1、教學內(nèi)容和基本要求,第一章 行列式和線性方程組的求解,1,趣味思考題,三、若行列式D=0，則D都可能是什么類型的行列式？,(1) 行列式D有兩行或兩列的元素相同；,(2) 行列式D有兩行或兩列的元素成比例；,(3) 行列式D有至少有一行或一列元素都是零 ；,(4) 主對角線上至少有一個元素等于零的對角行列式；,(5) 主(次)對角線上至少有一個零元素的三角行列式；,(6) 所有可以利用行列式性質(zhì)化成上述形式的行列式,四、設(shè)D =,證明: D = (1)mnD1D2.,D2 =,證明: 將第n+1列與左邊的各列逐次對換相鄰兩列， 可將其移到第一列，以此類推，共做mn次相鄰對換，即可得到,所以D

2、= = (1)mn|A| |B|.,二. 行列式的主要計算方法,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,1. 化為三角形行列式,|AT| = |A|.,3. 行列式按行(列)展開,2. 箭形行列式的計算,4. 降階遞推法,5. 分解行列法,本結(jié)論可以直接應(yīng)用,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,2. 箭形行列式,例7.,第一章 行列式和線性方程組的求解,5,第一章 行列式和線性方程組的求解,1.3 行列式的性質(zhì),例8: Dn=,1+a1 1 1 1 1+a2 1 1 1 1+an,可化為箭形的行列式,解:,(a1a2an 0).,I lve it!,r2 r1,rn r1,6,第一章 行列式和線性方程組的求解,1

3、.3 行列式的性質(zhì),注意已知條件: a1a2an 0, 否則不能 1/a1, , 1/an !,r2 r1,rn r1,7,三階行列式,對角線法則,第一章 行列式和線性方程組的求解,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,= a11(a22a33 a23a32) + a12(a23a31 a21a33) + a13(a21a32 a22 a31 ),問題：能否利用二階行列式來計算三階行列式？,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,3. 行列式按行(列)展開,

4、aij 的余子式 Mij ：,劃去aij 所在的行列得到的n-1階行列式,按第一行展開,第一章 行列式和線性方程組的求解,aij的代數(shù)余子式: Aij = (1)i+jMij .,A32 = (1)3+2M32 = M32.,a11的余子式,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,證明：,(1),(2),(3),第一章 行列式和線性方程組的求解,= a11A11,= aijAij,= ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin .,證明：,(1),定理1.2.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方

5、程組的求解,M11 = A11,= a11M11,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,= a11A11,證明：,(2),1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,= aij Mij,= aijAij,(1)i+j2,=(1)i+jaij Mij,Dij,|A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain, i=1, n.,證明：,(3),定理1.2.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,=

6、 ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + + ain Ain.,同理,|A| = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj, j=1,2, ,n.,分階段處理復雜問題的“水泵”思維化繁為簡,定理1.2.,|A| = ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin, i=1,2, , n.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,(1),(2),(3),第一章 行列式和線性方程組的求解,= a11A11,= aijAij,= ai1Ai1+ai2Ai2+ ainAin .,分階段處理復雜問題的“水泵”思維化繁為簡,二. 行列式的主要計算方法,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,1. 化為三角形行列式,

7、|AT| = |A|.,3. 行列式按行(列)展開,2. 箭形行列式的計算,4. 降階遞推法,5. 分解行列法,|A| = ai1 Ai1 + + ain Ain = a1j A1j + + anj Anj,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,例5.,1 2 4 2 2 1 3 4 2,= 14.,第一章 行列式和線性方程組的求解,r2 +2r1,r3 +3r1,r3 5/3r2,17,法2：按第二行展開,= 242810,= 14.,法3：先化簡再按第一列展開,= 84+70,= 14.,3. 行列式按行(列)展開,注：對三階四階數(shù)字型行列式，先把行列式化簡成某行(列)只有一個非零元素；再按此行(列

8、)展開計算.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,= 6A31 + 3A32 + 5A33.,那么 4A31 + 3A32 + 6A33 =,4A31 + 3A32 + 6A33 =,4 3 6 3 1 4 4 3 6,= 0.,A31, A32, A33與a31, a32, a33的取值無關(guān),0,?,第一章 行列式和線性方程組的求解,例9.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,= a12A12 + a22A22 + a32A32.,下面來看a11A12 + a21A22 + a31A32 =,a11A12 + a21A22 + a31A32 =,a11 a13 a21 a23 a31 a33,= 0.,推廣

9、到一般情形, 我們有如下結(jié)論:,推論1.3. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j).,A12, A22, A32與a12, a22, a32的取值無關(guān),0,?,第一章 行列式和線性方程組的求解,a11 a21 a31,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,推論1.3. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j).,定理.,|B| = a1i A1j + a2i A2j

10、+ + ani Anj,= b1j A1j + b2j A2j + + bnj Anj,證明：,= 0,第一章 行列式和線性方程組的求解,例10.,2A21 + 4A22 8A23 =,2 4 8,= 0,M13 M23 3M33 =,A13 + A23 3A33,=,1 1 3,0 3 0,= 30,定理.,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,例11. 證明n階 (n2) 范德蒙Vandermonde 行列式,證明:當n =2時, D2 = (a2 a1). 現(xiàn)設(shè)等式對于(n1)階成立.,1 1 1 1 0 a2a1 a3a1 an a1 0 a2(a2a1) a3

11、(a3a1) an (ana1) 0 a2n-2(a2a1) a3n-2(a3a1) ann-2(ana1),rn a1 rn-1,r3 a1 r2,r2 a1 r1,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,= (a2a1)(a3a1)(ana1),1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,范德蒙德行列式的結(jié)果可以作為公式使用.,第一章 行列式和線性方程組的求解,1.3 行列式的性質(zhì),(未寫出的元素都是0).,例12. 計算2n階行列式,4. 降階遞推法,第一章 行列式和線性方程組的求解,1.3 行列式的性質(zhì),D2n=,= a,+(1)2n+1b,解:

12、,第一章 行列式和線性方程組的求解,1.3 行列式的性質(zhì),= (ad bc) D2(n1) = (ad bc)2D2(n2) = (ad bc)3D2(n3) = = (ad bc)n1 D2 = (ad bc)n.,D2n,D2n,= a (1)2(2n1) d,D2(n1), b,(1)(2n1)+1 c,D2(n1),Dn = ( a+ b) Dn1 ab Dn2,解：按第一行展開,Dn = (a +b),Dn-1,+ ab(1)1+2,Dn-2,= = bn2 (D2aD1),例13.,雙輪形,DnaDn1 = b (Dn1aDn2),= = an2 (D2bD1),DnbDn1 =

13、a (Dn1bDn2),D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab,4. 降階遞推法,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,DnaDn1 = bn2 (D2aD1) (1),DnbDn1 = an2 (D2bD1) (2),由 (1)b (2)a 可得，,D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab,= bn,= an,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,5. 分解行列法,解：將第一列拆成兩列的和,b,Dn-1,例13. 法2.,= an,Dn = b Dn-1 + an,= b (bDn-2+an-1 ) +an,1.3

14、 行列式的性質(zhì)及計算,第一章 行列式和線性方程組的求解,= b2 Dn-2 +an-1b +an,=,二. 行列式的主要計算方法,1.3 行列式的性質(zhì)及計算,1. 化為三角形行列式,3. 行列式按行(列)展開,2. 箭形行列式的計算,4. 降階遞推法,Ajk = (1)j+k Mjk,計算三四階行列式,5. 分解行列法,|AT| = |A|.,Ex.,則當D = a11a22a12a21 0時,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一確定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,推廣到n元線性方程組Cramer法則,1.4 線性方程組的求解,第一章 行

15、列式和線性方程組的求解,線性方程組：,高斯消元法：,初等變換,列向量,矩陣,行向量,例1. 某廠家向三個代理商發(fā)送四種產(chǎn)品.,一. 矩陣與向量,1.4 線性方程組的求解,第一章 行列式和線性方程組的求解,例2. 四個城市間的單向航線如圖所示. 若aij表示從 i 市 到 j 市航線的條數(shù), 則右圖可用矩陣表示為,1.4 線性方程組的求解,第一章 行列式和線性方程組的求解,用三維向量表示(8升,5升,3升)酒壺的酒量,則平分酒的問題化為在該圖中求一條從起點到終點的最短路. 從圖中易得到上下兩條路：顯然上面一條較短，路長為7;下面一條路長為8.,例3：某二人有一只8升的酒壺裝滿了酒,還有兩只空壺,

16、分別為5升和3升.問如何盡快將酒平分?,一. 矩陣與向量,1. mn矩陣 (Matrix),元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n),注: 元素都是實(復)數(shù)的矩陣稱為實(復)矩陣. 今后除非特別說明, 我們所考慮的矩陣都 是實矩陣(Rmn). 復矩陣(Cmn).,Amn=,= (aij)mn,n階方陣: nn矩陣,2. 方陣,主對角線元素: aii (i = 1, , n),1.4 線性方程組的求解,第一章 行列式和線性方程組的求解,3. 向量 (Vector),n維行向量: 1n矩陣 ai = (ai1, ai2, , ain),n維列向量: n1矩陣 Aj =,常

17、用希臘字 母,表示.,5.同型矩陣 A = (aij)mn與B = (bij)mn,6.相等矩陣A = B,aij = bij , 1 i m, 1 j n,同型矩陣,4.11矩陣 (a11) = a11,7.零矩陣 Omn aij =0， 1 i m, 1 j n,1.4 線性方程組的求解,第一章 行列式和線性方程組的求解,1. 對角矩陣(diagonal), = diag(1, 2, , n) =,1 0 0 0 2 0 0 0 n,2. 數(shù)量矩陣,3. 單位矩陣,引入Kronecker記號,= (ij),= (ij),= (i ij),幾種特殊方陣,1.4 線性方程組的求解,第一章 行列

18、式和線性方程組的求解,4. 三角矩陣,上三角矩陣：方陣的主對角線下的元素全為0,下三角矩陣：方陣的主對角線上的元素全為0,1.4 線性方程組的求解,第一章 行列式和線性方程組的求解,1.4 線性方程組的求解,二.克拉默法則(Cramer Rule),四. 矩陣的初等行變換,1.矩陣的初等行變換,2. 階梯形矩陣與行簡化階梯陣,3. 階梯陣的形狀與線性方程組的解,五. 齊次線性方程組有非零解的充分條件,三. Gauss 消元法與方程組的初等變換,第一章 行列式和線性方程組的求解,一. 矩陣與向量,Ex.,1.4 線性方程組的求解,二. 克拉默法則(Cramer Rule 1750 瑞士),在D=

19、|A|0有唯一解,第一章 行列式和線性方程組的求解,|A|0,方程數(shù)與變量數(shù)不等時不能用,1.4 線性方程組的求解,一. 克拉默法則(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和線性方程組的求解,按第一列展開,= a11A11,= b1A11,+ an1An1,+bnAn1, Dj = b1A1j +bnAnj , j = 1,2,n,1.4 線性方程組的求解,一. 克拉默法則(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和線性方程組的求解, Dj = b1A1j +bnAnj , j = 1,2,n,(1) 先證是方程組的解.,1.4 線性方程組的求

20、解,一. 克拉默法則(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和線性方程組的求解, Dj = b1A1j +bnAnj , j = 1,2,n,(2) 再證方程組解的唯一性.,A1j,+,A2j,+,+,Anj,= Dj,1.4 線性方程組的求解,一. 克拉默法則(Cramer Rule),在D=|A|0有唯一解,第一章 行列式和線性方程組的求解,齊次線性方程組,推論1.4,齊次線性方程組Ax = 0, 它必然有一組零解 x1 = x2 = = xn = 0, 若有一組不全為零的數(shù)構(gòu)成Ax = 0的解, 則稱之為Ax = 0的非零解.,推論1.4a. 設(shè)ARnn,若齊次線性方程組Ax = 0的 系數(shù)行列式 |A| 0, 則它只有零解.,推論1.4b. 設(shè)ARnn, 若Ax = 0有非零解，則|A|=0,1.4 線性方程組的求解,第一章 行列式和線性方程組的求解,齊次線性方程組的非零解,定理1.3 設(shè)ARnn, |A|0時Ax=b有唯一解 xj =Dj/|A|, j=1,n.,(A) 填空題選擇題：作為課下練習,一. (A) 1(1-4), (B) 1,2,3,(B)