1、第四節(jié) 倒格子,本節(jié)主要內(nèi)容:,一、 概念的引入,三、 倒格矢與晶面,二、 倒格子是倒易空間的布拉維格子,四、 倒格子的點群對稱性,1,學(xué)習(xí)交流PPT,2.4 倒格子,一、概念的引入,晶體結(jié)構(gòu)的周期性,可以用坐標(biāo)空間(r空間)的布拉維格子來描述,這是前幾節(jié)我們所討論的內(nèi)容,也是我們易于理解的實物粒子的普遍描述.,然而,量子力學(xué)的學(xué)習(xí)使我們認(rèn)識到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和動量的微觀粒子,同時也是具有一定的波長和頻率的波,波也是物質(zhì)存在的一種基本形式.,波矢k可用來描述波的傳播方向.那么晶體結(jié)構(gòu)的周期性是否也可以用波矢k來描述呢？如果可以,在波矢k空間,k應(yīng)滿足什么條件呢？

2、,2,學(xué)習(xí)交流PPT,布拉維格子具有平移對稱性,因而相應(yīng)的只與位置有關(guān)的物理量,由于布拉維格點的等價性,均應(yīng)是布拉維格矢R的周期函數(shù),如：格點密度、質(zhì)量密度、電子云密度、離子實產(chǎn)生的勢場等都是如此。,不失一般性，上述函數(shù)可統(tǒng)一寫為：,布拉維格矢,由于F(r)是布拉維格矢R的周期函數(shù),所以可以將其展開成傅里葉級數(shù)：,1. 周期函數(shù)的傅里葉展開,3,學(xué)習(xí)交流PPT,展開系數(shù),因為：,所以：,令,則：,則,4,學(xué)習(xí)交流PPT,不合要求，應(yīng)舍去,所以,5,學(xué)習(xí)交流PPT,由于 與 存在上述對應(yīng)關(guān)系, 可以描述布拉維格子,自然 也可以描述同樣的布拉維格子,且 與第一章討論自由電子的波函數(shù)中的波矢類似,因

3、而,凡是波矢 和布拉維格矢滿足 的波矢,一定也可以描述布拉維格子.這就是倒格子的由來.,成立,也就是說,一定存在某些 使得當(dāng) 成立時,6,學(xué)習(xí)交流PPT,2. 定義,對布拉維格子中所有格矢 ，滿足 或 (m為整數(shù))的全部 端點的集合，構(gòu)成該布拉維格子，稱為正格子的倒格子(reciprocal lattice),與倒格子的定義對應(yīng)，由格矢 的端點所描述的布拉維格子，稱為正格子(direct lattice),由 端點的集合所描述的布拉維格子，稱為倒格子(reciprocal lattice),稱為倒格矢,7,學(xué)習(xí)交流PPT,利用倒格矢，滿足 的傅里葉展開為:,意義：把上述滿足坐標(biāo)空間中的某物理量

4、轉(zhuǎn)變?yōu)榈垢褡涌臻g,且只存在波矢為倒格矢的分量。,二、 倒格子是倒易空間的布拉維格子,8,學(xué)習(xí)交流PPT,欲使上式恒成立，且考慮到n1,n2,n3為任意整數(shù)，則要求：,h1,h2,h3為整數(shù),對布拉維格子中所有格矢 ，滿足 或 (m為整數(shù))的全部 端點的集合，構(gòu)成該布拉維格子，稱為正格子的倒格子(reciprocal lattice).,稱為倒格矢,9,學(xué)習(xí)交流PPT,當(dāng) 滿足時，則下式自然成立：,或：,10,學(xué)習(xí)交流PPT,由于 為倒格矢，如果把倒格矢所在的空間稱為倒格子空間，或倒易空間(reciprocal space),則由于 不共面，自然可以成為倒易空間的基矢。,和 對比,表明 對應(yīng)的是

5、倒易空間中的布拉維格子，亦即倒格子是倒易空間的布拉維格子。,從而 且 也可作為以 為基的某一布拉維格子的倒格子的定義。,11,學(xué)習(xí)交流PPT,討論：,所以可令：,1.,12,學(xué)習(xí)交流PPT,其中 是正格基矢,是固體物理學(xué)原胞體積,同理可得,所以倒格子基矢與正格子基矢的關(guān)系為：,與 所聯(lián)系的各點的列陣即為倒格子。,許多的固體書中把上述描述作為倒格子的定義,13,學(xué)習(xí)交流PPT,a. 晶格振動形成的格波，x射線被晶體衍射的電磁波以及電子在晶體中運動的幾率波等，它們的狀態(tài)均用波矢來表征，其波矢取值應(yīng)限制在倒格子空間中的一個原胞內(nèi)，一般限制在簡約布里淵區(qū)中(單值性的要求),2.,與正格子空間的平面波

6、類似，可以把 看成倒空間的平面波， 是倒空間的任一矢量,所以，在倒空間中，矢量 與 代表相同的波或相同的狀態(tài)。,注：,14,學(xué)習(xí)交流PPT,b.倒格子空間中的WS原胞稱為第一布里淵區(qū)，也就是所謂的簡約布里淵區(qū),3.,由正格子可以定義倒格子，反之亦可，因此，它們互為倒易格子。,三、倒格矢與晶面(倒格子與正格子的幾何關(guān)系),1.,體積關(guān)系,(其中和*分別為正、倒格子原胞的體積),15,學(xué)習(xí)交流PPT,除 因子外，正格子原胞體積 和倒格子原胞體積 互為倒數(shù),利用,16,學(xué)習(xí)交流PPT,2.,倒格矢與晶面,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢長度為：,其中 是正格子晶面族(h1h2h

7、3)的面間距,首先我們證明,倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,17,學(xué)習(xí)交流PPT,設(shè)平面ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面,ABC在基矢 上的截距分別為 。,由圖可知：,所以倒格矢 和正格子中晶面族(h1h2h3)正交,18,學(xué)習(xí)交流PPT,接著我們再證明倒格矢長度為,由于倒格矢 與晶面族(h1h2h3)正交.,因而，晶面族(h1h2h3)的法線方向為,則法線方向的單位矢量為：,因而，面間距,19,學(xué)習(xí)交流PPT,這個關(guān)系很重要,后面分析XRD時要用,3.,倒格子基矢的方向和長度,20,學(xué)習(xí)交流PPT,一個倒格子基矢是和正格子原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方向是該晶面

8、的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。,設(shè)：,利用體積=底面積*高，則有：,21,學(xué)習(xí)交流PPT,晶體結(jié)構(gòu),2.與晶體中原子位置相對應(yīng)；,2.與晶體中一族晶面相對應(yīng)；,3.是與真實空間相聯(lián)系的倒格子空間中點的周期性排列；,3.是真實空間中點的周期性排列；,4.線度量綱為長度,4.線度量綱為長度-1,22,學(xué)習(xí)交流PPT,已知晶體結(jié)構(gòu)如何求其倒格子呢？,晶體結(jié)構(gòu),正格子,正格子基矢,倒格子基矢,倒格子,23,學(xué)習(xí)交流PPT,例1：下圖是一個二維晶體結(jié)構(gòu)圖，試畫出其倒格點的排列。,24,學(xué)習(xí)交流PPT,倒格子是邊長為的正方形格子。,25,學(xué)習(xí)交流PPT,例2：證明體心立方的倒格子是面心

9、立方。,26,學(xué)習(xí)交流PPT,倒格矢：,同理得：,體心立方的倒格子是邊長為4/a的面心立方 。,與p25fcc比較可知,27,學(xué)習(xí)交流PPT,例3：證明簡立方晶面(h1h2h3)的面間距為,證明：,簡立方：,法一：,28,學(xué)習(xí)交流PPT,29,學(xué)習(xí)交流PPT,法二：,設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，,ABC在基矢 上的截距分別為,則,30,學(xué)習(xí)交流PPT,對于立方晶系：,且：,根據(jù)任何矢量的方向余弦的平方和等于1,即：,31,學(xué)習(xí)交流PPT,四、 倒格子的點群對稱性,1.,同一晶格的正格子和倒格子有相同的點群對稱性,證明：,設(shè) 為正格子的一個點群的任取對稱操作，亦即 為正格矢時， 亦為正格矢 (點群對稱操作不會改變原有格點之間的距離) 。,按照群的定義,當(dāng) 為點群對稱操作時, 亦為同一點群的對稱操作，則 亦為正格矢。,32,學(xué)習(xí)交流PPT,由點群對稱操作不會改變原有格點之間的距離可知：,當(dāng) 和 接受同一點群對稱操作時，空間任意兩點之間的距離不變。,33,學(xué)習(xí)交流PPT,所以，對點群中任一 而言， 亦為倒格矢，亦即，對應(yīng)正格