1、1、最常見的隨機(jī)過程或隨機(jī)模型，2、布朗運(yùn)動(dòng)或維納過程二項(xiàng)式過程泊松過程白噪聲過程自回歸過程移動(dòng)平均過程混合自回歸移動(dòng)平均過程利率期限結(jié)構(gòu)或平均恢復(fù)模型ARCH模型和GARCH模型，主要內(nèi)容，3、引言布朗運(yùn)動(dòng)是英國生物學(xué)家布朗在1827年研究花粉運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)的。1918年，維納給出了布朗運(yùn)動(dòng)的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述，因此布朗運(yùn)動(dòng)也稱為維納過程。目前，布朗運(yùn)動(dòng)在經(jīng)濟(jì)和金融研究中被廣泛用于描述股票價(jià)格的變化過程，并成為描述隨機(jī)現(xiàn)象的基石。布朗運(yùn)動(dòng)或維納過程。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)特征：特征1(正態(tài)分布)特征2:對(duì)于任何兩個(gè)不同的時(shí)間間隔，這些值是相互獨(dú)立的。(獨(dú)立增量)，4，版權(quán)所有鄭振龍陳蓉，2008年5月，考

2、慮到布朗運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間間隔內(nèi)的變化(WWT)。顯然，W服從均值為0、方差為t的正態(tài)分布，即wN(0，t)，這也可以寫成。當(dāng)t0時(shí)，獲得limIt形式、6。如果隨機(jī)過程Stt0遵循dS=a(S，t)dt b(S，t)dw (3.1)，則稱之為一般信息技術(shù)過程。其中，設(shè)a(S，t)和b(S，t)是變量S，t的函數(shù)，并且是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。(3.1)右邊有兩項(xiàng)，第一項(xiàng)a(S，t)dt稱為漂移項(xiàng)，第二項(xiàng)b(S，t)dw稱為擴(kuò)散項(xiàng)，b(S，t)稱為擴(kuò)散率或波動(dòng)性，所以它的過程也稱為擴(kuò)散過程。當(dāng)用It過程來描述股票價(jià)格的變化時(shí)，第一項(xiàng)a(S，t)dt代表股票價(jià)格瞬時(shí)變化的期望值，b(S，t)dw代表股票價(jià)格的瞬

3、時(shí)波動(dòng)值，反映股票價(jià)格變化的不確定性所引起的隨機(jī)影響，這種影響通過波動(dòng)性的增大或減小傳遞到股票價(jià)格。特別地，當(dāng)a(S，t)=蘇，b(S，t)=S時(shí)，方程(3.1)變?yōu)?3.2)，其中u是常數(shù)，此時(shí)的隨機(jī)過程稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，常用來描述股票收益率的變化。為了給股票期權(quán)定價(jià)，我們必須首先了解股票本身的趨勢。由于股票期權(quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)(即股票)的衍生產(chǎn)品，給定標(biāo)的資產(chǎn)的執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險(xiǎn)利率和收益率，期權(quán)價(jià)格變化的唯一來源是股票價(jià)格的變化，這是影響期權(quán)價(jià)格的最基本因素。因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在理解了股票價(jià)格的規(guī)律之后，我們試圖通過股票復(fù)制期權(quán)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)

4、期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在接下來的章節(jié)中，我們將使用數(shù)學(xué)語言來描述這種定價(jià)思想。9，10，wiener過程的性質(zhì)，z (T) z (0)也是正態(tài)分布，均值等于0，方差等于T，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的可加性，11，為什么用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)合利率近似服從正態(tài)分布。數(shù)學(xué)上，可以證明具有特征1和2的維納過程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過程。維納過程在數(shù)學(xué)上在時(shí)間上是不可微的，并且二次變化不是零，這也與股票收益率在時(shí)間上的急劇轉(zhuǎn)折點(diǎn)相一致。12.市場有效理論和隨機(jī)過程，1965根據(jù)這一假設(shè)，證券價(jià)格對(duì)新的市場信息的反應(yīng)是迅速和準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能夠充分反映所有信息。1.弱有效市場假說2。半強(qiáng)有

5、效市場假說3。強(qiáng)有效市場假說。根據(jù)許多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場普遍符合弱有效市場假說。一般來說，弱有效市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程有著內(nèi)在的一致性。因此，我們可以用數(shù)學(xué)來描述股票的這一特征。一般來說，金融研究者認(rèn)為證券價(jià)格的變化過程可以用伊藤過程(即幾何布朗運(yùn)動(dòng))來表示，漂移率為S，方差率為S2。采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)主要有兩個(gè)原因：一是它可以避免股票價(jià)格與有限責(zé)任之間的矛盾；二是幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票的連續(xù)復(fù)利服從正態(tài)分布，這與實(shí)際情況很吻合。13，14，1。幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率。2.根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原則，它取決于證券的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平和市場的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，其決策本身就更加復(fù)雜。然而，幸運(yùn)的是，我們將在下面證明衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)率無關(guān)。長時(shí)間后連續(xù)復(fù)利利率的期望值等于，因?yàn)殚L時(shí)間后連續(xù)復(fù)利利率的期望值是短時(shí)間內(nèi)收益率的幾何平均的結(jié)果，而短時(shí)間內(nèi)收益率是算術(shù)平均的結(jié)果。15，1。證券價(jià)格的年波動(dòng)性也是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差。2.一般來說，樣本的對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差是從歷史證券價(jià)格數(shù)據(jù)