1、10.3二項式定理最新考綱考情考向分析會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.以理解和應(yīng)用二項式定理為主，?？疾槎椪归_式，通項公式以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，賦值法求系數(shù)的和也是考查的熱點；本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇題、填空題的形式進行考查，難度中檔.1二項式定理二項式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二項展開式的通項公式Tk1Cankbk，它表示第k1項二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù)C(k0,1,2，n)2.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)C1，C1.CCC.(2)CC.(3)當n是偶數(shù)時，項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，與1項的二項式系數(shù)相等且最大(4)(ab)n展開式的

2、二項式系數(shù)和：CCCC2n.知識拓展二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)Cankbk是二項展開式的第k項()(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項()(3)(ab)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān)()(4)(ab)n的展開式第k1項的系數(shù)為Cankbk.()(5)(x1)n的展開式

3、二項式系數(shù)和為2n.()題組二教材改編2P31例2(1)(12x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于()A80 B40C20 D10答案B解析Tk1C(2x)kC2kxk，當k2時，x2的系數(shù)為C2240.3P31例2(2)若n展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為()A10 B20C30 D120答案B解析二項式系數(shù)之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kkCx62k，當62k0，即當k3時為常數(shù)項，T4C20.4P41B組T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a0a2a4的值為()A9 B8C7 D6答案B解析令x1，則a0a1a2a3a40，令x1，則a0a1a2a3a

4、416，兩式相加得a0a2a48.題組三易錯自糾5(xy)n的二項展開式中，第m項的系數(shù)是()AC BCCC D(1)m1C答案D解析(xy)n二項展開式第m項的通項公式為TmC(y)m1xnm1，所以系數(shù)為C(1)m1.6已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若數(shù)列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是()A5 B6C7 D8答案B解析由二項式定理知，anC(n1,2,3，11)又(x1)10展開式中二項式系數(shù)最大項是第6項，所以a6C，則k的最大值為6.7(xy)4的展開式中，x3y3項的系數(shù)為_答案6解析二項展開式的通項是Tk1C(x)4k

5、(y)k(1)kC，令423，解得k2，故展開式中x3y3的系數(shù)為(1)2C6.題型一二項展開式命題點1求二項展開式中的特定項或指定項的系數(shù)典例 (1)(2017全國)(1x)6的展開式中x2項的系數(shù)為()A15 B20 C30 D35答案C解析因為(1x)6的通項為Cxk，所以(1x)6的展開式中含x2的項為1Cx2和Cx4.因為CC2C230，所以(1x)6的展開式中x2項的系數(shù)為30.故選C.(2)(x2xy)5的展開式中，x5y2項的系數(shù)為()A10 B20C30 D60答案C解析方法一利用二項展開式的通項公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的項為T3C(x2x)3y2.其中(

6、x2x)3中含x5的項為Cx4xCx5.所以x5y2項的系數(shù)為CC30.故選C.方法二利用組合知識求解(x2xy)5為5個x2xy之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC30.故選C.命題點2已知二項展開式某項的系數(shù)求參數(shù)典例 (1)(2018屆海口調(diào)研)若(x2a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A. B. C1 D2答案D解析由題意得10的展開式的通項公式是Tk1Cx10kkCx102k，10的展開式中含x4(當k3時)，x6(當k2時)項的系數(shù)分別為C，C，因此由題意得CaC12045a30，由此解得a2，故選D.(2)(2016山東)若5項

7、的展開式中x5項的系數(shù)為80，則實數(shù)a_.答案2解析Tk1C(ax2)5kka5kC，10k5，解得k2，a3C80，解得a2.思維升華 求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k1，代回通項公式即可跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017全國)(xy)(2xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A80 B40 C40 D80答案C解析因為x3y3x(x2y3)，其系數(shù)為C2240，x3y3y(x3y2)，其系數(shù)為C2380.所以x3y3的系數(shù)為804040.故選C.(2)(xa)10的展開式中，x7項的系數(shù)為15，則a_.

8、(用數(shù)字填寫答案)答案解析設(shè)通項為Tk1Cx10kak，令10k7，k3，x7項的系數(shù)為Ca315，a3，a.題型二二項式系數(shù)的和與各項的系數(shù)和問題典例 (1)(ax)(1x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a_.答案3解析設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展開式中x的奇數(shù)次冪的系數(shù)之和為a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.(2)(2018汕頭質(zhì)檢)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且

9、(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實數(shù)m的值為_答案1或3解析令x0，則(2m)9a0a1a2a9，令x2，則m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.(3)若n的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(13x)na0a1xa2x2anxn，則a1a2an的值為_答案255解析n展開式的第k1項為Tk1C(x2)nkkC(1)kx2n3k，當k5時，2n3k1，n8.對(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又當x0時，a01，a1a2a8

10、255.思維升華 (1)“賦值法”普遍適用于恒等式，對形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤訓(xùn)練 (1)(2017岳陽模擬)若二項式n的展開式中各項系數(shù)的和是512，則展開式中的常數(shù)項為()A27C B27CC9C D9C答案B解析令x1，得2n512，所以n9，故9的展開式的通項為Tk1C(3x2)9kk(1)kC39kx183k，令183k0，得k6.所以常數(shù)項為T7(1)6C3327

11、C.(2)(2017綿陽模擬)(13x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則|a0|a1|a2|a3|a4|a5|等于()A1 024 B243C32 D24答案A解析令x1，得a0a1a2a3a4a5|a0|a1|a2|a3|a4|a5|1(3)5451 024.題型三二項式定理的應(yīng)用典例 (1)設(shè)aZ且0a13，若512 012a能被13整除，則a等于()A0 B1 C11 D12答案D解析512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512

12、012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除，因此a的值為12.(2)(2017安徽江南名校聯(lián)考)設(shè)復(fù)數(shù)x(i是虛數(shù)單位)，則CxCx2Cx3Cx2 017等于()Ai BiC1i D1i答案C解析x1i，CxCx2Cx3Cx2 017(1x)2 0171i2 0171i1.思維升華 (1)逆用二項式定理的關(guān)鍵根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定理求解(2)利用二項式定理解決整除問題的思路觀察除式與被除式間的關(guān)系；將被除式拆成二項式；結(jié)合二項式定理得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018泉州模擬)190C902C903C(1)k90k

13、C9010C除以88的余數(shù)是()A1 B1C87 D87答案B解析190C902C903C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881，前10項均能被88整除，余數(shù)是1.(2)若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，則_.答案1解析當x0時，左邊1，右邊a0，a01.當x時，左邊0，右邊a0，01，即1.二項展開式的系數(shù)與二項式系數(shù)典例 (1)若n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為1 024，則展開式中含x項的系數(shù)為_(2)已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展開式中x4項的系數(shù)是35，則a1a2a7_.錯解展示：(1)n展開

14、式中，令x1可得4n1 024，n5，n展開式的通項Tk1(3)kC，令1，得k1.故展開式中含x項的系數(shù)為C5.(2)a1a2a7CCC271.錯誤答案(1)5(2)271現(xiàn)場糾錯解析(1)在n的展開式中，令x1，可得n展開式的各項系數(shù)絕對值之和為4n22n1 024210，n5.故5展開式的通項為Tk1(3)kC，令1，得k1，故展開式中含x項的系數(shù)為15.(2)(xm)7a0a1xa2x2a7x7，令x0，a0(m)7.又展開式中x4項的系數(shù)是35，C(m)335，m1，a0(m)71.在(xm)7a0a1xa2x2a7x7中，令x1，得01a1a2a7，即a1a2a3a71.答案(1)

15、15(2)1糾錯心得和二項展開式有關(guān)的問題，要分清所求的是展開式中項的系數(shù)還是二項式系數(shù)，是系數(shù)和還是二項式系數(shù)的和1已知(1x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A29 B210 C211 D212答案A解析由題意，CC，解得n10，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n129.故選A.2在x2(1x)6的展開式中，含x4項的系數(shù)為()A30 B20 C15 D10答案C解析因為(1x)6的展開式的第k1項為Tk1Cxk，所以x2(1x)6的展開式中含x4的項為Cx415x4，所以系數(shù)為15.3(2017廣州測試)使n(nN*)展開式中含有常數(shù)項的n的最小值是()

16、A3 B4C5 D6答案C解析Tk1C(x2)nkkCx2n5k，令2n5k0，得nk，又nN*，所以n的最小值是5.4(2017邵陽模擬)(13x)n的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則x4的二項式系數(shù)為()A21 B35C45 D28答案B解析Tk1C(3x)k3kCxk，由已知得35C36C，即C3C，n7，因此，x4的二項式系數(shù)為C35，故選B.5(4x2x)6(xR)展開式中的常數(shù)項是()A20 B15C15 D20答案C解析設(shè)展開式中的常數(shù)項是第k1項，則Tk1C(4x)6k(2x)kC(1)k212x2kx2kxC(1)k212x3kx，12x3kx0恒成立，k4，T5C(1)41

17、5.6若在(x1)4(ax1)的展開式中，x4項的系數(shù)為15，則a的值為()A4 B. C4 D.答案C解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4項的系數(shù)為4a115，a4.7(2018漯河質(zhì)檢)若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，則a0a1a2a3(1)nan等于()A.(3n1) B.(3n2)C.(3n2) D.(3n1)答案D解析在展開式中，令x2，得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1)8.6展開式中不含x的項的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案20解析6展開式中不含x的項為C(xy

18、)3320y3，故不含x的項的系數(shù)為20.9若將函數(shù)f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實數(shù)，則a3_.(用數(shù)字作答)答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通項為Tk1C(1x)5k(1)k，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.10(2017廣州五校聯(lián)考)若6的展開式中x3項的系數(shù)為20，則log2alog2b_.答案0解析6的展開式的通項為Tk1Ca6kbkx123k，令123k3，則k3，6的展開式中x3項的系數(shù)為Ca3b320，ab1，log2alog2blog2(ab)log210.11(2017撫順一中月考)在6(a0)的展開式中，常數(shù)項的系數(shù)是60，則sin xdx的值為_答案1cos 2解析由二項展開式的通項公式可知，Tk1C()6kkakCx ，令3k0，得k2，則T3a2C60，所以a2，所以sin xdxcos x|1cos 2.12(2018河南南陽模擬)若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.(用數(shù)字作答)答案364解析令x1，得a0a1a2a1236，令