個(gè)零點(diǎn)；同理，當(dāng)n m時(shí)， ，可以認(rèn)為s 時(shí)，即在

17、s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處，有m n個(gè)極點(diǎn)。這種無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，稱(chēng)為無(wú)限零點(diǎn)或無(wú)限極點(diǎn)。 這樣，系統(tǒng)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的有限極點(diǎn)與無(wú)限極點(diǎn)的總數(shù)，一定等于其有限零點(diǎn)與無(wú)限零點(diǎn)的總數(shù)。,傳遞函數(shù)的求取 直接計(jì)算法 對(duì)于元件或簡(jiǎn)單系統(tǒng)，首先建立描述元件或系統(tǒng)的微分方程式，然后在零初始條件下，對(duì)方程式進(jìn)行拉氏變換，即可按傳遞函數(shù)的定義求得元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 求取無(wú)源網(wǎng)絡(luò)或電子調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，采用阻抗法求取更為方便。下表列出了電路中電阻、電容和電感的阻抗傳遞函數(shù)。,利用動(dòng)態(tài)框圖求取傳遞函數(shù) 對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，應(yīng)先求出元件的傳遞函數(shù)，再利用動(dòng)態(tài)框圖和框圖運(yùn)算法則，可方便地求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。該方法將在后面討

18、論。 利用梅遜公式求取傳遞函數(shù) 該方法將在后面討論。 線性系統(tǒng)的兩個(gè)重要性質(zhì) 1. 齊次性 如果線性系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)x（t）的響應(yīng)為y（t），則輸入信號(hào)為ax（t）時(shí)，其響應(yīng)為ay（t）。 2. 疊加性 如果線性系統(tǒng)對(duì)x1（t）和x2（t）的響應(yīng)分別為y1（t）和y2（t），則系統(tǒng)輸入信號(hào)為x1（t）+x2（t）時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)應(yīng)為y1（t）+y2（t）。 由線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性可知：作用于線性定常系統(tǒng)的多個(gè)輸入信號(hào)（它們可以作用于不同的輸入端）的總的響應(yīng)等于各個(gè)輸入信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)的代數(shù)和。 線性系統(tǒng)的這兩個(gè)重要性質(zhì)使得線性定常系統(tǒng)的分析大為簡(jiǎn)化。,例2-5 解法1 求例2-1在推導(dǎo)

19、電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)時(shí)，對(duì)于無(wú)源元件電感L、電容C和電阻R，分別用它們的復(fù)阻抗求解往往是比較簡(jiǎn)便的。令Z1=R+Ls，為電阻和電感的復(fù)數(shù)阻抗之和；1/CS為電容的復(fù)數(shù)阻抗。則 解法2 例2-1的RLC串聯(lián)電路的微分方程為 當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換后可得傳遞函數(shù)為,三、 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),若通過(guò)微分方程的最簡(jiǎn)單形式（如一階或二階微分方程式）描述元件或其中一部分的動(dòng)態(tài)性能時(shí)，通常稱(chēng)這種簡(jiǎn)單形式為典型環(huán)節(jié)（Typical Elements）。 控制系統(tǒng)中有許多結(jié)構(gòu)性質(zhì)不同的元件，只要它們的數(shù)學(xué)模型的形式相同，則其動(dòng)態(tài)性能也必然存在內(nèi)在的聯(lián)系，因而可以把它們歸成一類(lèi)，以有利于研究系統(tǒng)內(nèi)部各單

20、元之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。 控制系統(tǒng)可視為由若干典型環(huán)節(jié)按一定方式組合而成。同時(shí)，基于環(huán)節(jié)的定義，一個(gè)元件可能是一個(gè)典型環(huán)節(jié)，但也可能包含數(shù)個(gè)典型環(huán)節(jié)，或者由數(shù)個(gè)典型環(huán)節(jié)構(gòu)成一個(gè)環(huán)節(jié)。 典型環(huán)節(jié)都可以用功能框（Function Block）表示。功能框是用帶框的圖形符號(hào)（包含輸入、輸出信號(hào)間的功能關(guān)系）來(lái)表示功能相關(guān)的元件的組合體。,1比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系成正比關(guān)系，既它的輸出量能夠無(wú)失真、無(wú)滯后地，按一定的比例復(fù)現(xiàn)輸入量。其傳遞函數(shù)為,2微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，其輸出量與 輸入量的一階微分成正比，即 式中 時(shí)間常數(shù)。 其傳遞函數(shù)為,當(dāng) 1時(shí)，才能近似地

21、得到,3積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對(duì)時(shí)間的積分，即 式中K為比例系數(shù)，K與時(shí)間量綱有 關(guān)。當(dāng)輸入量和輸出量為相同的理量 時(shí)，K的量綱為s-1，故可將積分環(huán)節(jié)的系數(shù)（積分時(shí)間常數(shù) ）寫(xiě)成 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為,理想微分環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系與積分環(huán)節(jié)正好相反，傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。這種理想微分環(huán)節(jié)在實(shí)際中難以得到，往往使用一些近似環(huán)節(jié)來(lái)執(zhí)行微分作用，我們稱(chēng)它們?yōu)閷?shí)際微分環(huán)節(jié)。,4一階微分環(huán)節(jié) 該環(huán)節(jié)的輸出等于輸入與其一階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)和，其傳遞函數(shù)為 比例微分環(huán)節(jié)為比例環(huán)節(jié)和理想微分環(huán)節(jié)的疊加。比例-微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。 5慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)又稱(chēng)非周期環(huán)節(jié)，其輸出量和輸入量之間的關(guān)系

22、可用以下的微分方程描述 對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為,式中 T時(shí)間常數(shù)； K 比例系數(shù)。,6振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是 其傳遞函數(shù)為 式中 T時(shí)間常數(shù)； n無(wú)阻尼振蕩頻率； 阻尼比， 1。,7二階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié)的微分方程為 二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。,（0 1）,8延遲環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié)是輸入信號(hào)加入后，其輸出端要隔一段時(shí)間才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)的環(huán)節(jié)。它的時(shí)間特性表示為 其拉氏變換為 傳遞函數(shù)為 由于延遲環(huán)節(jié)是系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩的原因，所以系統(tǒng)中如有延遲環(huán)節(jié)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定是不利的。,23 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其簡(jiǎn)化,一、結(jié)構(gòu)圖的基本概念 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖又稱(chēng)方塊圖，他是將系統(tǒng)中所有的環(huán)節(jié)用方

23、塊來(lái)表示，按照系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，將各方塊連接起來(lái)構(gòu)成的；方塊的一端為相應(yīng)環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)，另一端為輸出信號(hào)，用箭頭表示信號(hào)傳遞的方向，并在方塊內(nèi)標(biāo)明相應(yīng)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,表明了系統(tǒng)的組成、信號(hào)的傳遞方向； 表示出了系統(tǒng)信號(hào)傳遞過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系； 可揭示、評(píng)價(jià)各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響； 易構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)，并簡(jiǎn)化寫(xiě)出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； 直觀、方便（圖解法）。,二、組成和建立,1.組成（結(jié)構(gòu)圖四要素） 方塊：一個(gè)元件（環(huán)節(jié)） 信號(hào)流線：箭頭表示信號(hào)傳遞方向 分支點(diǎn) 信號(hào)多路輸出且相等 相加點(diǎn)（綜合點(diǎn)、比較點(diǎn)） 相同性質(zhì)的信號(hào)進(jìn)行去取代數(shù)和 （相同量綱的物理量）,把一個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)全用函數(shù)方塊表示，

24、并且根據(jù)各環(huán)節(jié)信號(hào)的相互關(guān)系，用信號(hào)流線和相加點(diǎn)把各個(gè)函數(shù)方塊連接起來(lái)，這樣形成的一個(gè)完整圖形就是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)方塊圖。下圖是一個(gè)負(fù)反饋系統(tǒng)的方塊圖。,2.結(jié)構(gòu)圖的建立,步驟 a. 列出描述每個(gè)元件的拉普拉斯變換方程。 b. 以構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖的基本要素表示每個(gè)方程，并將各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)填入方塊圖內(nèi)；將信號(hào)的拉普拉斯變換標(biāo)在信號(hào)線附近。 c. 按照系統(tǒng)中信號(hào)傳遞的順序，依次將各環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)，以構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,舉例 繪出如圖所示兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。 解 （1）列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程 （2）將上面各式取拉氏變換。取零初始條件，并整理成因果關(guān)系式,（3）作出相應(yīng)的方塊圖，如下圖所示。 （4）將各元件方

25、塊圖按信號(hào)流向聯(lián)結(jié)起來(lái)，便得到兩級(jí)RC網(wǎng)絡(luò)的方塊圖，如圖(b)所示。 注意：圖(b)并不等于兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的方塊圖的串聯(lián)，因?yàn)閮杉?jí)RC電路之間有負(fù)載效應(yīng)。,三、 結(jié)構(gòu)圖的等效變換,為求得整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，進(jìn)行簡(jiǎn)化，相當(dāng)于在結(jié)構(gòu)圖上進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，常有：環(huán)節(jié)合并；信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)。 基本原則：變換前后待求系統(tǒng)的輸出量、輸入量之間數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變 方塊圖變換規(guī)則： 1串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化：若干環(huán)節(jié)串聯(lián)起來(lái)的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積（各環(huán)節(jié)間應(yīng)無(wú)負(fù)載效應(yīng)）。以下圖所示的串聯(lián)環(huán)節(jié)為例，可知：,2并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化：若干環(huán)節(jié)并聯(lián)起來(lái)的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。以下圖所示的并聯(lián)為例，可知

26、,3反饋回路的簡(jiǎn)化 下圖（a）表示的具有反饋聯(lián)接的最基本的閉環(huán)系統(tǒng)，設(shè)G B ( s )為該閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則其等效方塊圖如下圖 (b)所示。,式中GK(s) 閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)無(wú)量綱。 注意：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)系統(tǒng)分析中的一個(gè)重要概念。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)并不是指開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它主要用來(lái)研究控制系統(tǒng)的固有性能，其系數(shù)與系統(tǒng)的特征參數(shù)相對(duì)應(yīng)。,4相加點(diǎn)的移動(dòng)法則：相加點(diǎn)移動(dòng)后應(yīng)保持原輸出信號(hào)不變。 （1）相加點(diǎn)后移 相加點(diǎn)由傳遞函數(shù)為G的方塊圖之前移至該方塊之后，如下圖所示，需要在X2信號(hào)流向線上加一個(gè)傳遞函數(shù)為G的方塊。 （2）相加點(diǎn)前移 讀者自己試分析。 （3）相加點(diǎn)

27、互移 兩相鄰相加點(diǎn)之間的換位移動(dòng)，無(wú)需作其它變換。,5分支點(diǎn)的移動(dòng)法則：分支點(diǎn)移動(dòng)后應(yīng)保持分支點(diǎn)引出線上的信號(hào)不變。 （1）分支點(diǎn)前移 分支點(diǎn)由傳遞函數(shù)為G的方塊之后移至該方塊之前，如下圖所示，需要在分支點(diǎn)引出線上加一個(gè)傳遞函數(shù)為G的方塊。 （2）分支點(diǎn)后移：讀者自己試分析。 （3）分支點(diǎn)由相加點(diǎn)之后移至相加點(diǎn)之前 如下圖所示，需要在分支點(diǎn)引出線上加一個(gè)情況完全相同的相加點(diǎn)。,（4）分支點(diǎn)由相加點(diǎn)之前移至相加點(diǎn)之后：讀者自己試分析。 總結(jié)：上面這些規(guī)則都是根據(jù)下列兩條原則得到的，即 變換前與變換后前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變； 變換前與變換后回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。 6. 化

28、間注意事項(xiàng) 結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是解除各種連接之間，包括環(huán)路與環(huán)路之間的交叉，應(yīng)設(shè)法使它們分開(kāi)，或形成大環(huán)套小環(huán)的形式。 解除交叉連接的有效方法是移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)。一般，結(jié)構(gòu)圖上相鄰的分支點(diǎn)可以彼此交換，相鄰的相加點(diǎn)也可以彼此交換。但是，當(dāng)分支點(diǎn)與相加點(diǎn)相鄰時(shí)，它們的位置就不能作簡(jiǎn)單的交換。,例2-11 簡(jiǎn)化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解 圖2.28是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用相加點(diǎn)、分支點(diǎn)互換的方法處理。,（2）再與b點(diǎn)交換,（1）將相加點(diǎn)a移至G2之后,（3）因 G4與G1G2并聯(lián)， G3與G2H是負(fù)反饋環(huán),（4）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后結(jié)果為,所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,例2-

29、12 試簡(jiǎn)化下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù),解 （1）將支路H2（s）的分支點(diǎn)后移,（2）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果如下圖所示,（3）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果為,所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,歸納規(guī)律：,通過(guò)上述三個(gè)例子，可以看到如果滿足以下兩個(gè)條件： 所有回路兩兩相互接觸； 所有回路與所有前向通道接觸。,則可以得到以下幾條簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖的規(guī)律： 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一個(gè)有理分式； ，負(fù)反饋取“+” 正反饋取“” 即 式中， m是前向通道的條數(shù)，n是反饋回路數(shù)。,例2-11 簡(jiǎn)化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,有兩條前向通道： G4G3 G1G2G3 反饋回路開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G2G3H 前向通道與反饋回路兩兩接觸 所以,24自動(dòng)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),典型結(jié)構(gòu):,一、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 將反饋通道H（s）的輸出端斷開(kāi) 1.不是開(kāi)