1、第二章 空間向量與立體幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，會(huì)用數(shù)量積解決垂直問(wèn)題、夾角問(wèn)題.3.理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示.4.會(huì)用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量.5.會(huì)用向量法解決立體幾何問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi)mabakb，kR線面平行l(wèi)_面面平行v_線線垂直lm_線面垂直laak，kR面面垂直v_線線夾角l，m的夾角為(0)，cos _線面夾角l，的夾角為(0)，sin _面面夾角，的夾角為(0)，cos

2、_知識(shí)點(diǎn)二用坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；(3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；(4)寫(xiě)出幾何意義下的結(jié)論.關(guān)鍵點(diǎn)如下：(1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定.將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的問(wèn)題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問(wèn)題.(3)幾何問(wèn)題與向量問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問(wèn)題都可以通過(guò)向量計(jì)算來(lái)解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類(lèi)問(wèn)題解決的關(guān)鍵.類(lèi)型一空間向量及其運(yùn)算例1如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為

3、1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：0；0；0；0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_.反思與感悟向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在平行六面體A1B1C1D1ABCD中，M分成的比為，N分成的比為2，設(shè)a，b，c，試用a、b、c表示.類(lèi)型二利用空間向量解決位置關(guān)系問(wèn)題例2在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證：(1)PC平面EBD.(2)平面PBC平面PCD.反思與感悟(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.(2

4、)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線.利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理.證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量.(4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量.證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)

5、，求證：平面AED平面A1FD1.類(lèi)型三利用空間向量求角例3如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由)；(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.反思與感悟用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為090，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cosn，a，再利用公式

6、sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn). (1)求證：GF平面ADE；(2)求平面AEF與平面BEC所成的銳角的余弦值.1.已知空間四邊形ABCD，G是CD的中點(diǎn)，則()等于()A. B. C. D.2.若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.0 C.1 D.23.已知向

7、量a(42m，m1，m1)與b(4,22m,22m)平行，則m_.4.已知平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則x，y，z滿足的關(guān)系式是_.5.已知空間三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.求向量a與向量b的夾角的余弦值.解決立體幾何中的問(wèn)題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題；基向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問(wèn)題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運(yùn)算結(jié)合起來(lái)使用.提醒：完成作業(yè)第二章章末復(fù)習(xí)課答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一aa0kv，kRabab0v0

8、題型探究例1跟蹤訓(xùn)練1解連接AN，則.由已知ABCD是平行四邊形，故ab，又M分成的比為，故(ab).由已知，N分成的比為2，故(c2b).于是(ab)(c2b)(abc).例2證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DCa，PDb，則D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E(0，).(1)(0，)，(a，a,0).設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則即令x1，得n(1，1，)，因?yàn)閚(a,0，b)(1，1，)0，所以n，故PC平面EBD.(2)由題意得平面PDC的一個(gè)法向量為(0，a,0)，

9、又(a，a，b)，(a,0，b).設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，則即得y10，令x11，則z1，所以m(1,0，)，因?yàn)閙(0，a,0)(1,0，)0，所以m，即平面PBC平面PCD.跟蹤訓(xùn)練2證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F(xiàn).(1,0,0)，.設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量，由得令y11，得m(0,1，2).又由得令z21，得n(0,2,1).mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.例3解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所

10、示，(2)作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EMAA18.因?yàn)镋HGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(xiàn)(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8).設(shè)n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，則即所以可取n(0,4,3).又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為.跟蹤訓(xùn)練3方法一(1)證明如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD. 又G是BE的中點(diǎn)，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DF

11、CD.由四邊形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.(2)解如圖，在平面BEC內(nèi)，過(guò)B點(diǎn)作BQEC.因?yàn)锽ECE，所以BQBE.又因?yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1).因?yàn)锳B平面BEC，所以(0,0,2)為平面BEC的法向量.設(shè)n(x，y，z)為平面AEF的法向量.又(2,0，2)，(2,2，1)，由得取z2，得n(2，1,2).從而|cosn，|，所以平面AEF與平面BEC所成的銳角的余弦值為.方法二(1)證明如圖，取AB中點(diǎn)M，連接MG，MF. 又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，得MFAD.又AD平面