1、第八章 離散模型,8.1 層次分析模型 8.2 循環(huán)比賽的名次 8.3 社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程 8.4 效益的合理分配,y,離散模型,離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、 ,分析社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具,只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識,8.1 層次分析模型,背景,日常工作、生活中的決策問題,涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素,作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化,Saaty于1970年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法,目標(biāo)層,O(選

2、擇旅游地),準(zhǔn)則層,方案層,一. 層次分析法的基本步驟,例. 選擇旅游地,如何在3個目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.,“選擇旅游地”思維過程的歸納,將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。,通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。,將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。,層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。,層次分析法的基本步驟,成對比較陣和權(quán)向量,元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度,設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)O的重要性,A成對比

3、較陣,A是正互反陣,要由A確定C1, , Cn對O的權(quán)向量,選擇旅游地,成對比較的不一致情況,允許不一致，但要確定不一致的允許范圍,考察完全一致的情況,成對比較陣和權(quán)向量,成對比較完全一致的情況,A的秩為1，A的唯一非零特征根為n,A的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量,A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量,對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w ，即,一致陣性質(zhì),成對比較陣和權(quán)向量,2 4 6 8,比較尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9,心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個,用13,

4、15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。,便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：,成對比較陣和權(quán)向量,一致性檢驗(yàn),對A確定不一致的允許范圍,已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為n,可證：n 階正互反陣最大特征根 n, 且 =n時為一致陣,定義一致性指標(biāo):,CI 越大，不一致越嚴(yán)重,為衡量CI 的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo) RI隨機(jī)模擬得到aij , 形成A，計算CI 即得RI。,定義一致性比率 CR = CI/RI,當(dāng)CR0.1時，通過一致性檢驗(yàn),Saaty的結(jié)果如下,“選

5、擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn),準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣,最大特征根=5.073,權(quán)向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指標(biāo),隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通過一致性檢驗(yàn),組合權(quán)向量,記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為,同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量,方案層對C1(景色)的成對比較陣,方案層對C2(費(fèi)用)的成對比較陣,最大特征根 1 2 n,權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3),組合權(quán)向量,RI=0.58 (n=3),

6、CIk 均可通過一致性檢驗(yàn),w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+ =0.300,方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)T,組合 權(quán)向量,第2層對第1層的權(quán)向量,第3層對第2層各元素的權(quán)向量,構(gòu)造矩陣,則第3層對第1層的組合權(quán)向量,第s層對第1層的組合權(quán)向量,其中W(p)是由第p層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣,層次分析法的基本步驟,1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型,深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。,2）構(gòu)造成對比較陣,

7、用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。,3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn),對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。,4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）,組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。,二. 層次分析法的廣泛應(yīng)用,應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。,處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。,建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。,構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。,例1 國家實(shí)力分析,例2 工作選

8、擇,例3 橫渡江河、海峽方案的抉擇,例3 橫渡江河、海峽方案的抉擇,例4 科技成果的綜合評價,三. 層次分析法的若干問題,正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？,怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？,為什么用特征向量作為權(quán)向量？,當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？,1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì),定理1 正矩陣A 的最大特征根是正單根，對應(yīng)正特征向量w，且,定理2 n階正互反陣A的最大特征根 n , = n是A為一致陣的充要條件。,2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算,精確計算的復(fù)雜和不

9、必要,簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。,和法取列向量的算術(shù)平均,精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,根法取列向量的幾何平均,冪法迭代算法,1）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度,2) 計算,3）歸一化,5) 計算,簡化計算,4）若 ，停止；否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)2,3. 特征向量作為權(quán)向量成對比較的多步累積效應(yīng),問題,一致陣A, 權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 應(yīng)選權(quán)向量w使wi/wj與 aij相差盡量小（對所有i,j)。,非線性 最小

10、二乘,線性化 對數(shù)最小二乘,結(jié)果與根法相同,按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。,成對比較,Ci:Cj (直接比較）,aij 1步強(qiáng)度,aisasj Ci通過Cs 與Cj的比較,aij(2) 2步強(qiáng)度,更能反映Ci對Cj 的強(qiáng)度,多步累積效應(yīng),體現(xiàn)多步累積效應(yīng),定理1,特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng),4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算,完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián),不完全層次結(jié)構(gòu),設(shè)第2層對第1層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3層對第2層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24

11、(3)T已得,討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計算第3層對第1層權(quán)向量w(3）的方法,例: 評價教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu),P1,P2只作教學(xué), P4只作科研, P3兼作教學(xué)、科研。,C1,C2支配元素的數(shù)目不等,不考慮支配元素數(shù)目不等的影響,仍用 計算,支配元素越多權(quán)重越大,用支配元素數(shù)目n1,n2對w(2)加權(quán)修正,若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T,公正的評價應(yīng)為： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 計算,支配元素越多權(quán)重越小,教學(xué)、

12、科研任務(wù)由上級安排,教學(xué)、科研靠個人積極性,考察一個特例：,5. 殘缺成對比較陣的處理,miA第i 行中的個數(shù),為殘缺元素,6. 更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu),遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無反饋和循環(huán)。,更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。,例,層次分析法的優(yōu)點(diǎn),系統(tǒng)性將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策系統(tǒng)分析（與機(jī)理分析、測試分析并列）；,實(shí)用性定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；,簡潔性計算簡便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。,層次分析法的局限,囿舊只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)

13、生新方案；,粗略定性化為定量，結(jié)果粗糙；,主觀主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。,8.2 循環(huán)比賽的名次,n支球隊(duì)循環(huán)賽，每場比賽只計勝負(fù)，沒有平局。,根據(jù)比賽結(jié)果排出各隊(duì)名次,方法1：尋找按箭頭方向通過全部頂點(diǎn)的路徑。,312456,146325,方法2：計算得分：1隊(duì)勝4場，2, 3隊(duì)各勝3場，4, 5隊(duì)各勝2場， 6隊(duì)勝1場。,2, 3隊(duì)， 4, 5隊(duì)無法排名,6支球隊(duì)比賽結(jié)果,32，4 5,循環(huán)比賽的結(jié)果競賽圖 每對頂點(diǎn)間都有邊相連的有向圖,3個頂點(diǎn)的競賽圖,名次,1，2，3,(1,2,3)并列,1, 2, 3, 4,2,(1,3,4),(1,3,4), 2,4個頂點(diǎn)的競賽圖,名次,(

14、1,2),(3,4),1, 2, 3, 4?,競賽圖的3種形式,具有唯一的完全路徑，如(1)；,雙向連通圖任一對頂點(diǎn)存在兩條有向路徑相互連通，如(4)；,其他，如(2)， (3) 。,競賽圖的性質(zhì),必存在完全路徑；,若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點(diǎn)順序與按得分排列的順序一致，如(1) 。,雙向連通競賽圖G=(V,E)的名次排序,鄰接矩陣,得分向量,雙向連通競賽圖的名次排序,對于n(3)個頂點(diǎn)的雙向連通競賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A 滿足Ar 0，A稱素陣,素陣A的最大特征根為正單根，對應(yīng)正特征向量s，且,排名為1，2，4，3,1, 2, 3, 4?,6支球隊(duì)比賽結(jié)果,排名次序?yàn)?，3

15、， 2，5，4，6,v1能源利用量； v2能源價格； v3能源生產(chǎn)率； v4環(huán)境質(zhì)量； v5工業(yè)產(chǎn)值； v6就業(yè)機(jī)會； v7人口總數(shù)。,8.3 社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程,系統(tǒng)的元素圖的頂點(diǎn),元素間的影響帶方向的弧,影響的正反面弧旁的+、 號,帶符號的有向圖,影響直接影響,符號客觀規(guī)律；方針政策,例 能源利用系統(tǒng)的預(yù)測,帶符號有向圖G1=(V,E)的鄰接矩陣A,V頂點(diǎn)集 E弧集,定性模型,帶符號的有向圖G1,加權(quán)有向圖G2及其鄰接矩陣W,定量模型,某時段vi 增加1單位導(dǎo)致下時段vj 增加wij單位,v7,沖量過程（Pulse Process),研究由某元素vi變化引起的系統(tǒng)的演變過程,vi(t)

16、 vi在時段t 的值； pi(t) vi在時段t 的改變量(沖量),沖量過程模型,或,能源利用系統(tǒng)的預(yù)測,簡單沖量過程初始沖量p(0)中 某個分量為1，其余為0的沖量過程,若開始時能源利用量有突然增加，預(yù)測系統(tǒng)的演變,設(shè),能源利用系統(tǒng)的 p(t)和v(t),簡單沖量過程S的穩(wěn)定性,任意時段S的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定),S不穩(wěn)定時如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定,S沖量穩(wěn)定對任意 i,t, | pi(t) |有界,S值穩(wěn)定對任意 i,t, | vi(t) |有界,記W的非零特征根為,S沖量穩(wěn)定 | | 1,S沖量穩(wěn)定 | | 1且均為單根,S值穩(wěn)定 S沖量穩(wěn)定且不等于1,對于能源利用

17、系統(tǒng)的鄰接矩陣A,特征多項(xiàng)式,能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡單沖量過程,簡單沖量過程S的穩(wěn)定性,簡單沖量過程的穩(wěn)定性,改進(jìn)的玫瑰形圖S* 帶符號的有向圖雙向連通，且存在一個位于所有回路上的中心頂點(diǎn)。,回路長度 構(gòu)成回路的邊數(shù),回路符號 構(gòu)成回路的各有向邊符號+1或-1之乘積,ak長度為k的回路符號和,r使ak不等于0的最大整數(shù),S*沖量穩(wěn)定 ,若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定 ,簡單沖量過程S*的穩(wěn)定性,a1=0, a2= (-1)v1v2 (-1)v2v1 =1,a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1 +(+1)v1v3v2v1=1, a4=0, a5=1, r=5,S*沖量穩(wěn)

18、定 ,(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓勵利用變?yōu)橄拗评? a2 =-1,+,S*沖量穩(wěn)定 | | 1且均為單根,v1利用量, v2價格,v7,若S*沖量穩(wěn)定，則S*值穩(wěn)定 ,S*沖量穩(wěn)定 ,v3能源生產(chǎn)率 v5工業(yè)產(chǎn)值,S*值穩(wěn)定,能源利用系統(tǒng)的值不應(yīng)穩(wěn)定？,-,8.4 效益的合理分配,例,甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元， 甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元， 三人合作獲利11元。又知每人單干獲利1元。 問三人合作時如何分配獲利？,記甲乙丙三人分配為,解不唯一,(5，3，3) (4，4，3) (5，4，2) ,(1) Shapley合作對策, I,v n人合作對策，v特征函數(shù),

19、n人從v(I)得到的分配，滿足,v(s) 子集s的獲利,公理化方法,s子集 s中的元素數(shù)目， Si 包含i的所有子集,由s決定的“貢獻(xiàn)”的權(quán)重, i 對合作s 的“貢獻(xiàn)”,Shapley合作對策,三人(I=1,2,3)經(jīng)商中甲的分配x1的計算,1/3 1/6 1/6 1/3,1 1 2 1 3 I,1 7 5 11,0 1 1 4,1 6 4 7,1/3 1 2/3 7/3,x1=13/3,類似可得 x2=23/6, x3=17/6,1 2 2 3,合作對策的應(yīng)用 例1 污水處理費(fèi)用的合理分擔(dān),污水處理，排入河流,三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，或聯(lián)合建廠(用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)),Q污水量

20、，L管道長度 建廠費(fèi)用P1=73Q0.712 管道費(fèi)用P2=0.66Q0.51L,污水處理的5 種方案,1）單獨(dú)建廠,總投資,2）1, 2合作,3）2, 3合作,4）1, 3合作,總投資,總投資,合作不會實(shí)現(xiàn),5）三城合作總投資,D5最小, 應(yīng)聯(lián)合建廠,建廠費(fèi)：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道費(fèi)：d2=0.66 50.51 20=30 23管道費(fèi)：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73,D5,城3建議：d1 按 5:3:5分擔(dān), d2,d3由城1,2擔(dān)負(fù),城2建議：d3由城1,2按 5:3分擔(dān), d2由城1擔(dān)負(fù),城1計算：城3分擔(dān)d15/13=174C(1),不同意

21、,D5如何分擔(dān)？,特征函數(shù)v(s)聯(lián)合(集s)建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資,三城從節(jié)約投資v(I)中得到的分配,Shapley合作對策,計算城1從節(jié)約投資中得到的分配x1,x1 =19.7,城1 C(1)-x1=210.4, 城2 C(2)-x2=127.8, 城3 C(3)-x3=217.8,x2 =32.1, x3=12.2,x2最大，如何解釋？,合作對策的應(yīng)用 例2 派別在團(tuán)體中的權(quán)重,90人的團(tuán)體由3個派別組成，人數(shù)分別為40, 30, 20人。團(tuán)體表決時需過半數(shù)的贊成票方可通過。,雖然3派人數(shù)相差很大,若每個派別的成員同時投贊成票或反對票，用Shapley合作對策計算各派別在團(tuán)體中的權(quán)重。,團(tuán)體 I=1,2,3，依次代表3個派別,優(yōu)點(diǎn)：公正、合理，