1、3.3.1幾何概率1.理解幾何概率的定義和特征。(要點)2.掌握幾何概率的計算方法和求解步驟，準確地將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題。(困難)3.與長度和角度相關的幾何概率問題(容易混合的點)基礎探索教科書安排1幾何概括閱讀包含1個以上案例的教材P135P136，完成下列問題。1.幾何概率的定義如果每個事件的概率只與事件區(qū)域的長度(面積或體積)成正比，那么這個概率模型就叫做幾何概率模型，簡稱幾何概率模型。2.幾何概率的特征(1)測試中有無數(shù)可能的結(jié)果(基本事件)。(2)每個基本事件的概率相等。3.幾何概率的概率公式P(A)=。1.判斷(正確鍵入“”和“錯誤鍵入”)(1)幾何概率的概率與構(gòu)成事件的區(qū)

2、域的形狀無關。()(2)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在(0，1)以內(nèi)。()(3)幾何概率有許多基本事件。()回答 (1) (2) (3)。2.如圖所示，有四個游戲盤。水平穩(wěn)定后，向它們?nèi)右粋€小玻璃球。如果球落在陰影里，你就能贏得獎品。如果小明想增加獲勝的機會，他應該選擇的游戲盤是()【解析】a獲勝概率為，b獲勝概率為，c獲勝概率為，d獲勝概率為，所以選擇a .回答答3.如果在區(qū)間-1，2內(nèi)隨機取一個數(shù)x，則|x|1的概率為_ _ _ _ _ _。分辨率*區(qū)間-1，2的長度為3，x-1，1由|x|1得到，而區(qū)間-1，1的長度為2，x的每個值都是隨機的，從-1，2中取一回答教材編排2均勻分布閱讀

3、教材P136的示例1及以下內(nèi)容，完成以下問題。當x是區(qū)間a，b中的任意實數(shù)并且同樣可能時，我們說x服從a，b中的均勻分布，x是a，b中的均勻隨機數(shù)。X服從3，40上的均勻分布，所以X的值不能等于()A.15 B.25C.35D.45因為X3，40，那么3X40，那么X45。因此，d .答案 D小組合作類型與長度相關的幾何概率公共汽車每15分鐘到達一個汽車站，乘客到達車站的時間是任意的。獲得乘客到達車站后等待超過10分鐘的概率。亮點乘客將在末班車離開后5分鐘內(nèi)到達車站，等待時間將超過10分鐘。嘗試求解如果最后一輛車在時間T1到達，下一輛車在時間T2到達，那么線段T1T2的長度是15，假設t是線段

4、T1T2上的點，并且t1t=5，t2t=10，如圖所示?！暗却龝r間超過10分鐘”被視為事件A，當乘客到達車站的時間T落在線段T1T(不包括終點)時，事件A發(fā)生。P(A)=，也就是說，乘客等待超過10分鐘的概率是。在求解與長度相關的幾何概率時，首先找出由所有實驗結(jié)果組成的區(qū)域D，當區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段時，再找出與事件a發(fā)生相對應的區(qū)域D .在尋找區(qū)域D的過程中，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點是否得到并不影響事件a發(fā)生的概率.再練習一個問題1.紅燈亮30秒，黃燈亮5秒，綠燈亮40秒。當你到達十字路口時，看到以下三種情況的概率是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)紅燈不亮?！?/p>

5、解決方案】在75秒內(nèi)，十字路口隨時都有可能亮起來，這屬于幾何概率。(1)P=。(2)P=。(3)P=，或者p=1-p(紅燈)=1-=。與面積相關的幾何概率有一個等邊三角形網(wǎng)格，其中每個最小的等邊三角形的邊長為4厘米。直徑等于2厘米的硬幣扔在這個格子上，計算硬幣落下后與格子沒有共同點的概率。奇妙的指向當且僅當硬幣中心和網(wǎng)格之間的距離大于半徑1時，硬幣和網(wǎng)格之間在下落后沒有公共點。一條距離正三角形三邊1的直線形成一個小的等邊三角形。當硬幣的中心在小的等邊三角形中時，硬幣和網(wǎng)格之間沒有公共點，因此硬幣的中心落在小的等邊三角形中的問題被轉(zhuǎn)化。試解讓a=硬幣下落后與網(wǎng)格之間沒有公共點，如圖所示，在等邊三

6、角形內(nèi)制作一個小的等邊三角形，使其三條邊與原等邊三角形的三條邊之間的距離為1，那么等邊三角形的邊長為4-2=2，這可以從幾何概率公式中得到：P(A)=。幾何概率的特征是基本事件的數(shù)量是無限的，但可以用數(shù)形結(jié)合的方法巧妙地解決，即構(gòu)造隨機事件對應的幾何圖形，用圖形的幾何度量來計算隨機事件的概率。再練習一個問題2.如圖331所示，等腰直角三角形的右側(cè)長度為2，以三個頂點為中心，以1為半徑在三角形中形成一個弧，三個弧和斜邊圍成一個區(qū)域m(圖中的白色部分)。如果點p是從三角形中隨機選取的，那么點p落在區(qū)域m內(nèi)的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ _。圖331【分析】從問題的含義來看，圖中陰影部分的面

7、積相當于半徑為1的半圓面積，即陰影部分的面積為2，所以面積為2。因此，概率為=1-。答案 1-與體積相關的幾何概率一只蜜蜂在邊長為3的立方體中自由飛翔。如果蜜蜂在飛行過程中與立方體的六邊之間的距離總是大于1，則稱之為“安全飛行”，并尋找蜜蜂“安全飛行”的概率?！久铧c】用體積比來計算概率?！驹嚱狻扛鶕?jù)問題的意思，取邊長為3的立方體中的任意一點，該點到每個面的距離大于1。滿足問題含義的點區(qū)域是：位于立方體中心的邊長為1的小立方體。根據(jù)幾何概率的概率公式，滿足問題含義的概率可以得到如下：P=。與體積有關的幾何概率問題的解：(1)如果由所有試驗結(jié)果形成的面積可以用體積來測量，其概率的計算公式為：P(A

8、)=。(2)要解決這類問題，必須注意幾何概率的條件，特別注意概率是與體積還是長度有關，不要混淆兩者。再練習一個問題3.在這種情況下，條件不變，從蜜蜂飛向立方體頂點的距離小于的概率。【解答】一個點到點A的距離小于的點在一個有中心和半徑的球內(nèi)，并且該點必須在一個已知的立方體內(nèi)。滿足問題含義的點a的面積體積是3。所以p=。調(diào)查研究類型幾何概率與經(jīng)典概率的異同探索1經(jīng)典概率和幾何概率有什么相似和不同之處？【提示】相似性：經(jīng)典概率和幾何概率中每個基本事件的概率是相等的。差異：經(jīng)典概率要求隨機試驗中基本事件的總數(shù)必須是有限的；幾何概率要求隨機測試中基本事件的數(shù)量是無限的，用幾何概率解決的問題一般都與幾何知

9、識有關。2 p (a)=0a是不可能的事件，p (a)=1a是不可避免的事件，這是真的嗎？提示 (1)無論是經(jīng)典概率還是幾何概率，如果A是一個不可能的事件，那么P (a)=0絕對是真的；如果A是不可避免的事件，那么P (A)=1肯定是真的。(2)在經(jīng)典概率中，如果事件a的概率p (a)是0，那么a是不可能的事件；如果事件A的概率p(A)=1，那么A就是一個不可避免的事件。(3)在幾何概率中，如果事件A的概率p(A)=0，那么A不一定是不可能的。例如，如果事件A對應于數(shù)軸上的一個點，則其長度為0，并且該點出現(xiàn)的概率為0，但是事件A不是不可能的；同樣，如果公共關系妙指 (1)取區(qū)間-2，2中的兩個

10、整數(shù)X和Y，有序數(shù)對(X，Y)是有限的，應該用經(jīng)典概率求解；(2)取區(qū)間-2，2中的兩個實數(shù)X，Y，有序數(shù)對(X，Y)是無限的，可以用幾何概率求解。試解 (1)在區(qū)間-2，2中，選擇兩個整數(shù)x和y形成有序數(shù)對(x，y)，其中13個在滿足x2 y2 4的圓上或圓中(如圖所示)，p=0。(2)在區(qū)間-2，2中，取兩個實數(shù)x和y組成有序數(shù)對(x，y)，整個區(qū)域是邊長為4的正方形區(qū)域，其中X2 Y2 4是圖中的陰影區(qū)域(如圖所示)，S Yin= 22=4， P=。經(jīng)典概率與幾何概率的區(qū)別在于經(jīng)典概率的基本事件總數(shù)是有限的，而幾何概率的基本事件總數(shù)是無限的，所以我們在解題時要仔細考查問題，注意區(qū)分。再練

11、習一個問題4.在下列概率模型中，幾何概率的數(shù)量是()(1)從區(qū)間-10，10中取一個數(shù)，計算概率為1；(2)從區(qū)間-10，10中取任意數(shù)，計算絕對值不大于1的數(shù)的概率；取區(qū)間-10，10中的一個整數(shù)，得到大于1但小于2的數(shù)的概率；將一個點扔進邊長為4厘米的正方形中，計算該點距離中心不超過1厘米的概率。A.1B.2C.3D.4【分析】中的概率模型不是幾何概率類型。雖然區(qū)間-10，10中有無數(shù)的數(shù)字，但得到“1”只是一個數(shù)字，不能構(gòu)成區(qū)間長度；(2)在(2)中的概率模型是幾何概率，因為在區(qū)間-10，10和區(qū)間-1，1中有無數(shù)個數(shù)，并且在這兩個區(qū)間中每個數(shù)被獲得的概率是相等的；中的概率模型不是幾何概

12、率，因為區(qū)間-10，10中只有21個整數(shù)，這是有限的；(4)在(4)中的概率模型是幾何概率，因為在邊長為4厘米的正方形和半徑為1厘米的圓形中有無數(shù)的點，并且在這兩個區(qū)域中任何點被投射的概率是相同的?；卮鹨?.旋轉(zhuǎn)圖中的每個轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色區(qū)域的概率最高()分辨率d中紅色區(qū)域的面積是圓的一半，其面積大于a、b和c中的面積，因此指針指向的概率最高。答案 D2.一只螞蟻在地磚上爬上爬下(除了顏色都一樣)，如圖332所示。它最終停留在黑色地磚(陰影部分)上的概率為()圖332A.B.C.D.解決方案從標題圖中，我們可以看到地磚總數(shù)為12塊，其中有4塊黑色地磚。因此，停留在黑色地磚上的概率為=?；卮鸫?.如果在半徑為1的圓中隨機投出一個點，該點落在圓的內(nèi)切圓中的概率為()A.B.C.D.【分析】一個點落在圓的任何位置都是可能的，而落在圓內(nèi)接的正方形中只與面積有關，與位置無關，符合幾何概率特征。如果圓內(nèi)接正方形的對角線長度等于2，那么正方形的邊長就是。圓形面積為，正方形面積為2，p=0?；卮鹨?.如果函數(shù)f (x)=-x2 2x，x-1，3，取任意點x0-1，3，那么f(x0)0的概率為_ _ _ _ _?！痉治觥扛鶕?jù)問題的含義，解是0x02，所以取任意點x0-1，3使f(x0)0 p=的概率?；卮?.在1