1、第四章 函數(shù)應用章末復習課網(wǎng)絡構(gòu)建核心歸納知識點一函數(shù)的零點1對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫作函數(shù)yf(x)的零點2方程的根與函數(shù)的零點的關系：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點3函數(shù)的零點存在定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根(1)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b內(nèi)若不連續(xù)，則f(a)f(b)0與函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的零點個數(shù)沒有關系(即：零點存在定理僅對連續(xù)函數(shù)適

2、用)(2)連續(xù)函數(shù)yf(x)若滿足f(a)f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點；反過來，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點不一定使f(a)f(b)0成立，若yf(x)為單調(diào)函數(shù)，則一定有f(a)f(b)0知識點二二分法二分法只能求出連續(xù)函數(shù)變號零點，另外應注意初始區(qū)間的選擇，依據(jù)給出的精確度，計算時及時檢驗知識點三函數(shù)的應用解決函數(shù)應用題關鍵在于理解題意，提高閱讀能力一方面要加強對常見函數(shù)模型的理解，弄清其產(chǎn)生的實際背景，把數(shù)學問題生活化；另一方面，要不斷拓寬知識面求解函數(shù)應用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為要點一函數(shù)的零點根據(jù)函數(shù)零點的定義，函數(shù)yf(x)的零點就是方程

3、f(x)0的根，判斷一個方程是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)0是否有根，有幾個根從圖形上說，函數(shù)的零點就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數(shù)零點、方程的根、函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標三者之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，利用它們之間的關系，可以解決很多函數(shù)、方程與不等式的問題在高考中有許多問題涉及三者的相互轉(zhuǎn)化，應引起我們的重視【例1】在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)ex4x3的零點所在的區(qū)間為()A. B C D解析fe40，f(0)e040320，fe20，fe0，ff0答案C【訓練1】設函數(shù)yx3與yx2的圖像的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A(0,1) B(1,2

4、)C(2,3) D(3,4)解析設g(x)x322x，則g(0)4，g(1)1，g(2)7，g(3)26，g(4)63，顯然g(1)g(2)0，于是函數(shù)g(x)的零點在(1,2)內(nèi)，即yx3與yx2的圖像的交點在(1,2)內(nèi)答案B要點二二分法及其應用二分法是把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而求零點近似值的方法它適合于：函數(shù)yf(x)的圖像在a，b上連續(xù)，f(a)f(b)0.同時滿足這兩個條件，才能利用二分法求函數(shù)零點的近似值【例2】利用計算器，求方程lg x3x的近似解(精確度0.1)解作出函數(shù)y1lg x與y23x的圖像，如圖所示由圖可以發(fā)現(xiàn)，方程lg

5、 x3x有唯一解，記為x1，并且這個解在區(qū)間(2,3)內(nèi)設f(x)lg xx3，用計算器計算，得：f(2)0x1(2,3)；f(2.5)0x1(2.5,3)；f(2.5)0x1(2.5,2.75)；f(2.5)0x1(2.5,2.625)；f(2.562 5)0.028 80x1(2.562 5,2.625)|2.6252.562 5|0.062 50.1，原方程的近似解可取為2.562 5【訓練2】用二分法求方程ln x2x0在區(qū)間1,2上零點的近似值，先取區(qū)間中點c，則下一個含根的區(qū)間是_解析令f(x)ln x2x，取區(qū)間1,2的中點fln2ln0，f(1)ln 12110，所以f(2)f

6、0所以下一個含根的區(qū)間是答案要點三函數(shù)模型及應用針對一個實際問題，我們應該選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫這當然需要我們深刻理解基本函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握基本函數(shù)和常用函數(shù)的特點，并對一些重要的函數(shù)模型要有清晰的認識對于一個具體的應用題，原題中的數(shù)量間的關系，一般是以文字和符號的形式給出，也有的是以圖像的形式給出，此時我們要分析數(shù)量變化的特點和規(guī)律，選擇較為接近的函數(shù)模型進行模擬，從而解決一些實際問題或預測一些結(jié)果【例3】某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格P(元)與時間t(天)組成有序數(shù)對(t，P)，點(t，P)落在圖中的兩條線段上；該股票在30天內(nèi)的日交易量Q(萬股)與時間t(天)的部分數(shù)據(jù)如下

7、表所示：第t天4101622Q(萬股)36302418(1)根據(jù)提供的圖像，寫出該種股票每股交易價格P(元)與時間t(天)所滿足的函數(shù)關系式；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q(萬股)與時間t(天)的一次函數(shù)關系式；(3)用y表示該股票日交易額(萬元)，寫出y關于t的函數(shù)關系式，并求在這30天中第幾天日交易額最大，最大值是多少？解(1)由圖像知，前20天滿足的是遞增的直線方程，且過兩點(0,2)，(20,6)，容易求得直線方程為Pt2；從20天到30天滿足遞減的直線方程，且過兩點(20,6)，(30,5)，求得方程為Pt8，故P(元)與時間t(天)所滿足的函數(shù)關系式為：P(2)由圖表，易知Q與t

8、滿足一次函數(shù)關系，即Qt40,0t30，tN*(3)由(1)(2)可知y當0t20，t15時，ymax125，當20t30時，y隨t的增大而減小所以，在30天中的第15天，日交易額的最大值為125萬元【訓練3】某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)關系用如圖所示的兩條線段表示，該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時間t(天)之間的函數(shù)關系是Qt40(0t30，tN*)(1)根據(jù)提供的圖像，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數(shù)關系式；(2)求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？(日銷售金額每件的銷售價格日銷售量)解(1)根據(jù)圖像，可得

9、P(2)設日銷售額為y元，則yPQ即有y若0t25，tN*，則當t10時，ymax900；若25t30，tN*，則當t25時，ymax1 125故第25天的日銷售金額最大，最大值為1 125元.考查方向要點四體現(xiàn)在函數(shù)與方程中的數(shù)學思想方向1數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學問題時，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，就是使抽象思維與形象思維聯(lián)系起來，實現(xiàn)抽象概念與具體圖像之間的相互轉(zhuǎn)化，即數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為圖像的性質(zhì)或者把圖像的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系來研究本章數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在判斷函數(shù)零點的個數(shù)或零點所在的大致區(qū)間【例41】已知函數(shù)f(x)若關于x的方程f(x)k有兩個不同的實根，則k的取值范圍是_解析易

10、知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示：由圖可知0k1答案0k1方向2方程思想當一個問題可以與某個方程建立關聯(lián)時，構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進行研究，由此解決這個問題，這就是方程思想本章方程思想的應用主要體現(xiàn)在：由求方程f(x)0的實數(shù)根確定函數(shù)yf(x)的零點，即求函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交點的橫坐標【例42】求下列函數(shù)的零點(1)f(x)x31；(2)f(x)解(1)f(x)x31(x1)(x2x1)令(x1)(x2x1)0，解得x1函數(shù)f(x)x31的零點是1(2)令f(x)0，解得x1函數(shù)f(x)的零點是1方向3轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化是將數(shù)學命題由一種形式轉(zhuǎn)向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程；化歸是將待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化的過程，歸結(jié)為一類已解決或比較容易解決的問題在解決函數(shù)問題時，常進行數(shù)與形或數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化，從而達