1、第六節(jié) 直接證明與間接證明,三年9考 高考指數(shù): 1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)； 2.了解間接證明的一種基本方法反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn).,1.本考點(diǎn)在歷年高考中均有體現(xiàn)，主要以直接證明中的綜合法為主； 2.分析法的思想應(yīng)用廣泛，反證法僅作為客觀題的判斷方法，一般不會單獨(dú)命題. 3.題型以解答題為主，主要在與其他知識點(diǎn)交匯處命題.,1.直接證明 (1)綜合法 定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過 一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出_的證明 方法.,所要證明的結(jié)論成立,框圖表示： (P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，

2、Q表示所要證明的結(jié)論). 文字表示為：“因?yàn)樗浴被颉坝傻谩? 思維過程：由因?qū)Ч?,(2)分析法 定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件， 直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)_ (已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方法. 框圖表示： (Q表示要證明的結(jié)論). 文字表示為：“要證”，“只需證”，“即證” 思維過程：執(zhí)果索因.,判定一個明顯成立的條件,【即時應(yīng)用】 (1)思考下列思維特點(diǎn)： 從“已知”逐步推向“未知”，即逐步尋找已知成立的必要條件. 從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”即逐步尋找結(jié)論成立的充分條件. 滿足綜合法的是_，滿足分析法的是_(請?zhí)顚懴鄳?yīng)序號).,(2)已

3、知t=a+2b,s=a+b2+1,則s,t的大小關(guān)系是_. (3)在正項(xiàng)等比數(shù)列an和正項(xiàng)等差數(shù)列bn中，a1=b1,a3=b3,a1a3，則a5與b5的大小關(guān)系為_.,【解析】(1)由分析法、綜合法的定義可判斷.滿足綜合法；滿足分析法. (2)由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)20,故st. (3)由a1a3,得b1b3,所以b1b5,且b10,b50, 又 即 所以a5b5. 答案：(1) (2)st (3)a5b5,2.間接證明 (1)反證法的定義 假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說 明_，從而證明_的證明方法.,假設(shè)錯誤,原命題成立,(2)

4、利用反證法證題的步驟 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立； 由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理，直到推出矛盾為止； 由矛盾斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立. 簡言之，否定歸謬斷言.,【即時應(yīng)用】 (1)判斷下列說法是否正確.(請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)打“”或“”) 綜合法是由因?qū)Ч? ) 綜合法是順推法( ) 分析法是執(zhí)果索因法( ) 分析法是逆推法( ) 反證法是間接證法( ),(2)用反證法證明“如果ab,那么 ”，其中假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是_. (3)用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時，應(yīng)假設(shè)_.,【解析】(1)由分析法、綜合法、反證法的定義可知都正確. (2)否定結(jié)論， 的否定是

5、 (3)因?yàn)椤爸辽儆幸粋€”的反面是“一個也沒有”，所以“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60” 的否定是“三角形三個內(nèi)角一個也沒有不大于60”，即“三角形三個內(nèi)角都大于60”.,答案：(1) (2) (3)三角形三個內(nèi)角都大于60,綜合法的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 利用綜合法證題的基本思路,分析條件 選擇方向,轉(zhuǎn)化條件 組織過程,適當(dāng)調(diào)整 回顧反思,分析題目的已知條件及已知與結(jié)論之間 的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的定理、公式 等，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法,把已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言， 主要是文字、符號、圖形三種語言之間 的轉(zhuǎn)化,回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào) 整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，?思總結(jié)解題

6、方法的選取,【例1】已知x+y+z=1，求證： 【解題指南】由基本不等式x2+y22xy,得到關(guān)于x、y、z的三個不等式，將三式相加整理變形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2 =1從而可證.,【規(guī)范解答】x2+y22xy,x2+z22xz,y2+z22yz, 2x2+2y2+2z22xy+2xz+2yz, 3x2+3y2+3z2x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz, 即3(x2+y2+z2)(x+y+z)2, x+y+z=1,(x+y+z)2=1, 3(x2+y2+z2)1, 即,【反思感悟】利用綜合法證明不等式是不等式證明的常用方法之一，即充分利用已知條件與已知的基本不等式，經(jīng)過

7、推理論證推導(dǎo)出正確結(jié)論，是順推法或由因?qū)Ч?其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，這就需保證前提正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結(jié)論的正確.,【變式訓(xùn)練】設(shè)a0,b0,a+b=1,求證： 【證明】方法一：a0,b0,a+b=1, 又,方法二：a+b=1, 故 等號成立的條件是,分析法的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 分析法的特點(diǎn)與思路 分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等.通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范.,【例2】(2012南通模擬)已知m0,a,bR,求證： 【解題指南】利用分析法，去分

8、母后移項(xiàng)作差，最后變形可證.,【規(guī)范解答】m0,1+m0. 所以要證原不等式成立， 只需證明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)0, 即證(a-b)20, 而(a-b)20顯然成立， 故原不等式得證.,【反思感悟】1.逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵 2.在求解實(shí)際問題時，對于較復(fù)雜的問題，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論，使原命題得證,【變式訓(xùn)練】已知a,b(0,+),求證：,【證明】因?yàn)閍,b(0,

9、+)，要證原不等式成立, 只需證 即證(a3+b3)2(a2+b2)3, 即證a6+2a3b3+b6a6+3a4b2+3a2b4+b6. 只需證2a3b33a4b2+3a2b4.,因?yàn)閍,b(0,+), 所以即證2ab2ab成立, 以上步驟步步可逆, 所以,綜合法、分析法的綜合應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 綜合法與分析法的應(yīng)用技巧 綜合法與分析法各有特點(diǎn)，在解決實(shí)際問題時，常把分析法與綜合法綜合起來運(yùn)用，通常用分析法分析，綜合法書寫.這一點(diǎn)在立體幾何中應(yīng)用最為明顯，同時，在三角、解析幾何中也大多是利用分析法分析，用綜合法證明的辦法來證明相關(guān)問題.,【提醒】綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向未知，每步尋找的

10、是必要條件；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件.,【例3】如圖，四邊形ABCD是正方形，PB平面ABCD，MA平面ABCD，PB=AB=2MA.求證： (1)平面AMD平面BPC； (2)平面PMD平面PBD.,【解題指南】(1)欲證平面AMD平面BPC，只需證AMPB，ADBC從而得AM平面PBC,AD平面PBC，從而得證. (2)欲證平面PMD平面PBD，只需連接AC交BD于E，取PD中點(diǎn)為F，連接MF、EF，即證AE平面PBD,而AE與MF又平行從而得證.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镻B平面ABCD，MA平面ABCD， 所以PBMA. 因?yàn)镻B平面BPC，MA平面PB

11、C， 所以MA平面BPC. 同理，DA平面BPC. 又MA平面AMD，AD平面AMD, MAAD=A，所以平面AMD平面BPC.,(2)連接AC，設(shè)ACBD=E,取PD中點(diǎn)F，連接EF，MF. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形， 所以E為BD的中點(diǎn). 因?yàn)镕為PD中點(diǎn)， 所以EF 又AM 所以四邊形AEFM為平行四邊形,所以MFAE.,因?yàn)镻B平面ABCD，所以PBAE, 又因?yàn)锳BCD是正方形，所以AEBD， 所以AE平面PBD， 又因?yàn)镸FAE，所以MF平面PBD， 又因?yàn)镸F平面PMD，所以平面PMD平面PBD.,【互動探究】在本例中條件不變的情況下，如何證明平面PDC平面MAD？ 【證明】M

12、A平面ABCD，MADC， 又ABCD是正方形，DCAD，又ADMA=A， DC平面MAD，又DC平面PDC， 平面PDC平面MAD.,【反思感悟】利用分析法分析結(jié)論成立的充分條件，探究面面平行需具備的條件，面面垂直所要具備的條件，找到條件后，再用綜合法書寫證明過程.這是此類問題的常規(guī)解法，需要靈活掌握.,【變式備選】ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，三條邊為a、b、c,求證：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.,【證明】ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， B=60,由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60, 得c2+a2=ac+b2，兩邊同加上ab+bc， 得

13、c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 兩邊同除以(a+b)(b+c)，得,即 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.,反證法的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 1.反證法的解題原則 反證法的原理是“正難則反”，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法.,2.反證法中常見詞語的否定形式,至多有n個(即xn，nN+),至少有n+1個(即xnxn+1, nN+),至少有n個(即xn,nN+),至多有n-1個(即xnxn-1, nN+),n個都是,n個不都是(即至少有1個不是),至多有1個,至少有2個,至少有1個,至多有0個，即一個也沒有

14、,【例4】若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且 求證：a,b,c中至少有一個大于0. 【解題指南】否定結(jié)論，至少有一個大于0的否定是都不大于0，只需證a+b+c0不成立即可，而后下結(jié)論.,【規(guī)范解答】假設(shè)a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0,則a+b+c0, 而 -30,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20, a+b+c0,這與a+b+c0矛盾.因此a,b,c中至少有一個大于0.,【反思感悟】反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器.,【變式訓(xùn)練

15、】在ABC中，A，B，C的對邊分別為a,b,c，若a,b,c三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B90.,【證明】假設(shè)Ba,bc. 相加得 這與 矛盾. 故B90不成立. 因此B90.,【變式備選】已知a-1,求證三個方程： x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根.,【證明】假設(shè)三個方程都沒有實(shí)數(shù)根，則 這與已知a-1矛盾，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立.,【滿分指導(dǎo)】 【典例】(12分)(2012常州模擬)已知a,b,c,dR,用分析法 證明 并指明等號何時成立. 【解題指南】由于a,b,c,dR,故ac+bd0或ac+bd0,要分兩種

16、情況分析，可證.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)ac+bd0時， 2分 故不等式顯然成立，此時a=b=c=d=0時等號成立.4分 (2)當(dāng)ac+bd0時，要證原不等式成立，只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2), 6分 即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2. 8分 即證2abcda2d2+b2c2,即0(bc-ad)2. 10分 a,b,c,dR,上式恒成立，故不等式成立，此時等號成立的 條件為bc=ad. 由(1)(2)知原不等式成立.12分,【閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,1.(2012泉州模擬)用反證法證明“如果ab,則a3b3”，假設(shè)的內(nèi)容是( ) (A)a3=b3 (B)a3b3 (C)a3=b3且a3b3 (D)a3=b3或a3b3 【解析】選D.反證法應(yīng)否定結(jié)論即a3b3,即為a3=b3或a3b3.,2.(2012南陽模擬)在證明命題“對于任意角,cos4-sin4=cos2”的過程：“cos4-sin4= (cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos2-sin2=cos2”中應(yīng)用了( ) (A)分析法 (B)綜合法 (C)分析法和綜合法綜合使用 (D)間接證法 【解析】選B.從已知條件出發(fā)，推出要證的結(jié)論，滿足綜合法.,3.(2012臨沂模擬)已知 則以下結(jié)論正確的是(