1、第五課時利用導數(shù)研究函數(shù)零點專題,專題概述,利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題是導數(shù)的應用之一,也是高考考查的熱點題型,常作為解答題的一問出現(xiàn),難度較大.解決此類問題一般是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想把問題轉(zhuǎn)化為相應的方程根的問題或函數(shù)圖象交點問題.,考點一 利用函數(shù)圖象研究函數(shù)零點,考點專項突破 在講練中理解知識,【例1】 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.若過點P(1,t)存在三條直線與曲線y= f(x)相切,求t的范圍.,過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切等價于直線y=t與曲線y=h(x)的圖象有三個交點.如圖作出y=h(x)的圖象.從圖可以看出,當-3t-1時,函數(shù)y=t和y=h(x)的圖象

2、有3個交點. 綜上,t的取值范圍是(-3,-1).,反思歸納 含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù),可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù),若能分離參數(shù),可將參數(shù)分離出來后,用x表示參數(shù)的函數(shù),作出該函數(shù)圖象,根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍.,【即時訓練】 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;,(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.,解:(2)因為f(x)在x=-1處取得極值, 所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3. 由f(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1

3、)中f(x)的單調(diào)性,可知f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1, 在x=1處取得極小值f(1)=-3. 因為直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點,又f(-3)=-191, 結(jié)合f(x)的單調(diào)性,可知m的取值范圍是(-3,1).,利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點,考點二,反思歸納 利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點,主要是根據(jù)函數(shù)最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù),此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.,【即時訓練】 導學號 18702142 已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex (a為實數(shù)). (1)當a=4時,求函數(shù)y=g(x)在

4、x=0處的切線方程;,解:(1)當a=4時,g(x)=(-x2+4x-3)ex,g(0)=-3, g(x)=(-x2+2x+1)ex,g(0)=1, 所以,所求的切線方程為y+3=x-0,即y=x-3.,(2)如果關于x的方程g(x)=2exf(x)在區(qū)間 上有兩個不等實根,求實數(shù)a的取值范圍.,【例3】 導學號 18702143 已知函數(shù)f(x)=aln x-(其中aR).若函數(shù)f(x)有唯一零點,求a的取值范圍.,反思歸納 函數(shù)有唯一零點的求解方法 (1)函數(shù)在定義域上單調(diào),滿足零點存在性定理. (2)若函數(shù)不是嚴格單調(diào)函數(shù),則其最小值等于0或最大值等于0. (3)分離參數(shù)后,數(shù)形結(jié)合,參

5、數(shù)所在直線與函數(shù)圖象只有一個交點.,【即時訓練】 設函數(shù)f(x)=ln x+x.當m0時,方程2mf(x)=x2有唯一實數(shù)解,求m的值.,構造函數(shù)法研究函數(shù)零點問題,考點三,【例4】 (2014全國卷)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2. (1)求a;,(2)證明:當k1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.,(2)證明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 設g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由題設知1-k0. 當x0時,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)單調(diào)遞增, g(-1)=k-10時,令h(x)=x3-3x2+4, 則g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+)單調(diào)遞增, 所以g(x)h(x)h(2)=0. 所以g(x)=0在(0,+)沒有實根. 綜上,g(x)=0在R有唯一實根, 即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.,反思歸納 含參數(shù)兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點問題,若不能作