1、1,第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 （建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型）,2.1 微分方程的建立及線性化 2.2 傳遞函數(shù) 定義、性質(zhì)、典型元件的傳遞函數(shù) 2.3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換 組成、等效變換、簡化、Mason公式 2.4 自動控制系統(tǒng)例題 液位、位置伺服、速度、液壓調(diào)速,2,要對自動控制系統(tǒng)進行定量（精確）地分析和設(shè)計，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。 物理量：高度、速度、溫度、壓力、流量、電壓、電流 。 數(shù)學(xué)表達式：代數(shù)方程、微分方程 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型 ：系統(tǒng)變量之間與時間無關(guān)的靜態(tài)關(guān)系 動態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量對時間的變化率，反映系統(tǒng)的動態(tài)特性,3

2、,建模方法 ：分析法、實驗法,實驗法（黑箱法、辨識法、灰箱法）：人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識出數(shù)學(xué)模型。 方法：頻率特性法 最小二乘法 (曲線擬合) 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)法 模糊模型法 模型驗證：將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近。,黑匣子,輸入（充分激勵）,輸出（測量結(jié)果）,2.1 微分方程的建立及線性化,4,分析法根據(jù)系統(tǒng)運動規(guī)律（定律、經(jīng)驗公式）和結(jié)構(gòu)參數(shù)，推導(dǎo)系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)關(guān)系。 建模（微分方程）步驟,第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達式，消去中間變量，得到描 述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。,第一步：將系統(tǒng)分成若干個

3、環(huán)節(jié)，列寫各環(huán)節(jié)的輸出輸入的數(shù)學(xué)表達式。,利用適當?shù)奈锢矶扇缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。,5,例2.2 圖2.2是具有轉(zhuǎn)動慣量為J的轉(zhuǎn)子， 與彈性系數(shù)為K的彈性軸和阻尼 系數(shù)為 的阻尼器連接。假設(shè) 施加的外扭矩為 ， 則系統(tǒng)產(chǎn)生偏離平衡位置的角位移 。試寫出角位移 與扭矩 的微分方程。,例2.1 如右圖所示，寫出RC電路的微分方程。 解：明確輸入量 ， 輸出量 第一步：環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達式 第二步：消去中間變量,6,解：,（2.2.1）,式中，M1慣性體所產(chǎn)生的阻力矩，為,M2阻尼器所產(chǎn)生的阻尼力矩，為,M3彈性軸所產(chǎn)生的彈性阻力矩，為,將M1、 M2、 M3代入式（2.2.

4、1），得到描述系統(tǒng)輸出輸入關(guān)系的運動方程式為,（2.2.2）,牛頓定律,7,數(shù)學(xué)工具拉普拉斯變換與反變換, 拉氏變換定義 設(shè)函數(shù)f(t)滿足 t0時，f(t)分段連續(xù) 則f(t)的拉氏變換存在，其表達式記作 控制工程上函數(shù)都滿足拉氏變換要求：能量有限 拉氏變換基本定理 線性定理 位移定理 延遲定理,8,初值定理,微分定理,積分定理,終值定理,9,工程上典型函數(shù)的拉氏變換,時域上函數(shù)：f(t) 脈沖 (t) 單位階躍 速度 加速度 指數(shù) 正弦 二階響應(yīng) （01）,復(fù)數(shù)（S）域：F（s） 1,10,線性微分方程的求解,（3）對輸出量的拉式變換式進行拉式反變換，得到系統(tǒng)微 分方程的解。,線性微分方程

5、的求解方法：,解析法、拉普拉斯變換法、計算機輔助求解,拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：,（1）考慮初始條件，對微分方程中的各項進行拉式變換， 變成變量s的代數(shù)方程。,（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出輸入量的拉式變換式。,11,例2.3 設(shè)線性微分方程為,式中， 為單位階躍函數(shù)，初始條件為 ， ，試求該微分方程的解。,解：,（1）對微分方程中的各項進行拉式變換得,（2.1.3）,（2）將初始條件代入式（2.1.3），得,12,（3）對式（2.1.3）進行分解：,式中,對Y（S）進行拉式反變換,13,2.2 傳遞函數(shù),2.2.1 傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì),傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微

6、分方程的過程中引申 出來的概念。,微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定 外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時分析較麻煩。不解方程進行系統(tǒng)分析？,定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系 統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,14,設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令R(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代數(shù)方程為：,15,性質(zhì)1 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，mn， 且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。（物理可實現(xiàn)）,性質(zhì)2 G(s)取決于系統(tǒng)

7、或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量 的形式（幅度與大?。o關(guān)。,性質(zhì)3 G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提 供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理 系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。,性質(zhì)4 如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號 作用下的輸出響應(yīng)。,性質(zhì)5 如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入， 研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)就可 獲得該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理系統(tǒng) 描述不同。,16,性質(zhì)6 傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。,如果將 置換,17,2.2.2 典型元件的傳遞函數(shù)任何一個復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的。,典型環(huán)節(jié)通常分為

8、以下六種：,1 比例環(huán)節(jié),特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。 實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。,式中: K-增益,18,2 慣性環(huán)節(jié),式中:T-時間常數(shù),特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不 能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。 實例：RC網(wǎng)絡(luò)，一階水槽(流水)，直流伺服電動機 的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。,3 積分環(huán)節(jié),特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入 消失，輸出具有記憶功能。 實例：一階水槽，電動機角速度與角度間的傳遞 函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。,19,特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸 入信號的變化趨勢。 實例：測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度

9、間的傳遞 函數(shù)即為理想微分環(huán)節(jié)或一階微分環(huán)節(jié)。 二階微分環(huán)節(jié)是構(gòu)成物理系統(tǒng)的伴隨產(chǎn)物，一般不單獨存在。,4 微分環(huán)節(jié),理想微分,二階微分,一階微分,20,特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進 行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。 實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。 可控硅直流閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)也是一個二階振蕩環(huán)節(jié)。,5 振蕩環(huán)節(jié),式中 阻尼比,自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）,21,6 延時（滯后）環(huán)節(jié),特點：輸出量能準確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固 定的時間間隔。 實例：管道壓力、流量、皮帶運輸?shù)任锢砹康?控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。,式中,延遲時間常數(shù),實際控制系統(tǒng)都含有滯后環(huán)節(jié)，只

10、是延遲時間常數(shù)大小問題（小忽略不計）。,22,K1是單個電位器的傳遞系統(tǒng)，,是兩個電位器電刷角位移之差，稱誤差角。,電位器的負載效應(yīng)，一般要求,1.電位器,實例：,23,直,轉(zhuǎn)子角速度（rad/s）,輸出斜率（v/rad/s）,),(,s,),U,(,s,U,(,s,),圖,2,.8,直流測速發(fā)電機 交流測速發(fā)電機,2.測速發(fā)電機測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置,傳遞函數(shù),24,G,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),圖,2,-,1,1,方,框,圖,中,的,方,框,信,號,線,方,框,r,(,t,),c,(,t,),信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函

11、數(shù)或象函數(shù)。,（2）比較點（匯合點、綜合點） 兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件。 “+”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。,2.3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（方框）圖,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形原理圖元件數(shù)學(xué)模型。特點：直觀。,（1）方框（方塊）:表示輸入到輸出單向傳輸間 的函數(shù)關(guān)系。,2.3.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成,25,+,X,1,X,1,+,X,2,X,2,+,X,1,X,1,X,2,+,X,2,-,X,3,圖,2,-,1,2,比,較,點,示,意,圖,注意：進行相加減的量，必須具有相同的量綱。 (3) 引出線（分支點、測量點） 表示信號測量

12、或引出的位置,圖,2,-,1,3,分,支,點,示,意,圖,),注意：同一位置引出的信號 大小和性質(zhì)完全一樣。,X,3,-,26,幾個基本概念及術(shù)語,+,+,H,(,s,),+,R,(,s,),E,(,s,),B,(,s,),N,(,s,),C,(,s,),圖,2,-,1,4,反,饋,控,制,系,統(tǒng),方,塊,圖,(1)前向通路傳遞函數(shù)-假設(shè)N(s)=0 C(s)與誤差E(s)之比（打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比）,(2)反饋回路傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0 主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。,反饋信號,控制對象,控制器,C,(,s,),27,(3)開環(huán)傳遞函數(shù) Open-loop Transfer Function 假設(shè)N(s)=0 主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。,(4)閉環(huán)傳遞函數(shù) Closed-loop Transfer Function 假設(shè)N(s)=0 輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。,推導(dǎo)：因為,右邊移過來整理得,28,(5)誤差傳遞函數(shù) 假設(shè)N(s)=0 誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比 。,代入上式，消去G(s)即得：,將,+,+,H,(,s,),+,R,(,s,),E,(,s,),B,(,s,),N,(,s,),C,(,s,),29,圖2-15 輸出對擾動的結(jié)構(gòu)圖,利用公式*，直接