1、第二講簡單幾何體的表面積和體積,重點難點 重點：柱、錐、臺、球的表面積與體積公式及其應(yīng)用 難點：公式的靈活運用,知識歸納 1S直棱柱側(cè)ch(其中直棱柱的底面周長為c，高為h) 2S正棱錐側(cè) ch nah(其中a、c、n、h分別為正棱錐底面的邊長、周長、邊數(shù)和正棱錐的斜高) 3如果正棱臺的上、下底面的周長是c、c，斜高是h，那么它的側(cè)面積是S正棱臺側(cè) (cc)h 4棱柱的全面積等于側(cè)面積與兩底面積的和；棱錐的全面積等于底面積與側(cè)面積的和；棱臺的全面積等于側(cè)面積與兩底面積的和,5球的表面積S4R2(R為球半徑) 6圓柱的側(cè)面積S2Rh(R、h分別為圓柱的底面半徑和高) 圓錐的側(cè)面積SRl(R、l分

2、別為圓錐底半徑和母線長) 7祖暅原理的應(yīng)用：等底面積、等高的柱體(或錐體)體積相等 8柱體體積V柱Sh.特殊地，圓柱體積Vr2h. 9錐體體積V錐,12棱錐的平行于底面的截面性質(zhì)：棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面相似，相似比等于截得小棱錐與原棱錐的對應(yīng)邊(側(cè)棱、高)的比面積比等于相似比的平方，若棱錐為正棱錐，則兩底面對應(yīng)半徑的比、對應(yīng)邊的比、對應(yīng)邊心距的比、斜高的比都等于相似比,誤區(qū)警示 棱錐、棱臺、圓錐、圓臺的平行于底面的截面性質(zhì)的基礎(chǔ)是相似形的知識，要分清究竟是哪個量和哪個量對應(yīng),一、割補法 割補法是割法與補法的總稱補法是把不熟悉的(或復(fù)雜的)幾何體延伸或補成熟悉的(或簡單的)幾何體

3、，把不完整的圖形補成完整的圖形割法是把復(fù)雜的幾何體切割成簡單的幾何體割與補是對立統(tǒng)一的，是一個問題的兩個方面,例1已知ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA1與CC1的中點，求四棱錐A1EBFD1的體積 分析：直接求四棱錐A1EBFD1的體積難以入手，把四棱錐分割為兩個三棱錐FA1ED1和FA1EB，而這兩個三棱錐體積都易求,解析：如圖所示，連結(jié)EF，則 VA1EBFD1VA1EFD1VA1EFBVFA1ED1VFA1EB SA1ED1C1D1 SA1EBC1B1,二、轉(zhuǎn)化思想 例2如圖所示，正四面體ABCD的外接球的體積為4 ，求正四面體的體積 分析：設(shè)法尋求正四面體

4、的棱長與球的半徑之間的關(guān)系,設(shè)AE為球的直徑故ADDE，AEO1D.,方法2：將正四面體ABCD置于正方體中 正四面體的外接球即為正方體的外接球，正方體的對角線長為球的直徑,總結(jié)評述：1.對于某些簡單幾何體的組合體問題，一般是通過作出截面，使構(gòu)成組合體的各簡單幾何體的元素，相對地集中在一個平面圖形中以達到空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化思想是解決立體幾何問題的重要思想 2方法2中，四面體的體積可間接由正方體的體積減去四個全等的小棱錐的體積獲得,三、等積變換 例3已知直三棱柱ABCA1B1C1，用一個平面去截它，得截面A2B2C2，且AA2h1，BB2h2，CC2h3(如圖)，若棱柱的底面面積

5、為S，試求截面與棱柱下底面之間的幾何體的體積V. 解析：由于棱柱的截面與底面不平行，因此，介于截面與下底面之間的幾何體不是常見的柱、錐、臺這類簡單體為了求它的體積，我們不妨用平面把它分割成幾個小棱錐，分別求出體積后再相加,如圖所示，連結(jié)AB2、CB2，作BEAC于E.設(shè)ACm，BEh. 由已知，側(cè)面A1ACC1底面ABC， BE側(cè)面A1ACC1，即BE是棱錐B2A2ACC2的高 VVB2A2ACC2VB2ABC,點評：在求某幾何體的體積時，經(jīng)常采用“割補法”和“等積變換”等方法，設(shè)法實現(xiàn)復(fù)雜向簡單，未知向已知的轉(zhuǎn)化請讀者想一想，此題還可以用什么方法解？,四、卷起、折疊與展開 例4矩形ABCD中

6、，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折起，使平面DAC平面ABC，則四面體ABCD的外接球的體積為(),解析：如圖，O是AC的中點，且有O到A、B、C、D四點距離相等 折疊問題要弄清折疊前后，圖形的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系哪些發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化,例1如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE、BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為(),解析：如圖所示，過BC作與EF垂直的截面BCG，做面ADM面BCG，F(xiàn)O,(09湖北)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACC160，BCC145，側(cè)棱CC1的長為1，則該三棱柱的高等于(),解析

7、：如圖，作C1O底面ABC于點O，過OEBC于E，作OFAC于F，連結(jié)C1E、C1F.可知C1FFC，C1EBC.,根據(jù)已知條件可得 答案：A,例2(08江西)如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P(圖2)有下列四個命題：,正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半 將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點P 任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P 若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿 其中真命題的代號是：_(寫出所有真命題的代號) 解析：依題意，a升水為容器容積的一半

8、，故是真命題，是假命題；又容器里面相對四個側(cè)面是對稱的，而上下不對稱，故是真命題，是假命題 答案：,設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點，且PAQC1，則四棱錐BAPQC的體積為(),解析：如圖所示，作BOAC， BO面ACC1A1. 柱體體積V ACBOAA1， VBAPQC (APCQ)ACBO 答案：C,例3正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(ab) (1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45，求棱臺的側(cè)面積； (2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面積之和，求它的高,解析：(1)如圖，設(shè)O1、O分別為上、下底面的中心，過C1作C1EAC于E，

9、過點E作EFBC于F，則C1F為正四棱臺的斜高,由題意知C1CO45，CECOEOCOC1O1,例4底半徑為1，高為的圓錐，其內(nèi)接圓柱的底面半徑為R，當(dāng)R為何值時，內(nèi)接圓柱的體積最大？,解析：軸截面如圖，設(shè)圓柱高為h，由圓錐的平行于底面的截面性質(zhì)得： 點評：也可以利用導(dǎo)數(shù)求其最值,圓柱的側(cè)面展開圖是長12cm，寬8cm的矩形，則這個圓柱的體積為(),解析：分兩種情況 (1)12為底面圓周長，則2r12，r ， V (2)8為底面圓周長，則2r8，r ， V 答案：C,例5木星的體積約是地球體積的240倍，則它的表面積約是地球表面積的() 解析：設(shè)木星半徑為r1，地球半徑為r2，,例6已知球的半

10、徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？,解析：作軸截面如圖，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S， 當(dāng)且僅當(dāng)r2R2r2時取等號，此時內(nèi)接圓柱底面半徑為 最大側(cè)面積等于2R2.,如圖所示，三棱錐ABCD的兩條棱ABCD6，其余各棱長均為5，則該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為_,解析：設(shè)CD中點為E， ACAD，AECD， 同理由BCBD，求得BE4. 在ABE中，AB6，AEBE4.,又該三棱錐四個側(cè)面全等，表面積S4SACD48， 設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則,例7(理)四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面垂直，又底面ABCD為矩

11、形，E是PD中點 (1)求證：PB平面ACE； (2)若PBAC，且PA2，求三棱錐EPBC的體積,解析：(1)設(shè)矩形ABCD對角線AC與BD交點為O，則O為BD中點，又E為PD中點，EOPB， PB平面ACE，EO平面ACE，PB平面ACE.,(2)作PF平面ABCD，垂足為F，則F在AD上， 又PAPD，F(xiàn)為AD中點，連結(jié)BF交AC于M， PF平面ABCD，AC平面ABCD，ACPF， 又ACPB，PBPFP，AC平面PBF，,ACBF，ADPA2，AFFD1，BC2， AMFADC，,點評：等積變換問題，立體幾何平面幾何的轉(zhuǎn)化 利用直線PD與平面PBC相交，E為PD中點，點E到平面PBC

12、距離等于點D到平面PBC距離的一半，得VEPBC VDPBC；利用三棱錐變換底面與高得VDPBCVPBCD；利用三棱錐的高不變，底面積變成原來的2倍，則體積也為原來的2倍得VPBCD VPABCD.,(理)(08寧夏、海南)如下的三個圖中，上面是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出(單位：cm),(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； (2)按照給出的尺寸，求該多面體的體積； (3)在所給直觀圖中連結(jié)BC，證明：BC平面EFG.,解析：(1)如圖,(2)所求多面體體積VV長方體V正三棱錐,(3)如圖，在長方體ABCDABCD中，連結(jié)AD，則

13、ADBC.因為E，G分別為AA，AD的中點，所以ADEG，從而EGBC， 又BC平面EFG，所以BC面EFG.,一、選擇題 1(文)一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為() 答案B 解析球的半徑R S4R28.故選B.,(理)一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是() 答案C 解析過頂點S作SO底面ABC于O，由已知O為球心，且O為正ABC的中心，則OBOS1，易求底邊長為,2如果球、正方體與等邊圓柱(底面直徑與高相等)的表面積相等，那么它們的體積V球、V正方體、V柱的大小關(guān)系為() AV球V正方體V柱 BV球V柱V正方體 CV 柱V球V正方體 DV正方體V柱V球 答案D,解析設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，則6a24R26r2，,二、填空題 3(文)一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1、2、3，則此球的表面積為_ 答案14 解析設(shè)球的半徑為R，則長方體的體對角線長等于外接球直徑， 4R212223214， S4R214.,(理)若一個底面邊長為 的正六棱柱的所有頂點都在一個球的球面上，則此球的體積為_ 解析由已知可得此正六棱柱的最長的體對角線，即球的直徑為,4已知直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱和底