1、正弦定理和余弦定理自主梳理1. 正弦定理：_2R，其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為：(1)abc_ sin Asin Bsin C _；(2)a_)2Rsin A _，b_2Rsin B _，c_2Rsin C _；(3)sin A_，sin B_，sin C_等形式，以解決不同的三角形問題.2.余弦定理：a2_ b2c22bccos A _，b2_a2c22accos B_，c2_ a2b22abcos C_.余弦定理可以變形為：cos A_，cos B_，cos C_.3.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算

2、R、r.4.在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分.余弦定理可解決兩類問題： (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問題；(2)已知三邊問題.解三角形時(shí)，三角形解的個(gè)數(shù)的判斷在ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解5判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手，充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一等腰三角形：ab或AB.直角三角形： b2c2a2

3、或 A90 .鈍角三角形： a2b2c2 或 A90 .銳角三角形：若a為最大邊，且滿足 a2b2c2 或A為最大角，且 A90 .6由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即ABabsinAsinB.基礎(chǔ)自測(cè)1.在ABC中，若A60，a，則_.2.(2010北京)在ABC中，若b1，c，C，則a_.3.在ABC中，a15，b10，A60，則cos B_.4.ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，已知c3，C，a2b，則b的值為_.5.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為

4、()A.2 B.8 C. D.1.22.13.4.5.C6在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若a、b、c成等差數(shù)列，B30，ABC的面積為，則b .【解析】SABCacsinBacsin30，ac6.又a、b、c成等差數(shù)列，故2bac.由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accos30，b24b2126，得b242，b1.7在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a2bcosC，則此三角形一定是( )A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形【解析】由a2bcosC得sinA2sinBcosCABC sinAsin(BC)

5、sin(BC)2sinBcosC 即sin(BC)00B，0Cb，A60或A120.當(dāng)A60時(shí)，C180456075，c；當(dāng)A120時(shí)，C1804512015，c.(2)B60，C75，A45.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.(2)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2bsinA.求角B的大??； 求cosAsinC的取值范圍解析 由a2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB，由ABC為銳角三角形得B.cosAsinCcosAsin(A)cosAsin(A)cosAcosAsinAsin(A)由ABC為銳角三角形知，AB，又B.A，

6、sin(A).由此有sin(A)，所以cosAsinC的取值范圍為(，)點(diǎn)評(píng) 解決這類問題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成邊，要么把邊化成角，然后再進(jìn)行三角恒等變換得到y(tǒng)Asin(x)B型函數(shù)，從而求解單調(diào)區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問題，注意限制條件ABC，0A，B，C的應(yīng)用，如本題中由ABC為銳角三角形得到AB，從而推到A.探究提高(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意. 變式訓(xùn)練1 (1) 已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所

7、對(duì)的邊，若a1，b，AC2B，則角A的大小為_. (2)在ABC中，若tan A，C150，BC1，則AB_；（3）在ABC中，若a50，b25，A45，則B_解析(2)在ABC中，tan A，C150，A為銳角，sin A.又BC1.根據(jù)正弦定理得AB.(3)由ba，得BA，由，得sin B，0B180 B60或B120.（4）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且滿足csinAacosC.求角C的大??；求sinAcos(B)的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大小解析 由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因?yàn)?A，所以sinA0，從而sinCcosC，又cosC0，所

8、以tanC1，則C.由(1)知BA.于是sinAcos(B)sinAcos(A)sinAcosA2sin(A)0A，A，從而當(dāng)A，即A時(shí)，2sin(A)取最大值2.綜上所述，sinAcos(B)的最大值為2，此時(shí)A，B.（5）如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過ABC的重心G.設(shè)MGA()試將AGM、AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為的函數(shù)；求y的最大值與最小值解析因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的重心，所以AG，MAG，由正弦定理，得GM.則S1GMGAsin(或)又，得GN，則S2GNGAsin()(或)，ysin2()sin2()72(

9、3cot2)因?yàn)?，所以，?dāng)或時(shí)，y取得最大值ymax240；當(dāng)時(shí)，y取得最小值ymin216.題型二利用余弦定理求解三角形例2在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且.(1)求角B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積.解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得： ，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2)熟練運(yùn)

10、用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.變式訓(xùn)練2 1已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對(duì)邊，且a2c2b2ac.(1)求角B的大??；(2)若c3a，求tan A的值解(1)a2c2b2ac，cos B.0B，B.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0Aa，BA，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.2在ABC中，角A，B

11、，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cos ，3. (1)求ABC的面積； (2)若bc6，求a的值.解(1)cos ，cos A2cos21，sin A.又3，bccos A3，bc5.SABCbcsin A52. (2)由(1)知，bc5，又bc6，根據(jù)余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A36101020，a2.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范圍；(2)求函數(shù)f()2sin2()2cos2的值【解析】(1)8，BAC，bccos8.又a4，b2c22bccos42即b2c232. 又b2c

12、22bcbc16，即bc的最大值為16.而bc，16，cos0，0.(2)f()2sin2()2cos21cos(2)1cos2sin2cos212sin(2)10， 2 sin(2)1.當(dāng)2，即時(shí)，f()min212.當(dāng)2，即時(shí)，f()max2113.點(diǎn)評(píng) 有關(guān)三角形中的三角函數(shù)求值問題，既要注意內(nèi)角的范圍，又要靈活利用基本不等式題型三正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3(2011浙江)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2.(1)當(dāng)p，b1時(shí)，求a，c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍.解(1)由題設(shè)并由正弦定理，得解得或(

13、2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B.因?yàn)?cos B0，所以p.探究提高在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角.通常的思路是：將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角.變式訓(xùn)練 1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c. (1)若c2，C，且ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀.解(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4.又ABC的面積為，absin C，ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由

14、sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，當(dāng)cos A0時(shí)，0A0，故cos B，所以B45.題型四判斷三角形的形狀一、判斷三角形的形狀例1在ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀解析 (1)由已知得：2a2(2bc)b(2cb)c.即a2b2c2bc由余弦定理得：a2b2c22bccosA

15、cosAA(0，180)，A120.(2)由(1)得：sin2Asin2Bsin2CsinBsinC又sinBsinC1得sinBsinC0B60，0C60. BC.ABC是等腰的鈍角三角形點(diǎn)評(píng)有關(guān)三角形形狀的判定，途徑一：探究?jī)?nèi)角的大小或取值范圍確定形式；途徑二：計(jì)算邊的大小或轉(zhuǎn)化為僅關(guān)于邊的關(guān)系式確定形式例4在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷ABC的形狀.解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin

16、 Bb2sin Acos B.方法一由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sinAsin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰或直角三角形.變式訓(xùn)練4 1.已知在ABC中，則ABC的形狀是 解析：cos2，.cos A

17、. 又，即b2c2a22b2. a2b2c2.ABC為直角三角形探究提高利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷.2. 設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值解(1)3b23c23a24bc，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos A，又0A0) 則a2k，b3k，c4k.由余弦定理得cosB，選D.5.若ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a，b，c滿足(ab)2c24且C60，則ab的值為( )A. B84 C1 D.【解析】由已知得：兩式相減得：

18、ab，選A.二、填空題6.在ABC中，若b5，B，sin A，則a_.7.若ABC的面積為，BC2，C60，則邊AB的長(zhǎng)度等于_2_.8.在ABC中，若AB，AC5，且cos C，則BC_.4或5.9已知ABC的一個(gè)內(nèi)角為120，且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則ABC的面積為 .【解析】不妨設(shè)A120，c0，從而有sin A，A60或120，A是銳角，A60.(2)10bcsin 60，bc40，又72b2c22bccos 60，b2c289.11在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c.已知a2c22b，且sin B4cos Asin C，求b.解方法一sin B4cos Asin C，由正弦定理，得4cos A，b4ccos A，由余弦定理得b4c，b22(b2c2a2)，b22(b22b)，b4.方法二由余弦定理，得a2c2b22bccos A，a2c22b，b0，b2ccos A2，由正弦定理，得，又由已知得，4cos A，b4ccos A. 解得b4. 12在ABC中，A，B為銳角，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且cos2A，sinB. (1)求AB的值；(2)若ab1，求a，b，c的值【解析】(1)A，B為銳角，且sinB cosB又cos2A12sin2AsinA，cosAcos(AB)cosAcosBsinAs