1、12 應用舉例 1.2.1 測量距離問題,60,270,1如圖 1，A 點的方位角為_，B 點的方位角為_.,圖 1,2地面上三個點 A、B、C，若 B在A正北方向上，C在 A 北偏東20的方向上，C在 B 東偏北25方向上，則C在 A東偏 北_方向上，C 在 B 北偏東_方向上，A 在 C 西偏南_ 方向上，B 在 C 西偏南_方向上，B 在 C 南偏西_方向上 3有一長為 10 m 的斜坡，它的傾斜角為 60，現(xiàn)要將傾斜 角改為 30，而坡高不變，則坡底要伸長_m.,70,65,70,25,65,10,4為了測量 B、C 之間的距離，在河岸 A、C 處測量，如,),D,圖 2，測得下面四組

2、數(shù)據(jù)，較合理的是( 圖 2,Ac 與 Cb、c 與,Bc 與 b Db、與,重難點,測量距離問題,測量距離問題包括兩種情況： 測量一個可到達的點到另一個不可到達的點之間的距離； 測量兩個不可到達點之間的距離 第一種實際上就是已知三角形兩個角和一邊的解三角形問 題，用正弦定理即可解決(如圖 3)；對于第二種情況，首先把求 不可到達的兩點 A、B 之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形 的邊長問題，然后把 BC、AC 轉化為測量可到達的點與不可到 達的點之間的距離問題(如圖 4),圖3,圖4,難點,解三角形應用題的一般思路,(1)準確理解題意，分清已知與所求，準確理解應用題中的 有關名稱、術語； (

3、2)根據(jù)題意畫出圖形； (3)抽象或構造出三角形，標出已知和未知； (4)將要求解的問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理 運用正弦定理、余弦定理等知識建立數(shù)學模型，然后正確求解， 演算過程要簡練，計算要準確，最后還要作答,測量寬度,例1：如圖 5 某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的 寬度，在河段的一岸邊選取兩點 A、B，觀察對岸的點 C，測得 CAB75，CBA45，且 AB100 米,(1)求 sin75；,(2)求該河段的寬度,圖 5,如圖5，過點 B 作 BD 垂直于CD，垂足為D，則BD 的長 就是該河段的寬度 在RtBDC 中，,11.如圖 6，為了測定河的寬度，在一岸邊選定

4、兩點 A、B， 望對岸標記物 C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，,則河的寬度為_.,60 m,圖 6,求不可到達兩點之間的距離問題 例2：如圖 7，A、B 兩點都在河的對岸(不可到達)，在河岸 邊選定兩點 C、D，測得 CD1 000 米，ACB30，BCD 30，BDA30，ADC60，求 AB 的長,圖 7,解：由題意知ACD 為正三角形， 所以 ACCD1 000 米 在BCD 中，BDC90，,測量不能達到的兩點間的距離，利用解斜三 角形是一個重要的方法解決這類問題的關鍵是構造一個或幾 個三角形，測出有關邊長和角，用正、余弦定理進行計算,21.如圖 8，現(xiàn)要計算北江岸邊兩

5、景點 B 與 C 的距離由 于地形的限制，需要在岸上選取 A 和 D 兩個測量點，現(xiàn)測得 AD CD，AD10 km，AB14 km，BDA60，BCD135， 求兩景點 B 與 C 的距離(假設 A、B、C、D 在同一平面內，測 量結果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)： 1.414),圖 8,解：在ABD 中，設BDx. 則BA2BD2AD22BDADcosBDA， 即142x2102210 xcos60， 整理得：x210 x960. 解得 x116，x26(舍去),由正弦定理，得：,sin,BC CDB,sin,BD BCD,，,即兩景點 B 與 C 的距離約為 11 km.,航行問題,例 3：一船在

6、 A 處向北偏西 30的方向以每小時 30 海里的 速度航行，一個燈塔原來在船的北偏東 15，經過 40 分鐘后， 船在 B 處，燈塔 C 在船的北偏東 45，求船和燈塔之間原來的 距離,解：如圖9.,圖 9,由已知：AB20 海里，CAB45，ABC105. 在ABC 中，根據(jù)正弦定理得： AC AB sinABC sinC,解決有關航行問題的應用題，關鍵是對一些 數(shù)學術語要理解好，把它翻譯到圖形中作出草圖，然后運用正 弦、余弦定理求解,，,31.某海上緝私小分隊駕駛緝私艇以 40 km/h 的速度從 A 處出發(fā)沿北偏東 60的方向航行，進行海面巡邏，當行駛半小時 到達 B 處，發(fā)現(xiàn)在北偏西

7、 45的方向上有一艘船 C，船 C 位于 A 處北偏東 30的方向上，求此時緝私艇 B 與船 C 的距離,AB sinACB,BC sinBAC,即 BC,20sin30 sin75,故此時緝私艇B 與船C 的距離為,圖1,解：如圖1，由題意 AB400.520，BAC30， ABC75，所以ACB75，由正弦定理：,例 4：某貨輪在海上以 30 海里/小時的速度沿方位角 150 的方向航行，為了確定船的位置，船在 B 點觀察燈塔 A 的方位 角是126，航行半小時后到達C點，觀察燈塔A的方位角是78. 請用簡圖表示船的位置 錯因剖析：對方位角的定義理解不清， 錯把標準方向定為正東方向,正解：如圖10.,圖 10,41.甲船在 A 處，乙船在甲船正南方向距甲船 20 n mile 的 B 處，乙船以 10 n mile/h 的速度向正北方向行駛，而甲船同時 以 8 n mile/h 的速度由 A 處向北偏西 60方向行駛，問經過多少 小時后，甲、乙兩船相距最近？,解：設甲、乙兩船經過t 小時后相距最近，且分別