1、2.4第一課時等比數(shù)列的概念及通項公式預習課本P4850，思考并完成以下問題 (1)等比數(shù)列的定義是什么？如何判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列？(2)等比數(shù)列的通項公式是什么？(3)等比中項的定義是什么？1等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q0)點睛(1)“從第2項起”，也就是說等比數(shù)列中至少含有三項；(2)“每一項與它的前一項的比”不可理解為“每相鄰兩項的比”；(3)“同一常數(shù)q”，q是等比數(shù)列的公比，即q(n2)或q.特別注意，q不可以為零，當q1時，等比數(shù)列為常數(shù)列，非零的常數(shù)列是特

2、殊的等比數(shù)列2等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，這三個數(shù)滿足關系式G.點睛(1)G是a與b的等比中項，則a與b的符號相同，符號相反的兩個實數(shù)不存在等比中項G，即等比中項有兩個，且互為相反數(shù)(2)當G2ab時，G不一定是a與b的等比中項例如0250，但0,0,5不是等比數(shù)列3等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q(q0)，則通項公式為：ana1qn1.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與前一項的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列()(2)等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零()(3

3、)常數(shù)列一定為等比數(shù)列()(4)任何兩個數(shù)都有等比中項()解析：(1)錯誤，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個常數(shù)時，該數(shù)列才是等比數(shù)列(2)錯誤，當公比為零時，根據(jù)等比數(shù)列的定義，數(shù)列中的項也為零(3)錯誤，當常數(shù)列不為零時，該數(shù)列才是等比數(shù)列(4)錯誤當兩數(shù)同號時才有等比中項，異號時不存在等比中項答案：(1)(2)(3)(4)2下列數(shù)列為等比數(shù)列的是()A2,22,322，B.，Cs1，(s1)2，(s1)3， D0,0,0，解析：選BA、C、D不是等比數(shù)列，A中不滿足定義，C、D中項可為0，不符合定義3等比數(shù)列的首項為，末項為，公比為，則這個數(shù)列的項數(shù)為()A3 B4C5 D6解析：選

4、Bn1，n1，即3n1，n13，n4.4已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，a12，且3(anan2)10an1，則公比q_.解析：設公比為q，則3(ananq2)10anq，即3q210q30，解得q3或q，又因為a12且數(shù)列an為等比遞增數(shù)列，所以q.答案：等比數(shù)列的通項公式典例(1)在等比數(shù)列an中，a1，q，an，則項數(shù)n為()A3B4C5 D6(2)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且aa10,2(anan2)5an1，則數(shù)列an的通項公式an_.解析(1)因為ana1qn1，所以n1，即n5，解得n5.(2)由2(anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又數(shù)列an遞

5、增，所以q2.aa10(a1q4)2a1q9a1q2，所以數(shù)列an的通項公式為an2n.答案(1)C(2)2n等比數(shù)列通項公式的求法(1)根據(jù)已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法(2)充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算活學活用在等比數(shù)列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.解：(1)因為所以由得q34，從而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.(2)法一：因為由得q，從而a132.又an1，所以32n11，即26n20，所以n6.法二：因為

6、a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.等比中項典例(1)在等比數(shù)列an中，a1，q2，則a4與a8的等比中項是()A4B4C D.(2)已知b是a，c的等比中項，求證：abbc是a2b2與b2c2的等比中項解析(1)由an2n12n4知，a41，a824，所以a4與a8的等比中項為4.答案：A(2)證明：因為b是a，c的等比中項，所以b2ac，且a，b，c均不為零，又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc)2(a2b

7、2)(b2c2)，即abbc是a2b2與b2c2的等比中項(1)由等比中項的定義可知G2abG，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項(2)在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項(3)a，G，b成等比數(shù)列等價于G2ab(ab0)活學活用1如果1，a，b，c，9成等比數(shù)列，那么()Ab3，ac9 Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9解析：選B因為b2(1)(9)9，且b與首項1同號，所以b3，且a，c必同號所以acb29.2已知等比數(shù)列an的前三項依次為a1，a1，a4，則an_.解析：由已知可得(a1)2(

8、a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4n1.答案：4n1等比數(shù)列的判定與證明典例在數(shù)列an中，若an0，且an12an3(nN*)證明：數(shù)列an3是等比數(shù)列證明：法一定義法an0，an30.又an12an3，2.數(shù)列an3是首項為a13，公比為2的等比數(shù)列法二等比中項法an0，an30.又an12an3，an24an9.(an23)(an3)(4an12)(an3)(2an6)2(an13)2.即an3，an13，an23成等比數(shù)列，數(shù)列an3是等比數(shù)列證明數(shù)列是等比數(shù)列常用的方法(1)定義法：q(q為常數(shù)且q0)或q(q為常數(shù)且q0，n2)an為等比數(shù)列(2)等比中

9、項法：aanan2(an0，nN*)an為等比數(shù)列 活學活用(1)已知各項均不為0的數(shù)列an中，a1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1，a3，a5成等比數(shù)列(2)已知數(shù)列an是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，令bnan，求證數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求其通項公式證明：(1)由已知，有2a2a1a3，aa2a4，.由得，所以a4.由得a2.將代入，得a.a3，即a3(a3a5)a5(a1a3)化簡，得aa1a5.又a1，a3，a5均不為0，所以a1，a3，a5成等比數(shù)列(2)依題意an2(n1)(1)3n，于是bn3n.而12.數(shù)列bn是公

10、比為2的等比數(shù)列，通項公式為bn2n3.層級一學業(yè)水平達標12和2的等比中項是()A1B1C1 D2解析：選C設2和2的等比中項為G，則G2(2)(2)1，G1.2在首項a11，公比q2的等比數(shù)列an中，當an64時，項數(shù)n等于()A4 B5C6 D7解析：選D因為ana1qn1，所以12n164，即2n126，得n16，解得n7.3設等差數(shù)列an的公差d不為0，a19d，若ak是a1與a2k的等比中項，則k等于()A2 B4C6 D8解析：選Ban(n8)d，又aa1a2k，(k8)d29d(2k8)d，解得k2(舍去)或k4.4等比數(shù)列an的公比為q，且|q|1，a11，若ama1a2a3

11、a4a5，則m等于()A9 B10C11 D12解析：選Ca1a2a3a4a5a1a1qa1q2a1q3a1q4aq10q10，ama1qm1qm1，q10qm1，10m1，m11.5等比數(shù)列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，則an等于()A(2)n1 B(2n1)C(2)n D(2)n解析：選A設公比為q，則a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，從而a10，即a11，故an(2)n1.6等比數(shù)列an中，a12，a38，則an_.解析：q2，q24，即q2.當q2時，ana1qn12(2)n1(2)n；當q2時，ana1qn122n12n.

12、答案：(2)n或2n7已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則_.解析：由題設a1，a3,2a2成等差數(shù)列可得a12a2a3，即q22q10，所以q1，q232.答案：328已知三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2，則此時的三個數(shù)成等差數(shù)列，則原來的三個數(shù)的和等于_解析：依題意設原來的三個數(shù)依次為，a，aq.aaq512，a8.又第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2后的三個數(shù)成等差數(shù)列，(aq2)2a，2q25q20，q2或q，原來的三個數(shù)為4,8,16或16,8,4.4816168428，原來的三個數(shù)的和等于28.答案：289在四個正數(shù)中，前三個成等

13、差數(shù)列，和為48，后三個成等比數(shù)列，積為8 000，求這四個數(shù)解：設前三個數(shù)分別為ad，a，ad，則有(ad)a(ad)48，即a16.設后三個數(shù)分別為，b，bq，則有bbqb38 000，即b20，這四個數(shù)分別為m,16,20，n，m2162012，n25.即所求的四個數(shù)分別為12,16,20,25.10已知遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中項，求an.解：設等比數(shù)列an的公比為q.依題意，知2(a32)a2a4，a2a3a43a3428，a38，a2a420，8q20，解得q2或q(舍去)又a12，an2n.層級二應試能力達標1設a1，a2，a3，a4成等

14、比數(shù)列，其公比為2，則的值為()A.B.C. D1解析：選A原式.2在等比數(shù)列an中，已知a1，a53，則a3()A1 B3C1 D3解析：選A由a5a1q43，所以q49，得q23，a3a1q231.3設a12，數(shù)列12an是公比為3的等比數(shù)列，則a6等于()A607.5 B608C607 D159解析：選C12an(12a1)3n1，12a6535，a6607.4如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等， ， ， 記第i行第j列的數(shù)為aij(i，jN*)，則a53的值為()A. B.C. D.解析：選C第一列構成首項為，公差

15、為的等差數(shù)列，所以a51(51).又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以a532.5若數(shù)列an的前n項和為Sn，且an2Sn3，則an的通項公式是_解析：由an2Sn3得an12Sn13(n2)，兩式相減得anan12an(n2)，anan1(n2)，1(n2)故an是公比為1的等比數(shù)列，令n1得a12a13，a13，故an3(1)n1.答案：an3(1)n16在等差數(shù)列an中，a12，a36，若將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則所加的這個數(shù)為_解析：設等差數(shù)列an的公差為d，所求的數(shù)為m，則d2，

16、a48，a510，a1m，a4m，a5m成等比數(shù)列，(a4m)2(a1m)(a5m)，即(8m)2(2m)(10m)，解得m11.答案：117已知數(shù)列an的前n項和Sn2an，求證：數(shù)列an是等比數(shù)列證明：Sn2an，Sn12an1.an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1.an1an.又S12a1，a110.又由an1an知an0，.數(shù)列an是等比數(shù)列8已知數(shù)列an是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且a29，a481.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)若bnlog3an，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列解：(1)求數(shù)列an的公比為q，a29，a481.則q29，又an0，q0，q3，故通項公式an

17、a2qn293n23n，nN*.(2)證明：由(1) 知an3n，bnlog3anlog33nn，bn1bn(n1)n1(常數(shù))，nN*，故數(shù)列bn是一個公差等于1的等差數(shù)列第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)預習課本P53練習第3、4題，思考并完成以下問題 等比數(shù)列項的運算性質(zhì)是什么？等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若數(shù)列an，bn是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則anbn也是等比數(shù)列特別地，若an是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，則can也是等比數(shù)列(2)在等比數(shù)列an中，若mnpq，則amanapaq.(3)數(shù)列an是有窮數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項的積相等，且等于首末兩項的積(4)在等比數(shù)列an中，每隔k項取出一項，按原

18、來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk1.(5)當m，n，p(m，n，pN*)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等比數(shù)列1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積()(2)當q1時，an為遞增數(shù)列()(3)當q1時，an為常數(shù)列()解析：(1)正確，根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判定該說法正確(2)錯誤，當q1，a10時，an才為遞增數(shù)列(3)正確，當q1時，數(shù)列中的每一項都相等，所以為常數(shù)列答案：(1)(2)(3)2由公比為q的等比數(shù)列a1，a2，依次相鄰兩項的乘積組成的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，是()A等

19、差數(shù)列B以q為公比的等比數(shù)列C以q2為公比的等比數(shù)列D以2q為公比的等比數(shù)列解析：選C因為q2為常數(shù)，所以該數(shù)列為以q2為公比的等比數(shù)列3已知等比數(shù)列an中，a47，a621，則a8的值為()A35B63C21 D21解析：選Ban成等比數(shù)列a4，a6，a8成等比數(shù)列aa4a8，即a863.4在等比數(shù)列an中，各項都是正數(shù)，a6a10a3a541，a4a84，則a4a8_.解析：a6a10a，a3a5a，aa41，又a4a84，(a4a8)2aa2a4a841849，數(shù)列各項都是正數(shù)，a4a87.答案：7等比數(shù)列的性質(zhì)典例(1)在1與100之間插入n個正數(shù)，使這n2個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的n個

20、數(shù)的積為()A10nBn10C100n Dn100(2)在等比數(shù)列an中，a316，a1a2a3a10265，則a7等于_解析(1)設這n2個數(shù)為a1，a2，an1，an2，則a2a3an1(a1an2)(100)10n.(2)因為a1a2a3a10(a3a8)5265，所以a3a8213，又因為a31624，所以a829.因為a8a3q5，所以q2.所以a7256.答案(1)A(2)256有關等比數(shù)列的計算問題，基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項公式求解但有時運算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，卻簡便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，要充分發(fā)揮項的“下標”的指導

21、作用活學活用1已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7 B5C5 D7解析：選D因為數(shù)列an為等比數(shù)列，所以a5a6a4a78，聯(lián)立解得或所以q3或q32，故a1a10a7q37.2已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且4a2a8a，a21，則a6()A. B.C. D.解析：選B由4a2a8a，得4aa，q，a6a2q4.靈活設元求解等比數(shù)列問題典例(1)有四個數(shù)成等比數(shù)列，將這四個數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列，則這四個數(shù)的和是_(2)有四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們之和為12，求這四個數(shù)解析(1)設這四個數(shù)分別為a，

22、aq，aq2，aq3，則a1，aq1，aq24，aq313成等差數(shù)列即整理得解得a3，q2.因此這四個數(shù)分別是3,6,12,24，其和為45.答案45(2)解：法一：設前三個數(shù)為，a，aq，則aaq216，所以a3216.所以a6.因此前三個數(shù)為，6,6q.由題意知第4個數(shù)為12q6.所以66q12q612，解得q.故所求的四個數(shù)為9,6,4,2.法二：設后三個數(shù)為4d,4,4d，則第一個數(shù)為(4d)2，由題意知(4d)2(4d)4216，解得4d6.所以d2.故所求得的四個數(shù)為9,6,4,2.幾個數(shù)成等比數(shù)列的設法(1)三個數(shù)成等比數(shù)列設為，a，aq.推廣到一般：奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設為：，a

23、，aq，aq2(2)四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為：，aq，aq3.推廣到一般：偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設為：，aq，aq3，aq5(3)四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號相同時，可設為：a，aq，aq2，aq3.活學活用在2和20之間插入兩個數(shù)，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個數(shù)的和為()A4或 B4或C4 D17解析：選B設插入的第一個數(shù)為a，則插入的另一個數(shù)為.由a，20成等差數(shù)列得2a20.a2a200，解得a4或a5.當a4時，插入的兩個數(shù)的和為a4.當a5時，插入的兩個數(shù)的和為a.等比數(shù)列的實際應用問題典例某工廠2016年1月的生產(chǎn)總值為a萬元，計劃從2

24、016年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長m%，那么到2017年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？解設從2016年1月開始，第n個月該廠的生產(chǎn)總值是an萬元，則an1ananm%，1m%.數(shù)列an是首項a1a，公比q1m%的等比數(shù)列ana(1m%)n1.2017年8月底該廠的生產(chǎn)總值為a20a(1m%)201a(1m%)19(萬元)數(shù)列實際應用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的具體事件相聯(lián)系，建立數(shù)學模型是解決這類問題的核心，常用的方法有：構造等差、等比數(shù)列的模型，然后用數(shù)列的通項公式或求和公式解；通過歸納得到結論，再用數(shù)列知識求解活學活用如圖，在等腰直角三角形ABC 中，斜邊BC2.過點 A作BC

25、的垂線，垂足為A1 ；過點 A1作 AC的垂線，垂足為 A2；過點A2 作A1C 的垂線，垂足為A3 ；，依此類推設BAa1 ，AA1a2 , A1A2a3 ， A5A6a7 ，則 a7_.解析：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan2n，故a726.答案：層級一學業(yè)水平達標1等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項等于()A24B0C12 D24解析：選A由題意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項是3，6，12，則第四項為24.2對任意等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是()Aa1，a3

26、，a9成等比數(shù)列 Ba2，a3，a6成等比數(shù)列Ca2，a4，a8成等比數(shù)列 Da3，a6，a9成等比數(shù)列解析：選D設等比數(shù)列的公比為q，因為q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列故選D.3在正項等比數(shù)列an中，an1an，a2a86，a4a65，則等于()A. B.C. D.解析：選D設公比為q，則由等比數(shù)列an各項為正數(shù)且an1an知0q1，由a2a86，得a6.a5，a4a6q5.解得q，2.4已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根組成以為首項的等比數(shù)列，則()A. B.或C. D以上都不對解析：選B設a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根，不妨設a

27、cd1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x28x30的兩根，則a6a7_.解析：由題意得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q23218.答案：188畫一個邊長為2厘米的正方形，再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形，這樣一共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于_平方厘米解析：這10個正方形的邊長構成以2為首項，為公比的等比數(shù)列an(1n10，nN*)，則第10個正方形的面積Sa22292112 048.答案：2 0489在由實數(shù)組成的等比數(shù)列an中，a3a7a1128，a2a7a12512，求q.解：法一：由條件得由得a512，即a78.將

28、其代入得2q85q420.解得q4或q42，即q或q.法二：a3a11a2a12a，a512，即a78.于是有即a3和a11是方程x220x640的兩根，解此方程得x4或x16.因此或又a11a3q8，q4或q .10在正項等比數(shù)列an中，a1a52a3a5a3a736，a2a42a2a6a4a6100，求數(shù)列an的通項公式解：a1a5a，a3a7a，由題意，得a2a3a5a36，同理得a2a3a5a100，即解得或分別解得或an2n2或an26n.層級二應試能力達標1在等比數(shù)列an中，Tn表示前n項的積，若T51，則()Aa11Ba31Ca41 Da51解析：選B由題意，可得a1a2a3a4a51，即(a1a5)(a2a4)a31，又a1a5a2a4a，所以a1，得a31.2已知等比數(shù)列an中，a3a114a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b7a7，則b5b9等于()A2 B4C8 D16解析：選C等比數(shù)列an中，a3a11a4a7，解得a74，等差數(shù)列bn中，b5b92b72a78.3在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn中，若