1、第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì),1直線與平面垂直,任意,垂直,(1)直線與平面垂直定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，并 且和這個(gè)平面內(nèi)的_一條直線都_，那么這條直線和這個(gè) 平面垂直 (2)直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的 兩條_直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面 (3)直線與平面垂直性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線,_,平行,相交,2平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面，叫 做互相垂直的平面 (2)平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平,面的_，那么這兩個(gè)平面互相垂直,垂線,(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互

2、相垂直，那 么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面 3直線與平面所成的角 (1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，則直線與平面所成的 角等于 0.,交線,(2)如果直線和平面垂直，則直線與平面所成的角等于 90. (3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線 與平面所成的角，其范圍是(0，90)斜線與平面所成的_ 是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最_的角,4二面角,線面角,小,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖象叫做二面角從二 面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條 射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角,的二面角叫做_,直二

3、面角,1垂直于同一條直線的兩條直線一定(,),D,A平行 C異面,B相交 D以上都有可能,2A，B 為空間兩點(diǎn)，l 為一條直線，則過(guò) A，B 且垂直于 l,的平面(,),B,A不存在 C有且只有 1 個(gè),B至多 1 個(gè) D有無(wú)數(shù)個(gè),3若 P 是平面外一點(diǎn)，則下列命題正確的是(,),D,A過(guò) P 只能作一條直線與平面相交 B過(guò) P 可作無(wú)數(shù)條直線與平面垂直 C過(guò) P 只能作一條直線與平面平行 D過(guò) P 可作無(wú)數(shù)條直線與平面平行 4如圖 1351，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論,D,圖 1351,中正確的個(gè)數(shù)是( ) BD1AC； BD1A1C1； BD1B1C.,A0 個(gè),B1

4、個(gè),C2 個(gè),D3 個(gè),5給定下列四個(gè)命題： 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩 個(gè)平面相互平行； 若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互 垂直； 垂直于同一直線的兩條直線相互平行； 若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的 直線與另一個(gè)平面也不垂直,其中，為真命題的是(,),D,A和,B和,C和 D和,考點(diǎn)1,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),例1：如圖 352，已知矩形 ABCD，過(guò) A 作 SA平面 AC， 再過(guò) A 作 AESB 于 E 點(diǎn)，過(guò) E 作 EFSC 交 SC 于 F 點(diǎn) (1)求證：AFSC (2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求證：A

5、GSD. 圖 1352,解析：(1)證明：因?yàn)锽C面 SAB，且 AE 在面 SAB 內(nèi)， 所以 AEBC.,又因?yàn)?AESB，SBBCB， 所以 AE面 SBC.,而 SC 在面 SBC 內(nèi)， 所以 AESC.,又因?yàn)?EFSC，EFAEE， 所以 SC面 AEF.,而 AF 在面 AEF 內(nèi)，所以 AFSC.,直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平 面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直，通過(guò)直線與平面位 置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來(lái)處理有關(guān)垂直的問(wèn)題出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，平行要 聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn)圓周上的 點(diǎn)時(shí)，聯(lián)想直徑所對(duì)圓周角為直角,【互動(dòng)探究】 1如圖 1353，PA O 所在

6、的平面，AB 是O 的直徑， C 是O 上的一點(diǎn)，E，F(xiàn) 分別是 A 在 PB，PC 上的射影，給出下,面結(jié)論，其中正確命題的個(gè)數(shù)是(,),B,圖 1353,AFPB；EFPB； AFBC；AE平面 PBC.,A2 個(gè) C4 個(gè),B3 個(gè) D5 個(gè),解析：正確，又 AF平面 PBC，錯(cuò)誤,考點(diǎn)2,平面與平面垂直的判定與性質(zhì),例 2：(2011 年江蘇)如圖 1354，在四棱錐 PABCD 中， 平面 PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP， AD 的中點(diǎn) 求證：(1)直線 EF平面 PCD； (2)平面 BEF平面 PAD 圖 1354,證明：(1)E，F(xiàn) 分別是AP，AD

7、 的中點(diǎn)，EFPD. 又PD面 PCD，EF 面 PCD， 直線 EF平面 PCD.,(2)ABAD，BAD60，F(xiàn) 是AD 的中點(diǎn)， BFAD.,又平面 PAD平面 ABCD，面PAD面 ABCDAD， BF面 PAD.,平面 BEF平面PAD.,BF AD BF面PAD( 因?yàn)槠矫鍼AD平面 ABCD)平面BEF平面PAD(因?yàn)?BF平面BEF)前者利用面 面垂直的性質(zhì)定理，后者利用面面垂直的判定定理,【互動(dòng)探究】,2(2011 年浙江)下列命題中錯(cuò)誤的是(,),D,A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平 面 B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線 垂直于平面 C如果平面

8、平面，平面平面，l，那么 l平面 D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平 面 解析：因?yàn)槿暨@條線是平面和平面的交線l，則交線l 在平面 內(nèi)，明顯可得交線l 在平面內(nèi)，所以交線l 不可能垂直于平面，平 面內(nèi)所有直線都垂直于平面是錯(cuò)誤的,考點(diǎn)3,線面所成的角,例 3：如圖 1355，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，求A1B 與平面A1B1CD所成的角 圖 1355,求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是：(1) 先判斷直線和平面的位置關(guān)系(2)當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常有以 下步驟：作作出或找到斜線與射影所成的角；證論證所 作或找到的角為所求的角；算常用解三角形的方法求角； 結(jié)論點(diǎn)明斜線和

9、平面所成的角值,【互動(dòng)探究】 3如圖 1356，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中，ABBC,2，AA11，則 AC1 與平面 A1B1C1D1所成角的正弦值為(,),圖 1356,圖 D27,答案：D,考點(diǎn)4,立體幾何中的探索性問(wèn)題,例 4：(2011 年廣東茂名一模)如圖 1357，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，BAD60，Q 為 AD 的中點(diǎn) (1)若 PA PD，求證：平面 PQB平面 PAD； (2)點(diǎn) M 在線段 PC 上，PMtPC，試確定 t 的值，使 PA 平 面 MQB. 圖 1357,解析：(1)如圖1358，連接 BD，四邊形 ABCD 菱形，,

10、BAD60，,ABD 為正三角形又Q 為 AD 中點(diǎn)，ADBQ. PA PD，Q 為 AD 的中點(diǎn)，ADPQ. 又 BQPQQ，AD平面 PQB. 又 AD平面 PAD，,平面 PQB平面 PAD.,圖1358,探索性問(wèn)題是一種具有開(kāi)放性和發(fā)散性的問(wèn)題， 此類題目的條件或結(jié)論不完備要求解答者自己去探索，結(jié)合已 有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、 數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力提出了較高的要求它有利 于培養(yǎng)學(xué)生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力， 使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的全過(guò)程,【互動(dòng)探究】 4(2011 年廣東深圳一模)如圖 1359，在四

11、棱錐 SABCD 中，ABAD，AB/CD，CD3AB，平面SAD平面ABCD，M 是 線段 AD 上一點(diǎn)，AMAB，DMDC，SMAD. (1)證明：BM平面 SMC；,圖 1359,(1) 證明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCD,AD，,SM平面 SAD，SMAD， SM平面 ABCD.,BM平面 ABCD, SMBM.,四邊形 ABCD 是直角梯形，AB/CD，AMAB，DMDC， MAB，MDC 都是等腰直角三角形，,AMBCMD45，BMC90.BMCM. SM平面 SMC，CM平面 SMC，SMCMM， BM平面 SMC.,(2)解：三棱錐 CSBM 與三棱錐SCBM

12、 的體積相等， 由( 1 ) 知 SM平面 ABCD，,1證明線面垂直的方法,(1)用線面垂直的定義：若一直線垂直于平面內(nèi)任一直線，這,條直線垂直于該平面,(2)用線面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交,直線，這條直線垂直于該平面,(3)用線面垂直的性質(zhì)定理：若兩平行直線之一垂直于平面，,則另一條直線也垂直于該平面,(4)用面面垂直的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi),垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面,(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么也垂直,于另一個(gè)平面,(6)如果兩個(gè)相交平面都和第三個(gè)平面垂直，那么相交平面的,交線也垂直于第三個(gè)平面,2判定面面垂直的方法,(

13、1)定義法：首先找二面角的平面角，然后證明其為直角 (2)用面面垂直的判定定理：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條,垂線,3垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，是判定兩條直線平行 的又一重要方法，是實(shí)現(xiàn)空間中平行關(guān)系和垂直關(guān)系在一定條件 下相互轉(zhuǎn)化的一種手段,4本節(jié)教材中線面垂直的性質(zhì)定理的證明用到反證法，反證 法屬邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否 定等于肯定”，其中第一個(gè)否定是指否定結(jié)論，第二個(gè)否定是指 “邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”,5常用定理：(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直 (2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直；,(3)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂,直于第二個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi),1面面垂直的性質(zhì)定理是