1、課 題空間向量與立體幾何課 時共 3課時本節(jié)第1 課時選用教材專題五知識模塊立體幾何課 型復(fù)習(xí)教學(xué)目標會用建立空間直角坐標系的方法解決立體幾何問題重 點會用建立空間直角坐標系的方法解決立體幾何問題難 點會用建立空間直角坐標系的方法解決立體幾何問題關(guān) 鍵會用建立空間直角坐標系的方法解決立體幾何問題教學(xué)方法及課前準備多媒體輔助教學(xué) 學(xué)生自主探究 講練結(jié)合教學(xué)流程多媒體輔助教學(xué)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點溯源思考1若直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)則(1)laaa1a2b1b2c1c20；(2)laak(a1，b1，c1)k(a2，b2，

2、c2)；(3)vv(a2，b2，c2)(a3，b3，c3)；(4)vva2a3b2b3c2c30.正確嗎？提示：正確思考2直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，設(shè)直線l與平面的夾角，則sin |cosa，n|.正確嗎？提示：正確思考3若非零向量a，b分別是平面，的法向量，若二面角l的平面角為銳角，則cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角為鈍角，則cos |cosn1，n2|.正確嗎？提示：正確復(fù)習(xí)知識點，用多媒體展示，帶領(lǐng)學(xué)生對相關(guān)知識進行回憶與記憶教學(xué)流程多媒體輔助教學(xué)內(nèi)容考向一利用向量證明平行與垂直常利用向量的數(shù)量積或向量共面證明平行；常利用法向量垂直證明線線、線面垂直恰當(dāng)建立

3、坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵【例1】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30的角(1)求證：CM平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PAD.思路點撥(1)建立空間直角坐標系，證明向量與平面PAD的法向量垂直(2)取AP的中點E，利用向量證明BE平面PAD即可證明以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30.

4、PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，(1)令n(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中點E，并連接BE，則E(，2,1)，(，2,1)，PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，則BEDA.PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.探究提升 (1)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，然后說

5、明直線在平面外即可(2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明【變式訓(xùn)練1】 如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分別為B1A，C1C，BC的中點求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中點為N，并連接NC，則N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,

6、0)，.DENC，又NC在平面ABC內(nèi)，DE不在平面ABC內(nèi)，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，(2)22(2)(4)(2)0，則，B1FEF，(2)222(4)00，即B1FAF.又AFEFF，B1F平面AEF.考向二利用空間向量求線線角、線面角向量法求線線角，線面角的一般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；求出相關(guān)點坐標，寫出相關(guān)向量坐標；結(jié)合公式進行計算【例2】 如圖，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA60. (1)求DP與CC所成角的大??；(2)求DP與平面AADD所成角的大小思路點撥由正方體的幾何特征，易于建立空間坐標系，關(guān)鍵在

7、于求直線DP的一個方向向量，可延長DP交DB于點H，可轉(zhuǎn)化為向量的坐標解如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設(shè)正方體棱長為1，則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD，在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以，(1)因為cos，所以，45.即DP與CC所成的角為45.(2)平向AADD的一個法向量是(0,1,0)因為cos，所以，60.可得DP與平面AADD所成的角為30.探究提升 1.求解本題的關(guān)鍵在于求向量的坐標，根據(jù)向量平行，求向量，簡化了解題過程2(1)異面直線所成角(090)設(shè)

8、a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則cos |cosa，b|.(2)線面角(090)設(shè)a是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則sin |cosa，n|.【變式訓(xùn)練2】 (2013福建高考改編)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求證：CD平面ADD1A1；(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值；(1)證明取CD的中點E，連接BE. ABDE，ABDE3k，四邊形ABED為平行四邊形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，

9、BEC90，即BECD，又BEAD，所以CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)解以D為原點，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)設(shè)平面AB1C的法向量n(x，y，z)，則由得取y2，得n(3,2，6k)設(shè)AA1與平面AB1C所成角為，則sin |cos，n|，解之得k1，故所求實數(shù)k的值為1.考向三利用向量求二面角?？疾椋豪每臻g向量求二面角；由二面角的大小求相關(guān)量

10、常用法向量來求解二面角【例3】 (2013天津高考)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(1)證明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長思路點撥由條件特征，易建立空間坐標系，方便運用向量求解(1)利用向量證明0；(2)求平面B1CE與平面CEC1的法向量，進而求二面角的正弦值；(3)設(shè)出，根據(jù)線面角求，進一步求出AM的長(1)證明如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0，0

11、,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1，2,1)，E(0,1,0)(1)易得(1,0，1)，(1，1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，從而B1C1平面CEC1.故(1,0，1)為平面CEC1的一個法向量于是cosm，從而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1

12、所成的角，則sin|cos，|，于是，解得，故AM.探究提升 1.(1)求解本題要注意兩點：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，直線的方向向量與平面法向量夾角不是線面角(2)利用方程思想進行向量運算時，要細心注意運算的準確性2求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角其計算公式為：設(shè)m，n分別為平面，的法向量，則與m，n互補或相等，|cos |cosm，n|.課堂同步練習(xí)：1(2013青島質(zhì)檢)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO，AM的位置關(guān)系是()A平行 B相交C異面垂直 D異面不垂直解析建立坐標系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0，0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1，0，2)，(2,0,1)，0，則直線NO，AM的位置關(guān)系是異面垂直答案C考點探究突破典型例題講解，先讓學(xué)生