1、突破點13圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選)核心知識提煉提煉1 解答圓錐曲線的定值、定點問題，從三個方面把握(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以解出定點坐標.提煉2 用代數(shù)法求最值與范圍問題時從下面幾個方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個不同的交點，則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點、一定點或與定點構成的圖形，則利用圓錐曲線的性質(zhì)(性質(zhì)中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關系式直接求范圍(4)利用基本不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)

2、值域的方法求最值與范圍.提煉3 與圓錐曲線有關的探索性問題(1)給出問題的一些特殊關系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關系進行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)對于只給出條件，探求“是否存在”類型問題，一般要先對結論作出肯定存在的假設，然后由假設出發(fā)，結合已知條件進行推理，若推出相符的結論，則存在性得到論證；若推出矛盾，則假設不存在高考真題回訪回訪1圓錐曲線的定值、定點問題1(2015全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的

3、斜率與直線l的斜率的乘積為定值解 (1)由題意有，1，2分解得a28，b24.3分所以C的方程為14分(2)證明：設直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b2806分故xM，yMkxMb8分于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.11分所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值12分回訪2圓錐曲線中的最值與范圍問題2(2016全國卷)已知A是橢圓E：1的左頂點，斜率為k(k0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA.(1)當|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，證明：k0.

4、由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.又A(2,0)，因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN24分(2)證明：設直線AM的方程為yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由題意，設直線AN的方程為y(x2)，故同理可得|AN|.7分由2|AM|AN|得，即4k36k23k80.9分設f(t)4t36t23t8，則k是f(t)的零點f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)單調(diào)遞增又f()15260，f(2)60，因此f(t)在(

5、0，)上有唯一的零點，且零點k在(，2)內(nèi)，所以k212分回訪3與圓錐曲線有關的探索性問題3(2016全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H. (1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由解 (1)如圖，由已知得M(0，t)，P1分又N為M關于點P的對稱點，故N，故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H4分所以N為OH的中點，即26分(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點理由如下：7分直線MH的方程為ytx，即

6、x(yt).9分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點12分熱點題型1圓錐曲線中的定點問題題型分析：主要考查直線、曲線過定點或兩直線的交點在定直線上，以解答題為主【例1】(2017鄭州二模)已知動圓M恒過點(0,1)，且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程；(2)動直線l過點P(0，2)，且與點M的軌跡交于A，B兩點，點C與點B關于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點. 【導學號：】解 (1)由題意，得點M與點(0,1)的距離始終等于點M到直線y1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點，直線y

7、1為準線的拋物線，則1，p2.圓心M的軌跡方程為x24y4分(2)證明：由題知，直線l的斜率存在，設直線l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，聯(lián)立得x24kx80，6分kAC，則直線AC的方程為yy1(xx1)，8分即yy1(xx1)xx10分x1x28，yxx2，故直線AC恒過定點(0,2)12分方法指津動線過定點問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點問題，解法：設動直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動直線過定點(m,0)(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系

8、數(shù)等于零，得出定點.變式訓練1(2017蘭州二模)已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1(2,0)，點B(2，)在橢圓C上，直線ykx(k0)與橢圓C交于P，Q兩點，直線AP，AQ分別與y軸交于點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由解 (1)設橢圓C的方程為1(ab0)，橢圓的左焦點為F1(2,0)，a2b242分點B(2，)在橢圓C上，1.解得a28，b24.橢圓C的方程為1.5分(2)依題意點A的坐標為(2，0)，設P(x0，y0)(不妨設x00)，則Q(x0，y0)，由得x0，y0，6分

9、直線AP的方程為y(x2)，7分直線AQ的方程為y(x2)，8分M，N，9分|MN|.設MN的中點為E，則點E的坐標為，10分則以MN為直徑的圓的方程為x22，即x2y2y4，令y0，得x2或x2，11分即以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點H1(2,0)，H2(2,0)12分熱點題型2圓錐曲線中的定值問題題型分析：圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容，解決這類問題的關鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式恒成立，數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量【例2】(2016重慶二模)已知橢圓C：1(ab0)上一點P與橢圓右焦點的連線垂直于x軸，直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(均

10、不在坐標軸上)(1)求橢圓C的標準方程；(2)設O為坐標原點，若AOB的面積為，試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值？ 【導學號：】解 (1)由題意知解得3分橢圓C的標準方程為16分(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m2120，5分由(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k236分x1x2，x1x2，SOAB|m|x1x2|m|，8分化簡得4k232m20，滿足0，從而有4k2m2m23(*)，9分kOAkOB，由(*)式，得1，kOAkOB，即直線OA與OB的斜率之積為定值12分方法指津求解定值問題的兩大途徑1由特例得出一個值(此值一

11、般就是定值)2先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值變式訓練2已知橢圓C：1過A(2,0)，B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解 (1)由題意得a2，b1，橢圓C的方程為y214分又c，離心率e6分(2)證明：設P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.7分又A(2,0)，B(0,1)，直線PA的方程為y(x2)令x0，得yM，從而|BM|1yM18分直線PB的方程為yx1.令y0，得xN

12、，從而|AN|2xN210分四邊形ABNM的面積S|AN|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值12分熱點題型3圓錐曲線中的最值、范圍問題題型分析：圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考重點考查的內(nèi)容，解決此類問題常用的方法是幾何法和代數(shù)法【例3】(2017東北三省四市模擬)已知橢圓C：y21(a0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點(1)求橢圓C的方程；(2)設過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，點P橫坐標的取值范圍是，求線段AB長的取值范圍解 (1)因為以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點，所

13、以bc1，a，所以橢圓C的方程為y214分(2)根據(jù)題意，直線A，B的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為yk(x1)，與y21聯(lián)立，消去y并整理得(12k2)x24k2x2k220，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22)，即M.則直線AB的垂直平分線為y，令y0，得xP，因為xP，即0，所以0k2，|AB|.1，|AB|12分方法指津與圓錐曲線有關的取值范圍問題的三種解法1數(shù)形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結合求解2構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的

14、不等式求解3構建函數(shù)法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域變式訓練3(2017長沙二模)已知平面內(nèi)一動點M與兩定點B1(0，1)和B2(0,1)連線的斜率之積等于.(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)設直線l：yxm(m0)與軌跡E交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點P，當m變化時，求PAB面積的最大值. 【導學號：】解 (1)設M的坐標為(x，y)，1分依題意得，2分化簡得動點M的軌跡E的方程為y21(x0)4分(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立化簡得3x24mx2m220(x0)，有兩個不同的交點，由根與系數(shù)的關系得x1x2，x1x2，6分(4m)212

15、(2m22)0，即m且m1,0,1.7分設A，B的中點為C(xC，yC)，則xC，yCxCm，C，線段AB的垂直平分線方程為y，令y0，得P點坐標為8分則點P到AB的距離d，9分由弦長公式得|AB|，10分SPAB，11分當且僅當m2，即m(，)時，等號成立，PAB面積的最大值為12分熱點題型4圓錐曲線中的探索性問題題型分析：探索性問題一般分為探究條件和探究結論兩種類型，若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在若探究結論，則應先寫出結論的表達式，再針對表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論【例4】(2017湘中名校聯(lián)考)如圖131，曲線C由上半橢圓C1：1(ab

16、0，y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1的離心率為.(1)求a，b的值；(2)過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q(均異于點A，B)，是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過點A？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由圖131解 (1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1,0)，B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點由e及a2c2b21可得a2，a2，b12分(2)存在由(1)知，上半橢圓C1的方程為x21(y0).3分由題易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設其方程為yk(x1)(k0)代入C1的方程，整理得(k24

17、)x22k2xk240.(*)5分設點P的坐標為(xP，yP)，直線l過點B，x1是方程(*)的一個根由求根公式，得xP，從而yP，點P的坐標為.7分同理，由得點Q的坐標為(k1，k22k)(k，4)，k(1，k2).9分連接AP、AQ(圖略)，依題意可知APAQ，0，即k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k.11分經(jīng)檢驗，k符合題意，故直線l的方程為y(x1)12分方法指津探索性問題求解的思路及策略1思路：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確，則存在；若結論不正確，則不存在2策略：(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；(2)當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件變式訓練4(2017呼和浩特一模)已知橢圓1(ab0)的離心率e，直線ybx2與圓x2y22相切(1)求橢圓的方程；(2)已知定點E(1,0)，若直線ykx2(k0)與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值；若不存在，請