1、1.2.3空間幾何體的直觀圖目標(biāo)定位1.掌握斜二測畫法，能畫簡單幾何體的直觀圖.2.理解三視圖和直觀圖的聯(lián)系，并能進(jìn)行轉(zhuǎn)化.自 主 預(yù) 習(xí)1.直觀圖的概念(1)定義：把空間圖形(平面圖形和立體圖形的統(tǒng)稱)畫在平面內(nèi)，使得既富有立體感，又能表達(dá)出主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫做直觀圖.(2)說明：在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形.2.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x軸與y軸，兩軸交于O，且使xOy45(或135)，它們確定的平面表示水平面.(2)畫線：已知

2、圖形中平行于x軸或y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段.(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.3.立體圖形直觀圖的畫法畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面xOy垂直的軸Oz，且平行于Oz的線段長度不變.其他同平面圖形的畫法.即 時 自 測1.判斷題(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段，原來垂直的仍垂直.()(2)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖中的線段，原來平行的仍平行.()(3)正方形的直觀圖為平行四邊形.()(4)梯形的直觀圖不是梯形.()提示(1)由直觀圖的性質(zhì)知，原來垂直的不一

3、定垂直.(2)斜二測畫法中平行關(guān)系不變.(4)利用斜二測畫法，所得梯形的直觀圖仍是梯形.2.利用斜二測畫法畫邊長為3 cm的正方形的直觀圖，可以是下列選項中的()解析正方形的直觀圖可以是含45角的平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為21.答案C3.用斜二測畫法畫水平放置的ABC時，若A的兩邊分別平行于x軸、y軸，且A90，則在直觀圖中A()A.45 B.135 C.45或135 D.90解析在畫直觀圖時，A的兩邊依然分別平行于x軸、y軸，而xOy45或135.答案C4.直角坐標(biāo)系中一個平面圖形上的一條線段AB的實(shí)際長度為4 cm，若ABx軸，則畫出直觀圖后對應(yīng)線段AB_，若ABy軸，則畫出直觀圖

4、后對應(yīng)線段AB_.解析畫直觀圖時，已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.答案4 cm2 cm類型一畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例1】 畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系xOy，使xOy45.(2)以O(shè)為中點(diǎn)在x軸上取ABAB，在y軸上取OEOE，以E為中點(diǎn)畫線段CDx軸，并使CDCD.(3)連接BC，DA，所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖.規(guī)律方法1.本題巧借等腰梯形的對稱性建系使“定點(diǎn)”、“畫圖”簡便易行.2.在畫水平放

5、置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來完成.【訓(xùn)練1】 用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4 cm的水平放置的正三角形的直觀圖.解(1)如圖所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸.(2)畫對應(yīng)的x軸、y軸，使xOy45.在x軸上截取OBOCOBOC2 cm，在y軸上取OAOA，連接AB，AC，則三角形ABC即為正三角形ABC的直觀圖，如圖所示.類型二由直觀圖還原平面圖形【例2】 如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平

6、面圖形的面積為()A.a2 B.2a2 C.a2 D.2a2解析由直觀圖還原出原圖，如圖，所以Sa2a2a2.答案B規(guī)律方法由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)平行x軸的線段長度不變，平行y軸線段擴(kuò)大為原來的2倍；(2)對于相鄰兩邊不與x、y軸平行的頂點(diǎn)可通過作x軸，y軸平行線變換確定其在xOy中的位置.【訓(xùn)練2】 一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形OABC的面積為，則原梯形的面積為()A.2B.C.2 D.4解析如圖，由斜二測畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個梯形的高，原梯形的高OC是直觀圖中OC長度的2倍，OC的長度是直觀圖中梯形的高的倍

7、，由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2倍，故其面積是梯形OABC面積的2倍，梯形OABC的面積為，所以原梯形的面積是4.答案D類型三空間幾何體的直觀圖(互動探究)【例3】 如圖所示，由下列幾何體的三視圖畫出直觀圖.思路探究探究點(diǎn)一由三視圖畫幾何體的直觀圖的關(guān)鍵是什么？提示由三視圖畫幾何體的直觀圖時，首先要認(rèn)清幾何體的形狀與大小，然后按斜二測畫法規(guī)則及其步驟作出其直觀圖.探究點(diǎn)二畫柱體的直觀圖的一般步驟是什么？提示畫柱體的直觀圖一般分四步：(1)畫軸：通常以高所在的直線為z軸建系.(2)畫底面：根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法確定底面.(3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn)

8、.(4)連線成圖.解由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個五棱柱，其直觀圖的畫法如下：(1)畫軸.畫x軸、y軸和z軸，使xOy45(或135)，xOz90，如圖所示.(2)畫底面.按x軸、y軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.(3)畫側(cè)棱.過點(diǎn)A、B、C、D、E分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA、BB、CC、DD、EE都等于正視圖的高.(4)成圖，順次連接A、B、C、D、E，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖所示.規(guī)律方法1.畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可.2.直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三

9、不變”.【訓(xùn)練3】 由如圖所示幾何體的三視圖畫出直觀圖.解(1)畫軸.如圖，畫出x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使xOy45，xOz90.(2)畫底面.作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖ABC.(3)畫側(cè)棱.過A，B，C各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA，BB，CC，且AABBCC.(4)成圖，順次連接A，B，C，并加以整理(擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示)，得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖.課堂小結(jié)1.斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的

10、面積可把直觀圖還原為原圖形.兩者之間關(guān)系為：.2.在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實(shí)長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大小.1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是()A.原來相交的仍相交 B.原來垂直的仍垂直C.原來平行的仍平行 D.原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn)解析根據(jù)斜二測畫法，原來垂直的未必垂直.答案B2.如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為()A.平行四邊形 B.梯形C.菱形 D.矩形解析因?yàn)镈AB45，由斜二測畫法規(guī)則知DAB90，又因四邊形ABCD為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形.

11、答案D3.如圖，平行四邊形OPQR是四邊形OPQR的直觀圖，若OP3，OR1，則原四邊形OPQR的周長為_.解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且OP3，OR2，所以原四邊形OPQR的周長為2(32)10.答案104.如圖是一個幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.解本題由幾何體的三視圖想象和畫出實(shí)物原形是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)，這類題型有助于培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力和分析問題、解決問題的能力.由三視圖知該幾何體是一個簡單的組合體，它的下部是一個正四棱臺，上部是一個正四棱錐.畫法：(1)畫軸：如圖(1)，畫x軸、y軸、z軸，使xOy45，xOz90；(2)畫底面：利用斜二測畫法

12、畫出底面ABCD，在z軸上取點(diǎn)O，使OO等于三視圖中相應(yīng)的高度，過點(diǎn)O作Ox的平行線Ox，Oy的平行線Oy，利用Ox與Oy畫出上底面ABCD；(3)畫正四棱錐的頂點(diǎn)：在Oz上取點(diǎn)P，使PO等于三視圖中相應(yīng)的高度；(4)成圖：連接PA、PB、PC、PD、AA、BB、CC、DD，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖(2)所示.基 礎(chǔ) 過 關(guān)1.如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，ABy軸，則原圖中ABC是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形解析ABy，所以由斜二測畫法可知在原圖形中BAAC，故ABC是直角三角形.答案B2.如圖為一平面圖形的直觀圖的大致圖形，則此平面圖形可

13、能是() 解析根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，且在直觀圖中平行于y軸的邊與底邊垂直.答案C3.下列說法正確的個數(shù)是()相等的角在直觀圖中對應(yīng)的角仍然相等；相等的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然相等；最長的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍最長；線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是線段的中點(diǎn).A.1 B.2 C.3 D.4解析錯誤，正確.答案A4.如圖所示的直觀圖AOB，其平面圖形的面積為_.解析由直觀圖可知其對應(yīng)的平面圖形AOB中，AOB90，OB3，OA4，SAOBOAOB6.答案65.水平放置的ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知AC3，BC2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為_.解析將直觀圖ABC

14、復(fù)原，其平面圖形為RtABC，且AC3，BC4，故斜邊AB5，所以AB邊上的中線長為.答案6.畫出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖.解(1)過點(diǎn)C作CEx軸，垂足為E，如圖(1)所示，畫出對應(yīng)的x軸、y軸，使xOy45，如圖(2)所示.(2)如圖(2)所示，在x軸上取點(diǎn)B，E，使得OBOB，OEOE；在y軸上取一點(diǎn)D，使得ODOD；過E作ECy軸，使ECEC.(3)連接BC，CD，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形OBCD就是所求的直觀圖.7.某幾何體的三視圖如圖所示，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.解畫法：(1)畫軸.如圖，畫x軸、y軸、z軸，使xOy45，xO

15、z90.(2)畫圓臺的兩底面.利用斜二測畫法，畫出底面O，在z軸上截取OO，使OO等于三視圖中相應(yīng)的高度，過點(diǎn)O作Ox的平行線Ox，作Oy的平行線Oy，利用Ox與Oy畫出上底面O.(3)畫圓錐的頂點(diǎn).在Oz上取點(diǎn)P，使PO等于三視圖中相應(yīng)的高度.(4)成圖.連接PA，PB，AA，BB，整理(去掉輔助線，并將被遮住的部分改為虛線)得到三視圖表示的幾何體的直觀圖，如圖.能 力 提 升8.如圖所示，ABC是水平放置的ABC的直觀圖，則在原ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A.AB B.ADC.BC D.AC解析還原ABC，即可看出ABC為直角三角形，故其斜邊AC最長.答案D9.若某幾何體的三

16、視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是()解析選項B中幾何體的側(cè)視圖與給出的側(cè)視圖不符，選項C，D中幾何體的俯視圖與給出的俯視圖不符，故排除選項B，C，D，故選A.答案A10.在如圖直觀圖中，四邊形OABC為菱形且邊長為2 cm，則在xOy坐標(biāo)系中原四邊形OABC為_(填形狀)，面積為_cm2.解析由題意，結(jié)合斜二測畫法可知，四邊形OABC為矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，四邊形OABC的面積S248 cm2.答案矩形811.用斜二測畫法畫出正六棱柱(底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的棱柱)的直觀圖(尺寸自定).解(1)畫軸.畫Ox軸，Oy軸，Oz軸，使xOy45(或135)，xOz90，如圖(1).(2)畫底面.以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱.過A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)，分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AABBCCDDEEFF，使