1、，東北大學(xué)人工智能和機(jī)器人研究所2016.9，第三章機(jī)器人坐標(biāo)系，2，機(jī)器人是復(fù)雜的運動系統(tǒng)。它的每個動作都是每個組件共同作用的結(jié)果。3，3.1位置和姿勢3.2正交坐標(biāo)系3.3運動坐標(biāo)表示3.4均勻坐標(biāo)變換3.5機(jī)器人坐標(biāo)系，需要引入一組機(jī)器人坐標(biāo)系，以便系統(tǒng)地準(zhǔn)確說明每個元素零件的作用及其關(guān)系。4，在3D空間中完全確定對象的狀態(tài)需要三個位置自由度和三個姿勢自由度。前者用于確定空間中物體的具體方向，后者用于確定物體的方向。我們把物體六自由度的狀態(tài)稱為物體的姿勢。如果h是手坐標(biāo)系，那么如果用于描述手的姿勢，那么加上手的位置就是手的姿勢。(威廉莎士比亞、哈姆雷特、手的位置、位置、位置、位置、位置、

2、位置、位置、位置、位置)、3.1位置和姿勢以及一般姿勢的說明包括“滾動”(Roll)、“俯仰”(Pitch)和“橫向擺動”(Pitch)，5，飛機(jī)飛行姿勢變化，6，3.2正交坐標(biāo)系，3.2.1正交坐標(biāo)系和矢量的基礎(chǔ)B系統(tǒng)具有表示手坐標(biāo)的另一個坐標(biāo)系H(xH，yH，zH)。其中，分別是h系統(tǒng)三個軸的單位向量。、z、y、x、B、h、h、z、h、x、h、h、y、向量的點積(內(nèi)部積或標(biāo)量積)，即一個向量到另一個向量的投影等于該向量與另一個向量方向的單位向量的點積。如果A=j (j是a方向的單位向量)，即兩個向量方向的單位向量上的點乘以馀弦，如兩個向量的夾角。圖3-2標(biāo)量積，b=i (i是B方向的單位向

3、量)，向量的叉積(向量積或叉積)，其中向量C的模是3360。其中，A和B之間的角度小于或等于1800。如果根據(jù)右手定則，將A繞C轉(zhuǎn)B，則圖3-3叉子積，A和B的點乘法為：將點乘法和叉子乘法應(yīng)用于右側(cè)笛卡爾坐標(biāo)系中的單位矢量I，J，K。例如，2008-7，11，矩陣R稱為直角座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。當(dāng)、您可以將一組三個徐璐直角的單位向量轉(zhuǎn)換為一組三個徐璐直角的單位向量。每組單位向量表示一個直角座標(biāo)系統(tǒng)。還說明了矩陣R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣的原因。牙齒正交坐標(biāo)變換常用在機(jī)器人學(xué)中。14，3.2.2位置的說明，設(shè)置坐標(biāo)系后，可以使用三維位置矢量確定空間中任意點的位置。其中x、y和z是笛卡爾坐標(biāo)系三個軸上p點的坐

4、標(biāo)分量。使用牙齒方法，可以輕松表示默認(rèn)坐標(biāo)系中快照坐標(biāo)(原點)的空間位置。3.2.3姿勢的說明，物體的姿勢可以用固定在物體上的坐標(biāo)系來說明?？臻g除了參考坐標(biāo)系B外，在物體的質(zhì)心有笛卡爾直角坐標(biāo)系H，H與牙齒物體的空間位置關(guān)系是固定的。H系三個軸的單位向量可以表示H系和B系相對于B系的姿勢。假設(shè)，15，16，H坐標(biāo)系中一個軸的單位矢量。也就是說，B坐標(biāo)系的方向可以用B系3軸角的馀弦表示。如下圖所示。、j、l，可用于前面的導(dǎo)出：b)姿勢(方向)的描述，使用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體姿勢(方向)。也就是說，坐標(biāo)系a的B系統(tǒng)的三個單位主向量的方向余弦組成。A表示系統(tǒng)中剛體F的方向和A系統(tǒng)中B系統(tǒng)的姿勢。其中：x

5、B yB zB，xA yA zA，19，3.3運動坐標(biāo)表示，3.3.1變換的坐標(biāo)表示，設(shè)置坐標(biāo)系H的姿勢與默認(rèn)坐標(biāo)系B的姿勢相同，但H坐標(biāo)系原點與B系統(tǒng)的原點不匹配。使用向量描述h系統(tǒng)相對于b系統(tǒng)的位置(請參見右圖)。h系統(tǒng)稱為基于b系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換向量。在h系統(tǒng)中，如果點P的位置是，則相對于B系統(tǒng)的位置向量可由向量添加。換句話說，稱為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程。20，以下以繞z軸的旋轉(zhuǎn)角度為例，研究繞軸的角度表示。H在與B系重合的位置繞B系的Z軸旋轉(zhuǎn)，H與B系的關(guān)系如圖所示。3.3.2旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)表示，(1)繞軸旋轉(zhuǎn)角度的表示，21，因此，三個茄子默認(rèn)旋轉(zhuǎn)矩陣：x y z，x y z，x y z，x y z，x

6、y z，x y z如上圖所示，R矩陣可以將矢量直徑從基準(zhǔn)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為矢量直徑的投影，這表示R矩陣的另一個幾何意義。因此，()，示例3.1從默認(rèn)坐標(biāo)系(B)到爪坐標(biāo)系(E)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣如下所示：(1)繪制兩個坐標(biāo)系的相互方向關(guān)系，而不考慮E的原點位置。(2) B到OE(E系統(tǒng)的原點)的位置向量為(1，2，2)時，繪制兩個坐標(biāo)系的相對姿勢關(guān)系。求解：xE yE zE，xB yB zB，(1)，(2)，27，(3)具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的兩個矢量的投影之間的關(guān)系，將坐標(biāo)系Bxy中矢量的投影設(shè)置為u，v，w，如下圖所示如果您注意到、Y、28、Y、x、Y軸的投影與軸上的投影相同，并且比較第6頁和第9頁的兩個圖中

7、顯示的相同幾何關(guān)系，則結(jié)果與樣式()相同。但是，此時U，V，W和X，矩陣R用于表示同一坐標(biāo)系中具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的兩個矢量的投影之間的關(guān)系，這表示R矩陣的最后幾何意義。29，這里總結(jié)了R矩陣的四個茄子幾何意義。1，實現(xiàn)了手坐標(biāo)系H到基本坐標(biāo)系B的笛卡爾坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。2，用于表示繞軸的旋轉(zhuǎn)。3，將關(guān)鍵坐標(biāo)系中矢量直徑的投影轉(zhuǎn)換為基準(zhǔn)坐標(biāo)系中相應(yīng)矢量直徑的投影。4，表示同一坐標(biāo)系中具有旋轉(zhuǎn)關(guān)系的兩個矢量的投影之間的關(guān)系。這有助于理解R矩陣的本質(zhì)，研究機(jī)器人的坐標(biāo)系。30，3.3.3復(fù)合運動的坐標(biāo)表示默認(rèn)坐標(biāo)系B和手坐標(biāo)系H的原點不匹配，兩個坐標(biāo)系的姿勢也不同。在、31、B和H系統(tǒng)中，隨機(jī)點P的描述具有以下關(guān)

8、系：其中是P點相對于B系統(tǒng)的位置向量。到目前為止，我們從淺到深地介紹了學(xué)習(xí)機(jī)器人復(fù)雜運動的最基本的數(shù)學(xué)工具物體的基本宏觀運動在坐標(biāo)系中的表達(dá)方法。(David aser，Northern Exposure，美國電視電視劇，機(jī)器人)在下一章中經(jīng)常用到。然后可以從格式(RP)中獲得復(fù)合變換，可以將常識看作坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)變換的復(fù)合變換。實際上，指定變換坐標(biāo)系c，以便c的坐標(biāo)原點與h系統(tǒng)匹配，c的姿勢與b系統(tǒng)匹配。根據(jù)格式()，可以將H系統(tǒng)到變換坐標(biāo)系C的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為。其中是點P在C處的位置向量。(RP)，示例3.2知道坐標(biāo)系B的初始姿勢與A匹配。首先，B繞A的zA軸旋轉(zhuǎn)30度，然后沿A的xA軸移動10

9、個單位，沿A的yA軸移動5個單位。尋找位置向量和旋轉(zhuǎn)矩陣。如果是的話，請。解決方案：所以：最終結(jié)果：34，3.4齊次坐標(biāo)變換，3.4.1齊次坐標(biāo)的定義和特性，3.4.1.1齊次坐標(biāo)的概念，和；通常，如果w=1，則的均勻坐標(biāo)顯示為。通常表示N維位置矢量，作為(N 1)維矢量。這稱為統(tǒng)一坐標(biāo)顯示。35，3.4.1.2均質(zhì)坐標(biāo)的特性，(1)均質(zhì)坐標(biāo)的非均質(zhì)，非均質(zhì)意味著一點的均質(zhì)坐標(biāo)具有無窮大。不是由單一值決定。例如，如果是點的均質(zhì)座標(biāo)，則也是該點的均質(zhì)座標(biāo)。(2)對齊坐標(biāo)的原點和軸表示基于對齊坐標(biāo)定義的坐標(biāo)原點，對齊坐標(biāo)分別表示OX、OY和OZ軸的無限點，即表示笛卡爾坐標(biāo)的OX、OY和OZ軸。36

10、，(阿爾伯特愛因斯坦，Northern Exposure(美國電視電視劇)，)現(xiàn)在，接下來，我們將使用齊次矩陣表示物體的運動。39，3.4.2.1使用齊次矩陣表示變換變換，設(shè)置向量，對向量請求v，即()，變換矩陣h，以使u成為h變換后的向量v。也就是說，考慮()高麗式()，40，牙齒變換矩陣具有以下屬性：每個元素乘以非零牙齒元素后變換不會更改。，43，例如，如果已知矢量u圍繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，則它將顯示為旋轉(zhuǎn)矩陣。例如，矢量u圍繞x，y軸分別旋轉(zhuǎn)90，圍繞60軸分別旋轉(zhuǎn)90，60，以獲得v，合并上述兩個茄子變換，將其表示為均勻矩陣。對于牙齒，齊次轉(zhuǎn)換矩陣是，45，(威廉莎士比亞，溫斯頓，旋轉(zhuǎn)，旋

11、轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn))，48，3.4.3均勻變換的特性，3.4.3.1變換過程的相對平移，前面介紹的所有旋轉(zhuǎn)例如，上述變換過程是手坐標(biāo)系h首先圍繞基準(zhǔn)坐標(biāo)系b旋轉(zhuǎn)，然后平移。牙齒變換的順序是從右到左。這種過程也可以按相反的順序進(jìn)行，即從左到右?，F(xiàn)在可以理解，第一個線坐標(biāo)系H在基礎(chǔ)坐標(biāo)系B中轉(zhuǎn)換，然后圍繞當(dāng)前手坐標(biāo)系H的軸旋轉(zhuǎn)。49，一般轉(zhuǎn)換過程可分為兩種茄子情況。(1)使用描述平移和/或旋轉(zhuǎn)的變換C、左側(cè)乘法坐標(biāo)系的變換T，結(jié)果平移和/或旋轉(zhuǎn)相對于停止坐標(biāo)系執(zhí)行。通過使用、(2)描述平移和/或旋轉(zhuǎn)的變換C將坐標(biāo)系變換T乘以右側(cè)，可以相對于運動坐標(biāo)系執(zhí)行生成的平移和/或旋轉(zhuǎn)。固定坐標(biāo)系運動，活動坐標(biāo)系運動，51，3.4.3.2變換過程的可逆逆變換，機(jī)器人學(xué)中必須多次使用多階變換矩陣的逆變換。下面是推導(dǎo)齊次變換矩陣的逆陣。據(jù)此，可以看出上述兩個表達(dá)式是矩陣形式，即52，3.4.3.3轉(zhuǎn)換過程的閉合性-轉(zhuǎn)換方程的建立，在求解機(jī)器人運動學(xué)和動力學(xué)方程時需要經(jīng)常解轉(zhuǎn)換方程。在這些轉(zhuǎn)換方程式中，座標(biāo)點通常以兩種或多種茄子的方式描述。(1)機(jī)器人變換z:參考坐標(biāo)系u基準(zhǔn)坐標(biāo)系b變換a:基準(zhǔn)坐標(biāo)系b手坐標(biāo)系h變換e:手坐標(biāo)系h加工工具T (2)位移器