1、2. (P59習(xí)題4) 設(shè)方陣A滿足 ， 證明 A 及A+2E都可逆,并求 。,要證A可逆，只要證存在矩陣B，使AB=E即可。,分析：,習(xí) 題 講 解,解法：將一個(gè) E 移至右邊，再將左邊分解因式。,設(shè)方陣A滿足 ，證明 A 及A+2E都可逆, 并求 。,證,P79第4題,解 必要性由定理7（初等變換不改變矩陣的秩）立得。,習(xí) 題 講 解,充分性 設(shè)R(A)=R(B).,由等價(jià)關(guān)系的傳遞姓，知A與B等價(jià)。,1 設(shè)有行向量組,解 考慮,Can You Answer Them?,2 判斷 1 若A組向量與B組向量等價(jià)，則A組與B組的線性 相關(guān)性相同。,（）,3 若矩陣A的行向量組與B的行向量組等價(jià)

2、，則方 程組AX=0與BX=0同解。,（）,（）,2 若C=AB，則C的行向量組可由B的行向量組線性 表示, C的列向量組可由A的列向量組線性表示。,Can You Answer Them?,注：驗(yàn)證一個(gè)向量集合是否為向量空間的步驟： V非空； V關(guān)于向量加法封閉； V關(guān)于 向量數(shù)乘封閉。,相關(guān)內(nèi)容回顧 向量空間： 設(shè)V為 n 維向量的集合，如果集合V非空，且集 合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合 V為向量空間。,向量空間的基和維數(shù),V 是向量空間，如果 r 個(gè)向量,滿足：,線性無關(guān)；,則向量組 就稱為向量空間 V 的一個(gè)基， r 稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V是 r 維向量空間。,零

3、向量空間的維數(shù)為 0。,第四章 線性方程組,本章將討論： 齊次與非齊次方程組的解的結(jié)構(gòu)理論； 用初等變換法解齊次與非齊次方程組； 帶有參數(shù)的非齊次方程組的解的討論。,4.1 齊次線性方程組,本節(jié)將討論： 齊次方程組解的結(jié)構(gòu) 用初等變換法（即消元法）解齊次線性 方程組,設(shè)有齊次 線性方程組,矩陣形式為 AX=O 其中Amn是系數(shù)矩陣 (2),向量 形式,結(jié)論 1 齊次線性方程組 AX=O 的解的全體構(gòu)成一個(gè)向量 空間。（記為 S，稱S為解空間。）,Ax = 0 的解的全體S構(gòu)成一個(gè)向量空間。,證 往證S對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉,綜上，即知 S是一個(gè)向量空間。,S顯然是 非空的。,結(jié)論 1 齊次線性方

4、程組 AX= O 的解的全體是一個(gè)向 量空間。（記為 S，稱S為解空間。）,由于S是一個(gè)向量空間，自然我們希望知道：,(1) 維(S) = ? (2) 如何確定S的基。,定義 稱解空間S的基為方程組 AX=O 的基礎(chǔ)解系。,結(jié)論 2 若 R(A)= r , 則解空間 S 的維數(shù)等于 nr 。 （其中 n 為方程組中未知變量的個(gè)數(shù)）,(此結(jié)論的證明略，后面將用具體的例子予以說明。),若,是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則解空間S可表為：,即任一解向量皆可表示為如下形式：,稱（*）式為齊次方程組AX=0的通解。,結(jié)論 2 的兩個(gè)特別情形:,1) 若R(A)=0,則A為0矩陣,此時(shí)任一 n 維向量皆是解向量,

5、 即S=Rn , 當(dāng)然有維(S)=n.,2) 若R(A)=n, 即A為列滿秩矩陣,此時(shí)A的列向量組線性 無關(guān),從而方程組 AX=O只有零解,故維(S)=0.,結(jié)論3 n元方程組AX=O有非零解的充要條件是R(A)n.,由上立得：,（注意：此結(jié)論即第二章定理 8, 它是克萊姆法則的 推廣。）,例 (P93 例1) 用初等變換法求解方程組,解 對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰?由此知 R(A)= ， 維(S)= 。,2,4 -2=2,于是知基礎(chǔ)解系中包含兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。,為求基礎(chǔ)解系，我們先寫出與矩陣 I 對(duì)應(yīng)的方程組， 注意這個(gè)方程組與原方程組同解。,這里,可任意取值，稱,其為自由變量

6、，而稱,為保留變量。,從而得方程組的通解為：,注意：可以從 同解方程組直 接寫出通解。,例 (P94 例 2)求解方程組,解 對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰?同解方 程組：,通解 為：,例 設(shè)A,B都是 n 階方陣, 且AB= 0, 證明 R(A)+R(B)n,見P94例3,證 將矩陣 B 按列分塊,則,由 AB = 0,即B的每一個(gè)列向量皆為方程組AX=0的解向量。,又若R(A)= r，則解空間S的維數(shù)：維(S)=nr。,思考：A*的秩與A的秩間的關(guān)系。,4.2 非齊次線性方程組,本節(jié)將討論： 非齊次方程組有解的判定 非齊次方程組解的結(jié)構(gòu) (帶有參數(shù)的)非齊次方程組的具體解法,設(shè)有非齊

7、 次方程組,向量 形式,矩陣形式 AX=b 其中Amn為系數(shù)矩陣 (6),結(jié)論 對(duì)非齊次方程組(4)來說,下面四種說法等價(jià)：, 方程組（4）有解； 向量 b 能由向量組 a1, a2, ,an 線性表示； 向量組 a1, a2, ,an 與向量組 a1, a2, ,an , b 等價(jià)； 矩陣 A= (a1, a2, ,an ) 與B= (a1, a2, ,an , b)的秩相等。,通常稱 A為系數(shù)矩陣，稱 B= (A，b)為增廣矩陣。,定理 1 非齊次方程組有解的充分必要條件為：它的系數(shù) 矩陣A與增廣矩陣B的秩相等。,即 AX= b 有解 充要條件為 R(A)= R(B)。 故知 當(dāng)R(A)

8、R(B)時(shí)，方程組無解。,利用增廣矩陣,方程組(4)的解的判定條件常表述為：,以下我們來討論非齊次方程組的解的結(jié)構(gòu)。,證,性質(zhì) 2,證,注：性質(zhì)1，2指明了求非齊次方程組的一般形式 解的 方法。,其中，是對(duì)應(yīng)的齊次方程組的解。,亦即 非齊次方程的任一解 = 對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解+ + 非齊次方程的一個(gè)特解,于是 非齊次方程的通解 = 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 + +非齊次方程的一個(gè)特解,是對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系，,若設(shè),則非齊次方程 AX=b的通解可表示為,回顧：何時(shí)AX=O 有唯一解？何時(shí)有無窮多解？,綜合以上討論，我們知對(duì)于非齊次線性方程組,在有無窮多解時(shí)，通解為,例 (P97例4) 求解方程組,解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,可見 R(A)=R(B)=2， 故方程組有解。,并得同解方程組：,通解為,解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,可見 R(A) =2， R(B) =3， 故方程組無解。,例 (P98例5) 求解方程組,解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換,例 (P99例7) 求解方程組,可見,當(dāng),此時(shí)方程組有唯一解。,當(dāng)= 2 時(shí)，R(A)