1、7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題最新考綱考情考向分析1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元一次線性規(guī)劃問題，并能加以解決.以畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域、目標函數(shù)最值的求法為主，兼顧由最優(yōu)解(可行域)情況確定參數(shù)的范圍，以及簡單線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用，加強轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進行考查，難度中低檔.1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點組成

2、的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界直線當我們在坐標系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線(2)對于直線AxByC0同一側(cè)的所有點，把它的坐標(x，y)代入AxByC，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0By0C的符號即可斷定AxByC0表示的是直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的

3、解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題3重要結(jié)論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線(2)特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證知識拓展1利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)τ贏xByC0或AxByC0時，區(qū)域為直線AxByC0的上方；(2)當B(AxByC)0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(3)點(x1，y1)，(x2，

4、y2)在直線AxByC0同側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，異側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy0表示()(5)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的()(6)最優(yōu)解指的是使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解()(7)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()題組二教材改編2P86T3不等式組表示的平面區(qū)域是()答案B解析x3y60表示直線x3y60及其右下方部分，xy20表示直線xy20的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影部分3P91T2投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每

5、生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為_(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)答案解析用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1 400場地200x100y900所以不難看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.題組三易錯自糾4下列各點中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案C解析把各點的坐標代入可得(1,3)不

6、適合，故選C.5(2017日照一模)已知變量x，y滿足則z()2xy的最大值為()A. B2 C2 D4答案D解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，令m2xy，則當m取得最大值時，z()2xy取得最大值由圖知直線m2xy經(jīng)過點A(1,2)時，m取得最大值，所以zmax()2124，故選D.6已知x，y滿足若使得zaxy取最大值的點(x，y)有無數(shù)個，則a的值為_答案1解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，當直線zaxy和直線AB重合時，z取得最大值的點(x，y)有無數(shù)個，akAB1，a1.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例 (20

7、17黃岡模擬)在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域A(x，y)|xy1，且x0，y0，則平面區(qū)域B(xy，xy)|(x，y)A的面積為()A2 B1C. D.答案B解析對于集合B，令mxy，nxy，則x，y，由于(x，y)A，所以即因此平面區(qū)域B的面積即為不等式組所對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)的面積，畫出圖形可知，該平面區(qū)域的面積為21，故選B.命題點2含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例 若不等式組表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是()Aa B0a1C1a D0a1或a答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動直線l：xya

8、在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)故選D.思維升華 (1)求平面區(qū)域的面積對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形，分別求解再求和即可(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解跟蹤訓(xùn)練 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的()答案C解析由(x2y1)(xy3)0，可得或畫出平面區(qū)域后，只有選項C符合題意(2)已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k的值為()A1

9、 B1 C0 D2答案A解析由于x1與xy40不可能垂直，所以只有可能xy40與kxy0垂直或x1與kxy0垂直當xy40與kxy0垂直時，k1，檢驗知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求當x1與kxy0垂直時，k0，檢驗不符合要求題型二求目標函數(shù)的最值問題命題點1求線性目標函數(shù)的最值典例 (2017全國)設(shè)x，y滿足約束條件 則z2xy的最小值是()A15 B9 C1 D9答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示將目標函數(shù)z2xy化為y2xz，作出直線y2x，并平移該直線知，當直線y2xz經(jīng)過點A(6，3)時，z有最小值，且zmin2(6)315.故選A.命題點2求非線性目標函數(shù)的最值典例

10、 (2016山東)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A4 B9 C10 D12答案C解析滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示，x2y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x3，y1時，x2y2取得最大值，最大值為10.故選C.命題點3求參數(shù)值或取值范圍典例 變量x，y滿足約束條件若z2xy的最大值為2，則實數(shù)m等于()A2 B1 C1 D2答案C解析對于選項A，當m2時，可行域如圖(1)，直線y2xz的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故A不正確；對于選項B，當m1時，mxy0等同于xy0，可行域如圖(2)，直線y2xz的截距可以無限小，z不存在

11、最大值，不符合題意，故B不正確；對于選項C，當m1時，可行域如圖(3)，當直線y2xz過點A(2,2)時截距最小，z最大為2，滿足題意，故C正確；對于選項D，當m2時，可行域如圖(4)，直線y2xz與直線OB平行，截距最小值為0，z最大為0，不符合題意，故D不正確故選C.思維升華 (1)先準確作出可行域，再借助目標函數(shù)的幾何意義求目標函數(shù)的最值(2)當目標函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有表示點(x，y)與原點(0,0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率(3

12、)當目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件跟蹤訓(xùn)練 (1)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z的取值范圍為()A. B.C. D.答案B解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z表示點D(2,3)與平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)之間連線的斜率因為點D(2,3)與點B(8,1)連線的斜率為且C的坐標為(2，2)，故由圖知，z的取值范圍為，故選B.(2)已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a等于()A3 B2C2 D3答案B解析根據(jù)已知條件，畫出可行域，如圖陰影部分所示由zaxy，得yaxz，直線的斜率ka.當0k1，即1a1，即a1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(0,0)

13、，此時z0，不合題意；當1k0，即0a1時，無選項滿足此范圍；當k1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(2,0)，此時z2a04，得a2.題型三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題典例 某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100xy，所以利潤5x6y3(100x

14、y)2x3y300.(2)約束條件為整理得目標函數(shù)為2x3y300，作出可行域，如圖陰影部分所示，作初始直線l0：2x3y0，平移l0，當l0經(jīng)過點A時，有最大值，由得最優(yōu)解為A(50,50)，此時max550元故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元思維升華 解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標函數(shù)(3)作圖：準確作出可行域，平移找點(最優(yōu)解)(4)求解：代入目標函數(shù)求解(最大

15、值或最小值)(5)檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反饋跟蹤訓(xùn)練 (2016全國)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元答案216 000解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為目標函數(shù)z2 100x900y.作出可行域為

16、圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)線性規(guī)劃問題考點分析線性規(guī)劃是高考重點考查的一個知識點這類問題一般有三類：目標函數(shù)是線性的；目標函數(shù)是非線性的；已知最優(yōu)解求參數(shù)，處理時要注意搞清是哪種類型，利用數(shù)形結(jié)合解決問題典例 (2016天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z2x5y的最小值為()A4 B6 C10 D17答案B解析由約束條件作出可行域如圖(陰影部分)所示，目標函數(shù)可化為yxz，在圖中畫出直線yx，平移該直線，易知經(jīng)過點A時z最小又知點A的坐標

17、為(3,0)，zmin23506.故選B.1下列二元一次不等式組可表示圖中陰影部分平面區(qū)域的是()A.B.C.D.答案C解析將原點坐標(0,0)代入2xy2，得20，于是2xy20所表示的平面區(qū)域在直線2xy20的右下方，結(jié)合所給圖形可知C正確2(2017天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標函數(shù)zxy的最大值為()A. B1 C. D3答案D解析畫出可行域，如圖中陰影所示由目標函數(shù)zxy，結(jié)合圖象易知yxz過(0,3)點時z取得最大值，即zmax033.故選D.3直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有()A0個 B1個 C2個 D無數(shù)個答案B解析由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖

18、陰影部分所示直線2xy100恰過點A(5,0)，且其斜率k2kAB，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5,0)4(2018上海調(diào)研)若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為()A3 B1 C. D3答案B解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，則圖中A點縱坐標yA1m，B點縱坐標yB，C點橫坐標xC2m，SABDSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m1或m3，又當m3時，不滿足題意，應(yīng)舍去，m1.5某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)

19、品的利潤是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元答案C解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，則根據(jù)題意得x，y滿足的約束條件為設(shè)獲利z元，則z300x400y.畫出可行域如圖陰影部分畫出直線l：300x400y0，即3x4y0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過點M時，目標函數(shù)取得最大值由解得即M的坐標為(4,4)，zmax300440042 800(元)故選C.6(2018棗莊模擬)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則的

20、最小值是()A2 B2C1 D1答案D解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點P(x，y)與定點A(0，1)所在直線的斜率，由圖象可知當P位于點D(1,0)時，直線AP的斜率最小，此時的最小值為1.故選D.7(2017開封一模)若x，y滿足約束條件且目標函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是()A4,2 B(4,2)C4,1 D(4,1)答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，直線zax2y的斜率為k，從圖中可看出，當12，即4a2時，僅在點(1,0)處取得最小值，故選B.8(2017河北“五個一名校聯(lián)盟”質(zhì)檢)已知點P的坐標

21、(x，y)滿足過點P的直線l與圓C：x2y214相交于A，B兩點，則|AB|的最小值是_答案4解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，設(shè)點P到圓心的距離為d，則求最短弦長，等價于求到圓心的距離d最大的點，即為圖中的P點，其坐標為(1,3)，則d，此時|AB|min24.9(2017全國)若x，y滿足約束條件則z3x4y的最小值為_答案1解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示由z3x4y，得yxz.平移直線yx，易知經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值由得A(1,1)zmin341.10(2018滕州模擬)已知O是坐標原點，點M的坐標為(2,1)，若點N(x，y)為平面區(qū)域上

22、的一個動點，則的最大值是_答案3解析依題意，得不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A，B，C(1,1)設(shè)z2xy，當目標函數(shù)z2xy過點C(1，1)時，z2xy取得最大值3.11(2017衡水中學(xué)月考)若直線y2x上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為_答案1解析約束條件 表示的可行域如圖中陰影部分所示當直線xm從如圖所示的實線位置運動到過A點的虛線位置時，m取最大值解方程組得A點坐標為(1,2)m的最大值為1.12若點(1,1)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m2n2的取值范圍是_答案1,4解析由點(1,1)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)可得畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分所示)，則m2n2表示區(qū)域上的點到原點的距離的平方，所以1m2n24.13(2017石家莊二模)在平面直角坐標系中，不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為，若x，y滿足上述約束條件，則z的最小值為()A1 BC. D答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由題意，知