1、系統(tǒng)模擬,第2講 授課教師: 左德承,建模的邏輯方法,抽象 歸納 演繹 類比 移植,建模的邏輯方法,抽象 揭示事物的共性和聯(lián)系的規(guī)律，忽略每個具體事物的特殊性，著眼于整體和一般規(guī)律 例子 四條腿的凳子只需原地旋轉(zhuǎn)就能四只腳著地、放穩(wěn),建模的邏輯方法,關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)語言把四只腳同時著地的條件和結(jié)論表示出來 椅子的位置和調(diào)整的表述 椅子腳連線成正方形，以中心點(diǎn)對稱，正方形圍繞圓心旋轉(zhuǎn)表示了椅子位置的改變 假設(shè)椅子位置調(diào)整中只是旋轉(zhuǎn)而沒有平移 因此可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量來表示椅子的位置,建模的邏輯方法,建模的邏輯方法,腳著地的數(shù)學(xué)表示 用變量表示椅腳與地面的距離 變量為零時，四腳著地 需引入四個變量

2、化簡 正方形中心對稱，只需計算兩個距離即可 A、C與地面的距離之和為 B、D與地面的距離之和為,建模的邏輯方法,三腳著地和四腳著地的描述 椅子在任何位置至少有三只腳著地 即任意 至少有一個為零 因此恒有 當(dāng)0時，不妨設(shè)g()=0，f()0，若四條腿一樣長，旋轉(zhuǎn)90度后，只是兩個對角線互換，因此當(dāng)/2時，f()=0，g()0 在0時，四腳著地，即f(0)=g(0)0,建模的邏輯方法,模型假設(shè) 四條腿一樣長 地面高度連續(xù)變化 對腿腳和椅腿的長度來說，地面相對平坦，椅子在任何位置至少有三條腿同時著地,建模的邏輯方法,模型構(gòu)成 令f()為A、C與地面距離之和，g()為B、D與地面距離之和 f()和g(

3、)是的連續(xù)函數(shù) 模型表述如下,建模的邏輯方法,模型求解,建模的邏輯方法,歸納 從特殊的具體的認(rèn)識推進(jìn)到一般的抽象的認(rèn)識的一種思維方式 開普勒從第谷數(shù)據(jù)中，歸納出行星運(yùn)行的三個定律 行星橢圓軌道，太陽位于其中一個焦點(diǎn)上 單位時間內(nèi)，太陽行星掃過的面積是一個常數(shù)（對一顆行星而言） 行星運(yùn)行周期T的平方與其橢圓軌道的長半軸a的三次方成正比,建模的邏輯方法,建模的邏輯方法,演繹 由一般性的命題推出特殊命題的推理方法 特殊情況明晰化 有助于科學(xué)的理論化和體系化 牛頓利用微積分工具在開普勒三定律和牛頓第二定律的基礎(chǔ)上，演繹出萬有引力定律,建模的邏輯方法,類比 在兩個完全不同的事物之間進(jìn)行對比，找出若干相同

4、或相似點(diǎn)之后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式,建模的邏輯方法,移植 一個領(lǐng)域的理論或行之有效的研究方法、研究手段移用到其它領(lǐng)域去 把問題的關(guān)鍵與已有的理論和原理聯(lián)系起來，與既存事實聯(lián)系起來，從而構(gòu)成一個新的模型或挖掘其本質(zhì)的概念與思想,建模的邏輯方法,計算圓周率的浦豐投針模型是運(yùn)用移植法的一個例子 幾何概率和大數(shù)定理 問題描述 在平面上等距當(dāng)?shù)禺嬕恍┢叫芯€，相鄰兩條線的距離為a，向此平面任投一長度為l(la)的針 用x表示針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離，表示針與平行線的交角,建模的邏輯方法,建模的邏輯方法,針與線相交的條件是,建模的邏輯方法,此針與任何一條平行線相交的概

5、率為：,例子,N個盒子m個球的方法總數(shù)問題 （麥克斯韋爾玻耳茲曼模型），球可分辨，每個盒子放球的數(shù)目無限制，方法總數(shù)為：,例子,（波司愛因斯坦分布）球不可分辨，每個盒子容納的球數(shù)沒有限制，方法總數(shù),例子,費(fèi)米狄拉克模型，球不可分辨，每個盒子至多裝一個球，方法總數(shù)為,概率論基礎(chǔ),相對頻率定義 執(zhí)行一個經(jīng)驗若干次，每一次叫一個考驗。在一個考驗中，觀察事件A是否發(fā)生 事件A的概率P(A)定義,概率論基礎(chǔ),條件概率 在某種事件條件下的概率 條件的影響是刪除樣本空間的一些結(jié)果 假定事件B已經(jīng)發(fā)生，事件A的條件概率P(A|B)定義為,概率論基礎(chǔ),乘法定理 設(shè)P(A) 0，有條件概率定義有 設(shè)A1,A2,A

6、n為n個事件，且P(A1A2An-1)0，有,概率論基礎(chǔ),全概率公式：給定一組互斥事件E1, E2, , En，這些事件的并覆蓋所有可能結(jié)果，一個任意事件A的總概率為,概率論基礎(chǔ),貝葉斯（Bayes）公式,后驗概率，反過來計算已知“結(jié)果”而它是某個“原因”產(chǎn)生的條件概率,概率論基礎(chǔ),例 傳輸一組0和1的信號 S0和S1分別是在給定時間一個0和一個1被傳送的事件 R0和R1分別是在給定時間一個0和一個1被接收的事件 傳輸源的概率，P(S1)p，P(S0)1 p P(R0|S1) = pa和P(R1|S0) = pb 給定一個0被收到而一個1被發(fā)送的條件概率？,概率論基礎(chǔ),使用貝葉斯公式有：,概率

7、論基礎(chǔ),隨機(jī)變量是一個試驗所有可能輸出事件集合(樣本空間)向?qū)崝?shù)的一個映射 隨機(jī)變量映射輸出事件到實數(shù)是給事件一個數(shù)值解釋 一個試驗連同許多可能結(jié)果，一個隨機(jī)變量對每一個結(jié)果分配一個值,概率論基礎(chǔ),連續(xù)的隨機(jī)變量X：分布函數(shù)F(x)和密度函數(shù)f(x) 分布函數(shù) 密度函數(shù),概率論基礎(chǔ),離散的隨機(jī)變量X 密度函數(shù) 分布函數(shù),概率論基礎(chǔ),隨機(jī)變量數(shù)字的特性 數(shù)學(xué)期望 連續(xù)情況 離散情況,概率論基礎(chǔ),方差 標(biāo)準(zhǔn)差,概率論基礎(chǔ),方差和標(biāo)準(zhǔn)差是圍繞著數(shù)學(xué)期望值的偏離的測量。對于一個常數(shù)a，我們有 對于兩個隨機(jī)變量X和Y，有,概率論基礎(chǔ),重要分布 指數(shù)分布 具有參數(shù)( 0)的指數(shù)分布 密度函數(shù) 分布函數(shù),概

8、率論基礎(chǔ),數(shù)學(xué)期望等于標(biāo)準(zhǔn)離差 指數(shù)分布即有無后效性（無記憶特性或馬爾可夫特性） 當(dāng)涉及一個服務(wù)時間時，分布就假定作為一個指數(shù)分布隨機(jī)變量,概率論基礎(chǔ),無記憶性,概率論基礎(chǔ),例子 已知一個元器件使用了s小時，它總共能使用s+t小時的概率 與從開始算起它至少能使t小時的概率相等 元器件對它已使用過的s小時沒有記憶,概率論基礎(chǔ),如果兩次輸入（到達(dá)）的時間間隔是服從指數(shù)分布的，無記憶特征意味著等待一個新到達(dá)的時間與我們已經(jīng)等待的時間是無關(guān)的 離散型隨機(jī)變量的概率分布中，只有幾何分布具有無后效性 連續(xù)性隨機(jī)變量的概率分布中，只有指數(shù)分布具有無后效性,概率論基礎(chǔ),在排隊論中，常假定排隊系統(tǒng)中服務(wù)器的服務(wù)

9、時間是指數(shù)分布的 在隨機(jī)Petri網(wǎng)中，變遷的實施速率也通常假設(shè)為指數(shù)分布 使用指數(shù)分布可以簡化系統(tǒng)性能的分析,概率論基礎(chǔ),泊松(Poisson)分布 具有參數(shù)( 0)的泊松分布，它在0, 1, 時取值,概率論基礎(chǔ),如果 1且不是整數(shù)，那么對于小于的最大整數(shù), p(X = k)最大 如果是正整數(shù)，那么在k = 和k = - 1時存在兩個最大整數(shù) 一般都要假定任務(wù)的到來是泊松分布的，通常是有效的,概率論基礎(chǔ),泊松分布作為到達(dá)速率的方法可描述如下。如果到達(dá)是一個泊松過程，可以表達(dá)為 p(在時間間隔T有k個顧客到達(dá)) 在時間間隔T顧客到達(dá)的期望數(shù)量 = T,概率論基礎(chǔ),平均到達(dá)速率(顧客數(shù)量/秒)

10、根據(jù)泊松過程發(fā)生的到達(dá)經(jīng)常被認(rèn)為是隨機(jī)到達(dá)。一個顧客在一個小的時間間隔內(nèi)到達(dá)的概率是與這個間隔的長度成正比的，而且是與從上一個顧客的到達(dá)到離開的時間總量無關(guān),概率論基礎(chǔ),具有參數(shù)和( 0)的正態(tài)分布有如下密度函數(shù),概率論基礎(chǔ),在一般條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和或均值基本上是一個正態(tài)分布 這個結(jié)果是中心限定理論，在統(tǒng)計中有很重要作用,概率論基礎(chǔ),多隨機(jī)變量 一個變量的變化對其他變量的影響 一些相關(guān)性的重要測量 分布函數(shù) 密度函數(shù),概率論基礎(chǔ),離散分布函數(shù) 對于任意兩個隨機(jī)變量X和Y,概率論基礎(chǔ),如果F(x,y) = F(x)F(y)且因此f(x,y) = f(x)f(y)，兩個隨機(jī)變量X和Y叫做統(tǒng)計無關(guān) 如果隨機(jī)變量X和Y是離散的它們是統(tǒng)計無關(guān)的條件是p(x,y) = p(x)p(y) 對于無關(guān)隨機(jī)變量，有如下關(guān)系 EXY = EX EY 和VarX + Y = VarX + VarY,概率論基礎(chǔ),兩個隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差(Covariance)定義如下 X和Y的相關(guān)系數(shù)定義如下：,概率論基礎(chǔ),隨機(jī)變量的函數(shù)分布 在一些試驗中，所關(guān)心的隨機(jī)變量不能直接測到，而是某個能測到的隨機(jī)